TM-08 (1159471)
Текст из файла
08-Общие теоремы динамики в относительном движении-1Лекция 08-01Формулы Кёнига.Кёнигова система координат строится для заданной системы материальных точек. Она имеетначало в центре тяжести, а ее оси параллельны осям абсолютной системы координат. Начало кёниговой системы двигается вместе с центром тяжести.Другое определение. Осями Кёнига называются оси неизменного напрвления, проходящиечерез центр масс системы точек.Задача.
Сформулируйте условия, достаточные для того, чтобы Кёнигова система координатбыла инерциальной.Ответ. Достаточно равномерного (т.е. с постоянной скоростью) движения центра масс системы. Например, для свободной системы точек – сумма внешних сил равна нулю.Задача. Чему равен импульс системы посчитанный относительно осей Кёнига.Ответ.
Нулю, т.к. центр тяжести в этой системе неподвижен.rЗадача. Пусть ρ j - радиус векторы точек в Кёниговой системе. Проверить равенство∑m ρjj= 0.Решение. Имеем r j = rC + ρ j , поэтому∑m ρjj= ∑ m j r j − ∑ m j rC = mrC − mrC = 0Решение закончено.Пусть K KEH и TKEH - кинетический момент и кинетическая энергия, посчитанные относительно осей Кёнига (т.е. в Кёниговой системе координат). ТогдаK O = [rC , mr&C ] + K KEH(1)mr& 2T=+ TKEH2(2)Это первая и вторая формулы Кёнига.Замечание. (Лемма)K KEH = K C(*)т.е. кинетический момент посчитанный относительно центра тяжести один и тот же, если брать абсолютные или относительные скорости.Доказательство. Положим r j = rC + ρ j .
ТогдаK KEH = ∑ m j [ ρ j , ρ& j ]K C = ∑ m j [ ρ j , r&j ] = ∑ m j [ ρ j , r&C ] + K KEHФормула (*) следствие равенства∑m ρjj= 0 . Доказательство леммы закончено.Доказательство формул Кёнига.(1)K = K O = ∑ [r j , m j r&j ] = ∑ [rC + ρ j , m j (r&C + ρ& j )] =•= m[rC , r&C ] + [rC , (∑ m j ρ j ) ] + [∑ m j ρ j , r&C ] + K KEHВторое и третье слагаемое здесь равны нулю, т.к.нига завершено.∑m ρjj= 0 . Доказательство первой формулы Кё-08-Общие теоремы динамики в относительном движении-2m j r&j21∑ m j < r&C + ρ& j , r&C + ρ& j > =2211= mr&C2 + ∑ m j < r&C , ρ& j > + ∑ m j ρ& 2j22T =∑(2)=Второе слагаемое здесь равно нулю, т.к.∑ m ρ&jj=d∑mjρ j = 0dtДоказательство второй формулы Кёнига завершено.Теорема Кенига об изменении кинетического момента системы свободных точек.Скорость изменения кинетического момента в осях Кенига равна сумме моментов внешнихсил относительно центра масс системы (т.е.
относительно начала Кениговой системы координат).dK КЕН = ∑ [ ρi , Fi ( e ) ]dtiДоказательство. По теореме об изменении кинетического момента системы свободных точекимеемdK O = ∑ [ri , Fi ( e ) ]dtiПодставим сюда первую формулу Кенига (1) и r j = rC + ρ j .d[rC , mr&&C ] + K KEH = [rC , ∑ Fi ( e ) ] + ∑ [ ρi , Fi ( e ) ]dtiiПо теореме об изменении импульса имеемmr&&C = ∑ Fi ( e )iОткуда и вытекает требуемое.Теорема Кенига об изменении кинетической энергии системы свободных точек.Скорость изменения кинетической энергии в осях Кенига равна сумме мощностей всех силотносительно Кениговой системы координат.dTКЕН = ∑ ( ρ& i , Fi )dtiДоказательство. По теореме об изменении кинетической энергии системы свободных точекимеемdT = ∑ (r&i , Fi )dtiПодставим сюда вторую формулу Кенига (2) и r j = rC + ρ j .d(r&C , mr&&C ) + TKEH = (r&C , ∑ Fi ) + ∑ ( ρ& i , Fi )dtiiПо теореме об изменении импульса имеемmr&&C = ∑ Fi ( e )iОткуда и вытекает требуемое.Вопросы к материалу Лекция 08-01.••••Кёнигова система координат.
Оси Кёнига.Формулы Кёнига.Теорема Кенига об изменении кинетического момента системы свободных точекТеорема Кенига об изменении кинетической энергии системы свободных точек.08-Общие теоремы динамики в относительном движении-3Лекция 08-02Вычисление динамических величин.Основные динамические величины – это P - импульс, K O - кинетический момент относительно точки O , T - кинетическая энергия.Напомним, что C - центр масс, определяется так:а)rC =∑m rj jm, где m =∑mjТогдаP = mr&Cб)Формулы Кёнига.Кёнигова система координат строится для заданной системы материальных точек.
Она имеетначало в центре тяжести, а ее оси параллельны осям абсолютной системы координат. Начало кёниговой системы двигается вместе с центром тяжести.Другое определение. Осями Кёнига называются оси неизменного напрвления, проходящиечерез центр масс системы точек.Задача. Сформулируйте условия, достаточные для того, чтобы Кёнигова система координатбыла инерциальной.Ответ. Достаточно равномерного движения центра масс системы. Например, для свободнойсистемы точек – сумма внешних сил равна нулю.Задача.
Чему равен импульс системы посчитанный относительно осей Кёнига.Ответ. Нулю, т.к. центр тяжести в этой системе неподвижен.rЗадача. Пусть ρ j - радиус векторы точек в Кёниговой системе. Проверить равенство∑m ρjj= 0.Решение. Имеем r j = rC + ρ j , поэтому∑m ρjj= ∑ m j r j − ∑ m j rC = mrC − mrC = 0Решение закончено.Пусть K KEH и TKEH - кинетический момент и кинетическая энергия, посчитанные относительно осей Кёнига (т.е. в Кёниговой системе координат). Тогда(1)K O = [rC , mr&C ] + K KEHT=mr& 2+ TKEH2(2)Это первая и вторая формулы Кёнига.Замечание. (Лемма)K KEH = K C(*)т.е.
кинетический момент посчитанный относительно центра тяжести один и тот же, если брать абсолютные или относительные скорости.Доказательство. Положим r j = rC + ρ j . Тогда08-Общие теоремы динамики в относительном движении-4K KEH = ∑ m j [ ρ j , ρ& j ]K C = ∑ m j [ ρ j , r&j ] = ∑ m j [ ρ j , r&C ] + K KEHФормула (*) следствие равенства∑m ρjj= 0 .
Доказательство леммы закончено.Доказательство формул Кёнига.(1)K = K O = ∑ [r j , m j r&j ] = ∑ [rC + ρ j , m j (r&C + ρ& j )] =•= m[rC , r&C ] + [rC , (∑ m j ρ j ) ] + [∑ m j ρ j , r&C ] + K KEHВторое и третье слагаемое здесь равны нулю, т.к.∑m ρjj= 0 . Доказательство первой формулы Кё-нига завершено.(2)m j r&j21∑ m j < r&C + ρ& j , r&C + ρ& j > =2211= mr&C2 + ∑ m j < r&C , ρ& j > + ∑ m j ρ& 2j22T =∑=Второе слагаемое здесь равно нулю, т.к.∑ m ρ&jj=d∑mjρ j = 0dtДоказательство второй формулы Кёнига завершено.в)Вопросы к материалу Лекция 08-02.• Кёнигова система координат. Оси Кёнига.• Формулы Кёнига.Лекция 08-03Теоремы Кенига для систем со связямиТеорема (Об изменении кинетического момента в осях Кёнига).Пусть связи идеальны и допускают поворот системы относительно оси l , проходящей черезцентр масс l , и имеющей неизменное направление.
Тогда< K& KEH , el >=< M C , el >где M C - момент внешних активных сил относительно центра масс.Следствие. Если допускается поворот вокруг любой оси l , C ∈ l , то K& KEH = M C .Доказательство теоремы. Согласно условиям, вектор с компонентамиδr = [el , rj − rC ]δϕявляется виртуальным перемещением. Подставляем его в уравнение принципа Даламбера-Лагранжа(обозначили ρ - радиус-вектор в Кёниговой системе, т.е., rj = ρ j + rC )∑ (mj< &r&j , [el , ρ j ] > − < F j , [el , ρ j ] > ) = 0jПреобразуем∑ (< e ,[m ρ , &r& ] > − < e ,[ ρ , F ] > ) =ljjjljj= ∑ < el , [m j ρ j , ρ&& j ] > + ∑ < el , [m j ρ j , &r&C ] > − < M C , el >jj08-Общие теоремы динамики в относительном движении-5Второе слагаемое здесь ноль, т.к.∑m ρjj= 0 . Поэтомуd< ∑ [ ρ j , m j ρ& j ], el > − < M C , el >= 0dtjДоказательство закончено.Теорема.
Пусть связи стационарны, идеальны и допускают поступательное перемещение системы вдоль любого направления. Тогда T&KEH =< Fj , ρ j >∑Доказательство. По второй формуле КёнигаT& = T&KEH + m < r&C , &r&C >= T&KEH + < r&C , P& >= T&KEH + < r&C , ∑ F j >= ∑ < F j , r&j >Следовательно,T&KEH = ∑ < F j , r&j − r&C >= ∑ < F j , ρ j >Вопросы к материалу Лекция 08-03.• Теорема об изменении кинетического момента в осях Кёнига.• Теорема об изменении кинетической знергии в осях Кёнига..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
