TM-06 (1159469)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

06-Учение о связях-1Лекция 06-01Учение о связях.Пусть механическая система состоит из n точек. Её положение характеризуется радиусвекторами r1 ,K, rn . Часто оказывается, что эти векторы зависимы, т.е. выполняются равенства видаf s (r1 ,K, rn , t ) = 0 , s = 1,2,K, k(*)В этом случае говорят, что на систему наложены голономные или интегрируемые связи. Иногда такиесвязи называются геометрическими.

Мы, конечно будем считать, что функции (*) достаточно гладкие.Примеры.(1) Математический маятникx2 + y 2 + z 2 = l 2Две связи: y = 0(2) Невесомый твердый стержень, на концах которого две материальные точкиОдна связь: ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 + ( z1 − z2 ) 2 = l 2(3) Движение материальной точки по поверхности Λ .Одна связь – уравнение поверхности: λ ( x, y, z ) = 0 .Координаты точек образуют пространство R 3n . В пространстве R 3n решения уравнений (*)образуют пространство положений системы или конфигурационное пространство.Если связи невырождены, т.е.∂ ( f1 , K , f k )=k(**)∂ ( x1 , y1 , K, z n )то (в каждый момент времени t ) пространство положений – это (3n − k ) -мерное гладкое многообразие Σ t , возможно зависящее от времени.

В связи с этим, иногда употребляется термин конфигурациrankонное многообразие.Задача. Доказать, что Σt – гладкое (3n − k ) -мерное многообразие.В частности, в примерах:(1) Σ t – окружность S 1 в R 3 .(2) Σ t – поверхность второго порядка (цилиндр) в R 6 .(3) Σt = Λ ⊂ R 3 .Локально, в пределах координатной окрестности Σt задается в видеr1 = r1 (q1 ,K , qm , t )(***)K Kr = r ( q , K , q , t )mn n 1где (q1 ,K, q m ) - локальные координаты на Σt .06-Учение о связях-2Пример. В частности, если связей вообще нет, то Σ t = R 3n и (q1 ,K, qm ) = ( x1 , y1 ,K, z n ) .В случае невырожденных связей (**) имеем m = 3n − k и (q1 ,K, q m ) называются обобщенными координатами (иногда лагранжевыми координатами). Число m носит название число степеней свободы системы оно равно размерности многообразия Σ t .

Положение системы взаимнооднозначно задается обобщенными координатами (q1 ,K, qm ) . Для краткости записи будем использоватьвектор обобщенных координат q = (q1 , K, qm ) .Связи зазываются стационарными или склерономными, если Σt не зависит от t . В противномслучае (иногда) связи называются реономными.Замечание. Пусть на систему с обобщенными координатами (q1 ,K, q m ) наложена новаясвязь, представленная в виде g (q1 ,K, q m , t ) = 0 . При этом (q1 ,K, qm ) перестают быть обобщенными координатами (их слишком много).Виртуальные перемещения.Зафиксируем момент времени t и возьмем точку Q на Σ t .

Пусть ее обобщенные координаты(q1 ,K, qm ) получили приращение (δq1 ,K, δqm ) . Тогда из (***) линейная часть приращения вектораr j равнаδr j =∂r jδq1 + K +∂r jδq m(4*)∂q1∂qmНабор чисел (δr1 ,K, δrn ) называется виртуальным перемещением точек системы его можно рассматривать, как координаты вектора в R 3n . Поскольку тождественно выполняетсяf s (r1 (q , t ),K, rn (q , t ), t ) ≡ 0 , s = 1,2,K, kто (δr1 ,K, δrn ) из (4*) удовлетворяют уравнениям∂f1∂f1=++rfδδKδrn = 011∂r1∂rn(5*)K K∂f∂fδf k = k δr1 + K + k δrn = 0∂r1∂rnЗначит, вектор (δr1 ,K, δrn ) является касательным к Σ t в точке Q (в фиксированный момент t ).Определение. Пространством виртуальных перемещений в точке Q ∈ Σ t в момент времени tназывается пространство касательных векторов к Σt в этой точке и в этот момент времени.Выражения (5*) можно рассматривать как дифференциалы функций f j при замороженномвремени.

Символ δ используется вместо d , чтобы указать на фиксацию времени. Пространство виртуальных перемещений – это пространство векторов обнуляющих эти дифференциалы.Иногда виртуальные перемещения мыслятся как бесконечно малые смещения по конфигурационному многообразию Σt , при фиксированном t .В силу (**) имеется 3n − k линейно независимых виртуальных перемещений. Т.е.

касательное пространство к Σ t имеет размерность 3n − k .Примеры.(1) В первом примере (см. выше) связь задается уравнением r2= l 2 , значит виртуальныеперемещения задаются условиями < r , δr >= 0 . Можно выбрать в качестве обобщенной координатыугловую:r = (l sin ϕ ,0,−l cos ϕ )06-Учение о связях-3тогдаδr = (l cos ϕδϕ ,0, l sin ϕδϕ ) = leϕ δϕгде eϕ - единичный касательный вектор к окружности, по которой двигается точка.Задача. Каково пространство виртуальных перемещений свободного твердого тела. Каковаего размерность. (Указание – воспользуйтесь формулой Эйлера о распределении скоростей в твердомтеле).Неголономные (неинтегрируемые) связи.В классической механике встречаются ситуации, когда ограничения типа равенств наложеныне только на положения системы, но и на скорости. Мы будем рассматривать самый распространенный случай, когда соответствующие равенства оказываются линейными по скоростям, т.е.

имеют видm∑ a ( q , K, ql =1l1m, t )q& l + b (q1 ,K, qm , t ) = 0(+++)где al и b - вектор-функции, а (q1 ,K, qm ) - обобщенные координаты. Если нет других связей, томожно взять q = (r1 ,K, rn ) .Заметим, что обычная (голономная) связь может всегда быть представлена в виде (+++). Действительно, из f (r1 ,K, rn ) = 0 следуетn∂f & ∂frl +=0∂tl∑ ∂rl =1Заметим, что из этого равенства следует, что f (r1 ,K, rn ) = const .Определение. Если связь (+++) не приводится к виду f (q , t ) = const , то она называется неинтегрируемой, или неголономной.Замечание. В связи с этим определением голономные связи иногда называются интегрируемыми.Реально доказать, что данная связь неинтегрируема обычно непросто.Пример 1.

Связьx&y&z&+ += 0 интегрируемая (для доказательства этого надо домножитьyz xz xyее на xyz ).Пример 2. Конек Чаплыгина (или Сани Чаплыгина).Конек Чаплыгина – это диск на льду, опирающийся на полукруглое лезвие в своем центр.Связь состоит в том, что скорость центра диска параллельна лезвию.Пусть ( x, y ) - координаты центра диска, ϕ - угол поворота диска. ( x, y, ϕ ) - обобщенные координаты. Связь состоит в том, что векторы ( x& , y& ) и (cos ϕ , sin ϕ ) параллельны, т.е., чтоx& sin ϕ − y& cos ϕ = 0Утверждение. Указанная связь – неинтегрируемая.Доказательство. Предположим, что связь приводится к виду f ( x, y, ϕ ) = const .

Это означает, что из данного положения ( x0 , y0 , ϕ 0 ) можно попасть, не нарушая связи, лишь в положения( x, y, ϕ ) , удовлетворяющие равенствуf ( x, y , ϕ ) = f ( x0 , y 0 , ϕ 0 )06-Учение о связях-4Покажем, что в действительности, можно попасть в любое положение, не нарушая связи. Действительно, повернем конек так, чтобы лезвие смотрело в точку ( x, y ) плоскости. Затем, продвинем конек по прямой до этой точки. Затем, повернем конек так, чтобы угол стал равен ϕ .

Доказательствозакончено.Пример 3. Шар, катящийся без проскальзывания по шероховатой плоскости. Связь: точки касания (нижней точки шара) равна нулю.Задача. Доказать, что связь интегрируемая.Виртуальные перемещения δq в случае неинтегрируемых (или непроинтегрированных) связей определяются как удовлетворяющие равенствамm∑ a (q ,K, ql =11lm, t )δql = 0где связь имеет вид (+++).Проверить, что в случае интегрируемой связи определение совпадает с приведенным выше.Вопросы к материалу Лекция 06-01.• Учение о связях. Голономные связи.• Конфигурационное пространство.

Конфигурационное многообразие.• Обобщенные координаты. Число степеней свободы системы.• Склерномные (стационарные) связи.• Виртуальные перемещения.• Неголономные связи.• Конек Чаплыгина.• Виртуальные перемешения для неинтегрируемых связей.Лекция 06-02Законы движения систем со связями.Пусть F j = F j ( r1 , K, rn , r&1 ,K , r&n , t ) - сила, действующая на j -ю точку, когда связи не наложены. Чтобы система не сходила со связей , должны действовать дополнительные силы – реакциисвязей R j .

Силы F j называются активными. Итак, уравнения движения – следующиеm j &r&j = F j + R jТо, что наложение связей можно заменить действием каких-то сил R j является аксиомойклассической Ньютоновской механики.Аксиома освобождения от связей. Для любого действительного движения системы(r1 (t ),K, rn (t )) можно добавить некие силы – реакции связей R j (t ) , так, что, при отбрасывании связей, движение останется таким же.Содержательность этой аксиомы состоит в том, что R j - это Ньтоновские силы, т.е. они зависят только от положения и скорости точек системы R j = R j (r1 , K, rn , r&1 ,K, r&n , t ) . И можно говорить,например, о работе этих сил на перемещениях и т.п.Определение.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций