TM-09 (1159472)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

09-Динамика и статика свободного твердого тела-1Лекция 09-01Оператор инерции.Пусть движение твердого тела ограничено тем, что его точка O неподвижна в абсолютномпространстве. А в остальном тело свободно. Такая механическая система называется твердым теломс неподвижной точкой O . По формуле Эйлера скорости точек твердого тела имеют видr&i = [ω , ri ]&где ω - мгновенная угловая скорость твердого тела. Рассмотрим, как выглядит кинетический момент.K = ∑ [ri , mi r&i ] =∑ [ri , mi [ω , ri ]]&iiВидно, что угловая скорость входит линейным образом, т.е.K = Jω(*)где J некая матрица 3 × 3 .Определение Отображение (*) из пространства угловых скоростей в пространство кинетических моментов называется оператором инерции.Матрица J называется матрицей инерции.

Она зависит только от расположения точек тела иих масс. Поэтому в абсолютной системе координат она зависит от времени, а в системе, жестко связанной с твердым телом она постоянна.Утверждение. (Свойства оператора инерции) Если твердое тело невырождено, то операторинерцииа) Невырожденный (т.е. det J ≠ 0 ),б) Симметричный (т.е. J = J T ),в) Положительно определенный (т.е.

( Ju , u ) > 0 при u ≠ 0 ),г) Кинетическая энергия твердого тела имеет вид T =11( K ,ω ) = ( Jω ,ω ) .22Доказательство. Сделав циклическую перестановку векторов в смешанном произведении,получаем(ω ,[r ,[ω , r ]]) = ([ω , r [,[ω , r [)(**)Поэтому1111mi r&i 2 = ∑ mi ([ω , ri ],[ω , ri ]) = ∑ mi (ω ,[ri ,[ω , ri ]]) = ( K , ω )∑2 i2 i2 i2Т.е. мы доказали г). Если ω ≠ 0 , и твердое тело невырождено, то у него есть точки, не лежащие наT=мгновенной оси вращения (т.е. их радиус-векторы неколлинеарны ω ). Они имеют ненулевую скорость, и, значит, T ≠ 0 , и более того, ( J ω , ω ) > 0 . Значит мы доказали б).

Отсюда же и из г) следует,что K ≠ 0 . Значит оператор инерции невырожден т.е. det J ≠ 0 , Значит мы доказали а).Докажем б). Определим матрицу J i следующим образомmi [ri ,[ω , ri ]] = mi (ω ri 2 − ri (ri , ω )) = J iωТогда J =∑Ji(***). Т.е. оператор инерции системы точек равен сумме операторов инерции для каждойiточки.В координатной записи ri = ( xi , yi , zi ) . Из (***) несложно убедиться, что yi2 + zi2J i = mi  − xi yi − xi zi− xi yixi2 + zi2− yi zi− xi zi − yi zi xi2 + yi2 Это симметрическая матрица. Следовательно б) доказано.Утверждение доказано.Замечание. Фактически мы использовали только то, что точка O неподвижна в данный момент времени. Поэтому все сказанное выше годится и для свободного твердого тела, у которого вданный момент времени точка O неподвижна.09-Динамика и статика свободного твердого тела-21( J ω , ω ) не зависит от выбора системы координат2(неподвижной и с началом в точке O ), Матрица J оператора инерции меняется при замене коордиПоскольку кинетическая энергия T =нат тензорным образом.

Поэтому иногда оператор инерции называют тензором инерции, а матрицуJ - матрицей тензора инерции.Условия статического равновесия твердого тела.Утверждение. Рассмотрим теперь свободное невырожденное твердое тело. Пусть некая еготочка O в данный момент неподвижна. Кинетичекий момент относительно O равен нулю K = 0тогда и только тогда, когда твердое тело (в данный момент) неподвижно, т.е. ω = 0 .Доказательство.

Для невырожденного твердого тела доказательство очевидно вытекает изневырожденности оператора инерции. Утверждение верно и для вырожденного тела. Пусть K = 0 ,1( K , ω ) = 0 . Значит, скорость каждой точки твердого тела равна2нулю, и, значит можно считать, что ω = 0 . Пусть теперь ω = 0 . Тогда кинетический моментK = Jω = 0 .тогда кинетическая энергия T =Утверждение.

Пусть к точкам твердого тела ri приложены некие вектора W i . И пусть сумма всех векторов равна нулю∑Wi= 0 . Тогда суммарный момент всех векторов не зависит от точкиiотносительно которой он вычисляется.Доказательство. Пусть A - некая точка и R = OA . Пусть ρi - вектора идущие из точки A кточкам твердого тела. Тогда ri = R + ρi и∑ [ r ,W ] = ∑ [ R + ρ ,W ] = R ∑ W + ∑ [ ρ ,W ] = ∑ [ ρ , W ]iiiiiiiiiiiiiiСледствие. Если суммарный импульс точек твердого тела равен нулю, кинетический момент(т.е.

момент импульса) можно вычислять относительно любой точки. Он от нее не зависит.Следствие- Определение. Пусть к точкам твердого тела ri приложены силы Fi (говорят, чтоприложена система сил). И пусть сумма всех сил равна нулю∑ F = 0 . Тогда суммарный моментiiM всех сил не зависит от точки относительно которой он вычисляется. В этом случае говорят, что ктвердому телу приложен момент M .Утверждение. (Условия статического равновесия твердого тела) Пусть к твердому телу приложены внешние силы и моменты. И пусть в начальный момент твердое тело было неподвижно.

Тогда в последующие моменты времени тело будет неподвижно (будет находится в состоянии статического равновесия) тогда и только тогда, когда равны нулю сумма всех внешних сил, приложенных кего точкам и суммарный момент этих сил и моментов.Доказательство. а) необходимость. Если твердое тело находится в равновесии, то его импульс и кинетический момент равны нулю. Утверждение вытекает из теоремы об изменении импульса и кинетического момента системы точек.б) достаточность. Если суммарная сила и момент равны нулю, то из теоремы об измененииимпульса и кинетического момента системы точек следует, что импульс и кинетический момент постоянны. Поскольку в начальный момент они были равны нулю, то они будут равны нулю и все время. Из равенства нулю импульса следует, что центр масс тела неподвижен. Неподвижность тела вытекает из первого утверждения раздела.Вопросы к материалу Лекция 09-01.•Твердое тело с неподвижной точкой.09-Динамика и статика свободного твердого тела-3••Оператор инерции и его свойства.Условия статического равновесия твердого тела.Лекция 09-02в)Вычисление кинетической энергии твердого тела.(1) Пусть тело имеет неподвижную точку O , vO = 0 .Тогда по формуле Эйлера о распределении скоростей в твердом теле r&j = [ω , r j ] .

Положим ω = ω e .Утверждение. T =I eω 2, I e = ∑ m j [e , r j ]2 = ∑ m j s 2j , где s j - расстояние от точки с но2мером j до оси Oe = l .Доказательство. Очевидно.Определение. Величина I e =тельно оси l = Oe .∑m sj2jназывается моментом инерции системы точек относи-(2) Общий случай. Воспользуемся второй формулой Кёнига.mvC2ω2T=+ TKEH , TKEH = I l ′22где l ′ - ось, проходящая через центр тяжести (точку C ) и параллельная ω .Пример. Катящийся обруч. T = mvC2Решение.

(Решить!!!)Вопросы к материалу Лекция 09-02.• Кинетическая энергия твердого тела в общем случае.Лекция 09-03Свойства моментов инерции.Для сплошного твердого телаI l = ∫ s 2 dm = ∫ s 2 ρ dxdydzDDгде s = s ( x, y, z ) - расстояние до оси l , ρ = ρ ( x, y, z ) - плотность массы.Теорема. (Гюйгенс-Штейнер) Проведем ось l ′ через центр тяжести C параллельно оси l( l ′ || l , C ∈ l ′ ).

Пусть d - расстояние между осями. ТогдаIl = Il ′ + m d 2Доказательство. Пусть тело вращается вокруг оси l . По второй формуле Кёнига имеемT=m d 2ω 2 1111I lω 2 = mvC2 + I l ′ ω 2 =+ Il ′ ω 22222209-Динамика и статика свободного твердого тела-4Доказательство завершено.Задача. Доказать эту теорему непосредственно.Задача. Доказать, что I x + I y ≥ I z , причем равенство возможно тогда и только тогда, когдавсе точки тела лежат в плоскости Oxy .Решение. (Решить!!!)Пример. Обруч: I Z = mr 2 , плоский, следовательно I x = I y =1 2mr2Задача.

Показать, что I x + I y + I z = 2 I OЗадача. Найти моменты инерции сферы.2) Вычисление кинетического момента твердого тела.(1) Движение с неподвижной точкой.Пусть vO ≡ 0 , тогда по формуле Эйлераr&j = [ω , rj ] ,K O = ∑ m j [rj , r&j ] = ∑ m j [rj ,[ω , rj ]](*)Воспользуемся известной формулой [a ,[b , c ]] = b < a , c > −c < a , b >[rj , [ω , rj ]] = ω rj2 − rj < rj ,ω >ТогдаKO = IO ω(**)где I O - оператор инерции твердого тела:I O ω = ∑ m j rj2ω − ∑ m j < rj , ω > rjОператор инерции линейно отображает пространство угловых скоростей твердого тела на пространство его кинетических моментов.

В координатной записиI O ω = ∑ m j ( x 2j + y 2j + z 2j ) ω − ∑ m j ( x jω x + y jω y + z jω z )rj = Ix=  − I xy− I xzгде,− I xyIy− I yz− I xz  ω x  − I yz  ω y I z  ω z I x = ∑ m j ( y2 + z 2 ) , I y = ∑ m j (x2 + z 2 ) , I z = ∑ m j (x2 + y2 )I xy = ∑ m j x j y j , I xz = ∑ m j x j z j , I yz = ∑ m j y j z jПервые три величины I x , I y , I z – это моменты инерции тела относительно осей Ox , Oy и Oz . Последние три величины I xy , I xz , и I yz - называются центробежными моментами инерции относительно плоскостей Oxy , Oxz и Oyz .Задача. Покажите, что, если тело невырождено, т.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций