TM-17 (1159480)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

17-Динамика твердого тела с ненодвижной точкой-1Лекция 17-1Динамика твердого тела.Напоминание.Твердое тело – система материальных точек, расстояние между которыми в процессе движения не меняется.Момент инерции относительно осиI l = ∑ ρ 2j m j . Любому ортономированному реперу R ,связанному с телом, с началом в некоей точке O , сопоставляется 3× 3 матрица I - тензор инерции.Момент инерции относительно оси с единичным направляющим вектором e равен I e =< Ie , e > .Матрица I симметричная, на диагонали стоят моменты инерции относительно осей координат R .Поворотом репера R можно добиться того, что I станет диагональной матрицей.

Соответствующаясистема координат (связанная с твердым телом) называется главными осями инерции в точке O ( которая является началом координат).Пусть r - радиус-вектор точки тела в связанной с телом системе R . Множество точек таких,что < Ir , r >= 1 называется эллипсоидом инерции твердого тела в точке O ( которая является началомкоординат).Если тело движется так, что имеется неподвижная (в абсолютном пространстве) точка O , то1< I Oω ,ω > - кинетическая энергия.2б) K 0 = I 0ω - кинетический момент.в) K& = M - момент сил. Это теорема об изменении кинетического момента.а) T =00г) ∀s вектора, неподвижного в теле s& = [ω , s ] - формула Эйлера.Динамические уравнения Эйлера.

(Для движения твердого тела с неподвижной точкой)Лемма. (О проекции абсолютной скорости на подвижные оси) Пусть есть некий вектор W (t )(в абсолютном пространстве). Разложим его по подвижному реперу(*)W = Wξ eξ + Wη eη + Wς eςW&ξ  Тогда координаты вектора W& в подвижном репере равны W&η  + [ω ,W ] , где ω - мгновенная угло W&  ςвая скорость репера eξ eη eς .Доказательство.

Следует из равенствe&ξ = [ω , eξ ] , e&η = [ω , eµ ] , e&ς = [ω , eς ]если продифференцировать (*). Доказательство леммы завершено.Запишем в) с учетом б) для движения твердого тела с неподвижной точкой O в однородномполе сил тяжести.17-Динамика твердого тела с ненодвижной точкой-2Пусть r0 - вектор, идущий из O в центр масс (в подвижном репере его координаты постоянны).Пусть γ - единичный вектор вертикали, направленный вниз и (γ ξ , γ η , γ ς ) - его координаты в подвижном репере (они меняются при движении тела). Тогда момент активных сил, приложенных к телуM 0 = [r0 , γ ] .ИтакIω& + [ω , Iω ] = [r0 , γ ]Это и есть динамические уравнения Эйлера.

Распишем их подробнее (в главных осях инерции).γ ξ A 0 0 p ξ0    I =  0 B 0  , ω =  q  , r0 = η0  , γ =  γ η γ  0 0 Crς   0 ςAp& = ( B − C )qr + mg (η0γ ς − ς 0γ η )Bq& = (C − A)rp + mg (ς 0γ ξ − ξ 0γ ς )Cr& = ( A − B) pq + mg (ξ 0γ η − η0γ ξ )Постоянство вектора γ в абсолютном (неподвижном) пространстве выражается уравнениями Пуассона. Они означают, что абсолютная скорость этого вектора равна нулю.γ& + [ω , γ ] = 0или, в подробной записиγ&ξ + qγ ς − rγ η = 0γ&η + rγ ξ − pγ η = 0γ&ς + pγ η − qγ ξ = 0Уравнения Эйлера-Пуассона образуют замкнутую систему. Система имеет следующие первыеинтегралы.Энергия.1( Ap 2 + Bq 2 + Cr 2 ) − mg (ξ 0γ ξ + η0γ η + ς 0γ ς ) = h2Кинетический момент в проекции на γApγ ξ + Bqγ η + Crγ ς = cГеометрическийγ ξ2 + γ η2 + γ ς2 = 1ρ ≡ 1.Задача.

Убедитесь, что выписанные функции – действительно первые интегралы.Решение. (Решить!!!)Задача. Проверьте, что у уравнений Эйлера Пуассона есть инвариантная мера с плотностьюРешение. (Решить!!!)Так как имеется инвариантная мера, то для интегрируемости в квадратурах не хватает ещеодного независимого первого интеграла.Имеются три классических случая интегрируемости: Эйлера, Лагранжа, Ковалевской.Случай Эйлера. Центр масс совпадает с неподвижной точкой O , т.е. ξ 0 = η0 = ς 0 = 0 .В этом случае моменты активных сил отсутствуют и связи допускают повороты всей системывокруг любой неподвижной оси, проходящей через O .

Поэтому кинетический момент K - это постоянный вектор в абсолютном (неподвижном) пространстве.Поэтому здесь имеется дополнительный первый интеграл – квадрат модуля кинетическогомоментаK 2 = A2 p 2 + B 2 q 2 + C 2 r 2 = k 2 = const17-Динамика твердого тела с ненодвижной точкой-3Уравнения Эйлера отделяются от уравнений ПуассонаAp& = ( B − C )qrBq& = (C − A)rpCr& = ( A − B) pqРассмотрим их отдельно. Движение происходит по совместным уровням интеграловA2 p 2 + B 2 q 2 + C 2 r 2 = k 2Ap 2 + Bq 2 + Cr 2 = 2hРассмотрим их в пространстве Kξ , Kη , Kς ( Kξ = Ap , Kη = Bq , Kς = Cr ). ТогдаKξ2 + Kη2 + Kς3 = k 2 - сфера(*)1 2 1 2 1 3Kξ + Kη + Kς = 2h - эллипсоидABC(**)Зафиксируем значение 2h и будем менять k 2 .

Считаем, что A ≤ B ≤ C . Еслиk 2 < 2hA , то сфера с эллипсоидом не пересекается (сфера лежит внутри эллипсоида).k 2 = 2hA - две точки пересечения (касания)2hA < k 2 < 2hB - пересечение по двум замкнутым кривым (топологическим окружностям“насаженным” на ось Kξ )k 2 = 2hB - две геометрические!!! окружности, пересекающиеся на оси Kη . В самом деле,умножим (**) на B и вычтем из него (*). ПолучимB  2  B 3 − 1 Kξ − 1 −  Kς = 0A  CКоэффициенты положительны. Поэтому это уравнение распадается на два линейных, задающих двеплоскости, в которых лежат наши кривые, значит, они – плоские. Расстояние до центра постоянно (*).Значит, это – окружности.Аналогично устроены случаи k 2 > 2hC , k 2 = 2hC , 2hB < k 2 < 2hC .Каждый из шести концов полуосей эллипса соответствует положению равновесия уравненийЭйлера.

В терминах движения твердого тела – это вращения вокруг главных осей инерции с постоянной угловой скоростью. Эти движения называются стационарными вращениями. Из расположения p0   0    кривых на рисунке следует, что положения равновесия уравнений Эйлера  0  и  0  устойчивы, а 0  r    00  q0  - неустойчивы. Это неустойчивость стационарного вращения вокруг средней оси инерции.0 Вопросы к материалу.• Динамика твердого тела.• Твердое тело с неподвижной точкой.• Абсолютная скорость в проекции на подвижные оси.17-Динамика твердого тела с ненодвижной точкой-4•••••••Динамические уравнения Эйлера.Уравнения Пуассона.Первые интегралы уравнений Эйлера-Пуассона.Инвариантная мера и интегрируемость в квадратурах.Случай Эйлера.Фазовый портрет уравнений Эйлера.Устойчивость Стационарных вращений.Лекция 17-2Геометрическая интерпретация Пуансо движения волчка Эйлера.Мы рассматриваем движение твердого тела с закрепленной точкой в случае Эйлера.

В телезафиксирован его эллипсоид инерции. Его уравнение в осях, связанных с телом имеет вид< I 0 r , r >= 1 .Теорема. (Пуансо) В процессе движения эллипсоид инерции катится без проскальзывания понеподвижной плоскости , перпендикулярной вектору кинетического момента K .Доказательство. Рассмотрим плоскость, перпендикулярную K и касательную к эллипсоидуинерции. Поскольку K = const , то направление нормали к этой плоскости постоянно в неподвижном пространстве. Покажем, что расстояние от плоскости до точки O постоянно.Пусть a - точка касания плоскости и эллипсоида. Нормаль к эллипсоиду в этой точке будетvиметь вид I 0 a = λK = λI 0ω . Значит a = λω = (λp, λq, λr ) . Подставив это в уравнение эллипсоида< I 0 a, a >= 1 , получимAλ2 p 2 + Bλ2 q 2 + Cλ2 r 2 = 1Из интеграла энергии находимλ2 =12hВ главных осях инерции твердого тела K = ( Ap, Bq, Cr ) .

Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид< (r − a), K >= 0 или Apξ + Bqη + Crς = f = constРасстояние от плоскости до точки O равно< a, K > λ < ω , K > λ 2h2h==== constkkkKИтак, плоскость постоянна. Но нам надо еще доказать, что движение происходит без проскальзывания, т.е. что скорость эллипсоида в точке касания равна нулю. По формуле Эйлераva = vO + [ω , a] = 0 + [ω , λω ] = 0Доказательство теоремы закончено.Следствие.

Стационарные вращения вокруг малой и большой осей орбитально устойчивы поЛяпунову, т.е. при малой ошибке в начальных условиях траектория (но не решение!!!) меняется мало.Регулярная прецессия.Рассмотрим важный частный случай, когда эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения:A = B ≠ C .

В этом случае третья ось эллипсоида Oς , мгновенная ось вращения ω и вектор кинетического момента K лежат в одной плоскости.17-Динамика твердого тела с ненодвижной точкой-50pAp01pqr =ApAq CrqAq=0Углы между ними сохраняются< eς , K >= const = Cr , r = const< eς , ω >= r = const , < K ,ω >= 2T = 2h = constСохраняется и величина вектора ω :2T = A( p 2 + q 2 ) + Cr 2 = 2h = const , p 2 + r 2 = constТочка касания описывает и на плоскости и на эллипсоиде окружности. Это движение вокруг K называется регулярной прецессией.Замечание. О левоинввариантности лагранжиана волчка Эйлера и других левоинвариантныхлагранжианах.

(Обсудить!!!)Случай Лагранжа.A = B , ξ 0 = η0 = 0Т.е. тело динамически симметрично, и центр тяжести лежит на оси динамической симметрии.Выберем ориентацию главных осей инерции так, чтобы было ς 0 > 0 .Здесь четвертый интеграл уравнений Эйлера – это r = const .Будем случай Лагранжа исследовать в рамках Лагранжева формализма. Возьмем углы Эйлерав качестве обобщенных координат.Углы Эйлера (напоминание).ϕ - угол собственного вращения,ψ - угол прецессии,θ - угол нутации1( Ap 2 + Aq 2 + Cr 2 ) + mglγ ς2Здесь l = ς 0 - расстояние от центра тяжести до O . Используя кинематические формулы Эйлераp = ψ& sin ϕ sin θ + θ& cos ϕq = ψ& cos ϕ sin θ − θ& sin ϕЛагранжиан L = T − V =r = ϕ& + ψ& cosθи то, что γ ς = − cosθ , находим, что Лагранжиан волчка Лагранжа равенL=1 &2A(θ + ψ& 2 sin 2 θ ) + C (ϕ& + ψ& cos θ ) 2 − mgl cos θ2Циклические координаты: ϕ и ψ .

Циклические интегралы:∂L= C (ϕ& + ψ& cosθ ) = kς = const∂ϕ&∂L= Aψ& sin 2 θ + C ψ& cos 2 θ + Cϕ& cosθ = k z = const&∂ψ(*-1)(*-2)17-Динамика твердого тела с ненодвижной точкой-6Их механический смысл ясен из обозначений. kς - проекция кинетического момента на подвижнуюось Oς . k z - проекция кинетического момента на неподвижную вертикальную ось Oz .Понижаем по Раусу. Из (*) находим Из (*) находимAψ& sin 2 θ = k z − kς cosθ , ψ& =k z − kς cosθA sin 2 θ(**)k ς21 &2 1&Aθ + ψ (k z − kς cosθ ) +− kς ϕ& − k zψ& =22Ck ς21 &2 111= Aθ − ψ& k z − kς (ψ& cosθ + ϕ& ) − kς ϕ& +=2222Ck ς21 &2 11 kς 1&&= Aθ − ψ k z − kς− kς ϕ +=C222 C 2k ς2111= Aθ& 2 − k zψ& − kς ϕ& +2222CR = L − kς ϕ& − k zψ& =Подставим (**) иϕ& =kςk(k − kς cosθ ) cosθ− ψ& cosθ = ς − zCCA sin 2 θИ отбросим постоянные.

Получим1 & 2 1 k z − kς cosθ 1 (k z − kς cosθ ) cosθ+ kς=Aθ − k z22A sin 2 θ2A sin 2 θ211 (k z − kς cosθ )= Aθ& 2 −22A sin 2 θR=Итак,(k − k cosθ )1R = Aθ& 2 − Vэфф (θ ) , Vэфф = z ς 2+ mgl cosθ22 A sin θ2Получили систему с одной степенью свободы. Интеграл энергии1 &2Aθ + Vэфф (θ ) = h = const2Поведение эффективного потенциала Vэфф (θ ) .

Из четности заключаем, что функцию Vэфф (θ ) достаточно исследовать на интервале (0,π ) . При θ → +0 и θ → −π имеем Vэфф → +∞ . Значит Vэффдостигает минимума на (0,π ) .Замечание. Мы здесь не рассматриваем критические случаи kς = ± k z .Покажем, что на отрезке (0,π ) функция Vэфф имеет не более одной критической точки. Рассмотримf (u ) =(k z − kς u ) 2+ mglu2 A(1 − u 2 )где u = cosθ ∈ (−1, 1) . Это дробно линейная функция видаAAf (u ) = A0 + A1u + 2 + 31− u 1+ uДробная часть имеет монотонную производную по u ∈ (−1, 1) , растущую от −∞ до + ∞ .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций