TM-12 (1159475)
Текст из файла
12-Силы инерции-1Лекция 12-1Силы инерции.Предположим, нам захотелось написать уравнения движения в подвижной, неинерциальнойсистеме отсчета. Ускорение, которое мы видим в этой системе – относительное. Будем действоватьтак:ma&абс = m(aотн + aпер + aкор ) = Fmaотн = F − maпер − maкор = F + Fпер + FкорFпер = − maпер - переносная сила инерции,Fпер = −maкор - кориолисова сила инерции.Применим эту конструкцию к ограниченной задаче трех тел.Ограниченная задача трех тел.Рассмотрим движение Солнца (S), Юпитера (J) и астероида (A).
Масса астероида m A мала посравнению с массами Солнца mS и Юпитера mJ . Силы притяжения к астероиду малы. Можно считать, что Солнце и Юпитер движутся как в задаче двух тел. Их движение известно. А астероид движется в поле сил создаваемых Юпитером и Солнцем. В этом и есть ограниченность постановки задачи.Уравнения движения в полном виде такие:mS &r&S =mJ &r&J =γ mS mJrS − rJ3γ mJ mSrJ − rS3(rJ − rS ) +(rS − rJ ) +γ mS m A3rS − rAγ mJ m ArJ − rA3(rA − rS )(rA − rJ )γ mAmSγ m A mJmA&r&A =(rS − rA ) +(rJ − rA )33rA − rSrA − rJУстремляем m A к нулю. Для Солнца и Юпитера получаем задачу двух тел (астероид не влияет наСолнце и Юпитер) – в первых двух уравнениях отбрасываем вторые слагаемые.
Третье уравнение невырождается – в нем mA просто сокращается.Плоская, ограниченная, круговая задача трех тел.Рассмотрим плоскую ограниченную круговую задачу трех тел.Ограниченная: m A → 0 - движение астероида не влияет на движение Солнца (S) и Юпитера(J).Плоская: движение всех трех тел происходит в фиксированной плоскости.Круговая: орбиты Солнца (S) и Юпитера (J) – окружности.Пусть O - центр масс пары тел - Солнца Юпитера. Пусть ω - угловая скорость вращения S и J поорбитам.
Тогда сила тяготения уравновешивает центробежную силуmS rSω 2 =γ mS mJ(rS + rJ )2, mJ rJ ω 2 =γ mJ mS(rJ + rJ ) 2Сократим на массы и сложим эти равенства. Тогда12-Силы инерции-2ω2 =γ (mS + mJ )(****)(rS + rJ )3Уравнения движения Астероида удобно писать в подвижной системе координат с центром вO (центр тяжести) и вращающейся с угловой скоростью ω . Тогда ось Ox можно направить по линии, соединяющей S и J . В этой системе координат они неподвижны.
Для определенности направим ее от Солца к Юпитеру. Пусть r - радиус-вектор Астероида в этой системе.mA&r& = Fгравит + Fперен + Fкориол ,Fперен = − mA (−ω 2 rA ) = mAω 2 rA , Fкориол = − mA 2[ω , r& ] = −2mA[ω , r& ]γ m γ mJ∂VmA , где V = − S −∂rrASrAJS = (−rS ,0) , J = (rJ ,0)В координатах, после сокращения на m A получим∂V∂V&x& = 2ωy& + ω 2 x −, &y& = −2ωx& + ω 2 y −∂x∂yFгравит = −Заметим, что переносная сила инерции оказалась потенциальной. Потенциал равен1− ω 2 (x2 + y2 ) .2Домножим первое уравнение на x& , а второе на y& , сложим и проинтегрируем.
Мы получаеминтеграл Якоби, который является аналогом интеграла энергииx& 2 y& 21++ Vω = h , Vω = − ω 2 ( x 2 + y 2 ) + V222Vω - приведенная (или эффективная) потенциальная энергия. Уравнения движения можно теперь записать так:&x& = 2ωy& −∂Vω∂V, &y& = −2ωx& − ω∂y∂x(*)Заметим, что кориолисова сила инерции не влияет на вид интеграла Якоби .
Силы такого типа называются гироскопическими.Относительные равновесия. Это движения имеющие вид ( x, y ) = const .Утверждения. Точка ( x, y ) является положением относительного равновесия тогда и толькотогда, когда она является критической точкой приведенного потенциала Vω (т.е. в этой точке∂Vω ∂Vω== 0 ).∂x∂yДоказательство. Сразу следует из уравнений движения (*).Поскольку1γ mSγ mJVω = − ω 2 ( x 2 + y 2 ) −−222( x + rS ) + y( x − rJ ) 2 + y 2то уравнения для относительного равновесия такие:ω 2x =ω2y =( x + rS )γ mS+(( x + rS ) 2 + y 2 )yγ mS3(( x + rS ) + y )322Имеем два случаяа) y = 0 Тогда ω 2 x =2+2( x − rJ )γ mJ(( x − rJ ) 2 + y 2 )yγ mJ3(( x − rJ ) 2 + y 2 )3γ mSx + rS ( x + rS )+22γ mJx − rJ ( x − rJ )12-Силы инерции-3График правой части выглядит следующим образом:В левой части стоит линейная возрастающая функция.
Значит имеется три решения ( L1 ,0) , ( L2 ,0) ,( L3 ,0)L1 < L2 < L3 . Это т.н. “коллинеарные точки либрации”. Их нашел Эйлер в 1765 г. Все онинеустойчивы в том смысле, что при малом отклонении начальных условий от этих точек траекторияможет уйти достаточно далеко.б) y ≠ 0 . Сократив второе уравнение на y , найдем ω 2ω2 =γ mS(( x + rS ) + y )223+2γ mJ(( x − rJ ) 2 + y 2 )3(**)2Подставим его в первое уравнение. Тогда в первом уравнении все члены пропорциональные x взаимно уничтожаются, и мы получаемrSγ mS3rJ γ mJ=3(***)(( x + rS ) + y )(( x − rJ ) + y )Центр тяжести J и S находится в начале координат.
Поэтому ms rs = mJ rJ . Значит знаменатели рав222222ны, т.е. ( x + rS ) 2 = ( x − rJ ) 2 . Отсюда получаем( x + rS ) = ( x − rJ ) , или ( x + rS ) = −( x − rJ )Первое уравнение rS = − rJ не имеет решений, т.к. rS > 0 , rJ > 0 . Из второго уравнения получаемr −rx= J S2Обозначим знаменатели в (**) через d 3 (в положении равновесия они равны):d = (( x + rS ) + y )2212= (( x − rJ ) + y )2212 rJ + rS 2= + y2 2 12Поэтому из (**) и из (****) получаемγ mSγ mJω211=3ddγ (ms + mJ ) d(rJ + rS )3Значит d = rJ + rS . Следовательно A , J , и S расположены в вершинах равностороннего треуголь-ω2 =3+3,=ника.
Это нашел Лагранж в 1772 г.Точки L4 и L5 устойчивы (при достаточно малых отношенияхmJ) – это будет доказано позже.mS12-Силы инерции-4Сначала эти решения воспринимались как “математический курьез”. Но в 1906 г. около L5был обнаружен астероид Ахиллес, а затем около L4 и L5 были найдены еще несколько астероидов.Этим группам астероидов присвоены названия “Греки” (Ахейцы) и “Троянцы”.Области Хилла.
(см Л. Парс Аналитическая динамика)ОВД в ограниченной задаче трех тел называются областями Хилла. Интеграл Якоби дает следующее соотношениеOBDh = {( x, y ) : h − Vω ≥ 0}Будем изменять h от − ∞ в сторону возрастания . Получаются следующие картинки для ОВД. Заштрихована запрещенная область.Вопросы к материалу Лекция 12-1.• Силы инерции.• Ограниченная задача трех тел.• Плоская ограниченная круговая задача трех тел.• Уравнения движения. Интеграл Якоби.• Относительные положения равновесия.• Коллинеарные точки либрации Эйлера.• Точки либрации Лагранжа.• Области Хилла.Лекция 12-2Равновесие точки на поверхности Земли. Вес.12-Силы инерции-5Неподвижную систему координат выбираем так, чтобы угловая скорость Земли Ω смотрелавертикально вверх. Подвижную, связанную с Землей систему выбираем так, чтобы одна ее ось совпадала с вертикальной.
В системе координат, связанной с Землей, имеемmMm&r& = −γ 2 er + Fпер + Fкор + Fостr(*)где Fост - остальные силы (если они есть).Fпер = − mΩ 2 r cosθ (−e1 ) , Fкор = −2m[ Ω, r& ]Вектор ( + e1 ) лежит в плоскости широты и меридиана. Пусть точка находится в равновесии на поверхности Земли ( r = R ), и F - сила реакции опоры или подвеса. ТогдаmMer − mΩ 2 r cosθ e12rВесом тела называется (− F ) , т.е.
сила, с которой тело действует на опору или подвес. ЗамеF =γтим, что вес направлен к центру Земли лишь на полюсах и на экваторе.Ускорением свободного падения g называется вес, умноженный на массу тела.Me + Ω 2 r cosθ e12 rrНаправление (− g ) называется местной вертикалью. Угол между местной вертикалью и плоскостьюg = −γэкватора (экваториальной плоскостью) называется астрономической широтой ϕ .Задача.
Чему равна Ω - угловая скорость вращения Земли.Ответ. 1 сутки −1Задача. А в секундах?Падение точки в пустоте.Предположим, что материальную точку бросают с башни. Т.к. наблюдатель расположен наЗемле, пишем уравнения движения в подвижной системе координат: уравнение (*) при F = 0 . Считаем, что дело происходит в северном полушарии (полушарие от экватора в сторону вектора Ω ).Будем считать, что в процессе движения радиус-вектор r изменяется несильно, точнее∆R<< 1 . Тогда, в процессе движения g ≈ const .
Имеем:rr&r& = −2[Ω, r& ] + g , r (0) = r0 , r& (0) = 0(**)Это уравнение – линейная неоднородная система. Ее можно решить явно, но мы воспользуемся малостью угловой скорости вращения Земли Ω . Точнее воспользуемся следующим стандартным фактом из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.•Если правые части системы дифференциальных уравнений удовлетворяют теореме о существовании и единственности решения, и вдобавок гладко зависят от параметра, то и решение гладко зависит от параметра.
Более того, если правые части аналитичны по параметру (являются сходящимися рядами Тейлора), то и решения аналитичны.Раскладываем решение уравнения в ряд по Ω = Ω . Направление Ω остается неизменным из-завыбора системы координат. Поскольку в уравнения движения входит 2Ω , раскладываем по 2Ω .12-Силы инерции-6r (t ) = r0 (t ) + 2Ωr1 (t ) + 4Ω 2 r2 (t ) + KПодставляем это в (**) и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Ω :&r&0 = g ,r0 (0) = r0 , r&0 (0) = 0&r&1 = −[eΩ , r&0 ] ,&r&2 = −[eΩ , r&1 ] ,KKr1 (0) = r&1 (0) = 0r2 0) = r&2 (0) = 0Получаем отсюдаr0 (t ) = r0 +1 2gt ,23&r&1 = −t[eΩ , g ] = t cos ϕ eВост , r1 (t ) = cos ϕ t eВост6Единичный вектор eВост направлен на восток по касательной к параллели.224&r&2 = −t[eΩ , eВост ] cos ϕ t = cos ϕ t e1 , r2 (t ) = cos ϕ t e12224Итакr (t ) = r0 +t 3 eВост cos ϕt 4 e cos ϕ1 2gt + 2Ω+ 4Ω 2 1+K2624Вывод. В первом приближении имеем смещение точки на Восток.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
