TM-10 (1159473)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

10-Динамика материальной точки-1Лекция 10-1Движение точки по прямой.Уравнение движения в общем случае: m&x& = F (t , x, x& ) . Предположим, что F = F (x) , тогдаx∂V ( x)∂V ( x)сила потенциальна: F = −, где V = − ∫ Fdx и уравнения движения имеют вид m&x& = −.∂x∂xx0Закон сохранения энергии:mx& 2mx& 2+ V ( x) = h = const . Так как≥ 0 , то движение с данной22постоянной энергии h может происходить лишь в областиDh = {x ∈ R : h − V ( x) ≥ 0}Dh называется областью возможности движения (иногда употребляется термин – область возможного движения).

Это замкнутое множество в R . Оно состоит из не более чем счетного числа отрезков(возможно бесконечных, или вырождающихся в точку).Определение. Фазовой плоскостью системы “точка на прямой” называется плоскость2R = {( x, x& )} , т.е. плоскость пар – “положение – скорость”.Определение. Фазовым портретом системы m&x& = −уровня интеграла энергии γ h = {( x, x& ) :∂V ( x)называется семейство кривых∂xmx& 2+ V ( x) = h} на фазовой плоскости R 2 = {( x, x& )} , ориен2тированных естественным образом.

Кривые γ h могут быть несвязными, т.е. разбиваться на несколько отдельных замкнутых компонент (т.н. связных компонент). Из закона сохранения энергии следует,что система все время двигается по кривой γ h , на которой движение началось. Подмножество γ h ,которое заметается при неограниченном во времени (вперед или назад) движении системы – это фазовая кривая уравнений движения.Замечание.

О естественной ориентации кривых γ h . В верхней половине фазовой плоскости,где x& > 0 , координата x монотонно растет, а в нижней половине фазовой плоскости, где x& < 0 , координата x монотонно убывает. Значит, кривые γ h ориентированы так, что в верхней полуплоскостидвижение по ним происходит слева-направо, а в нижней – справа-налево. При этом, компоненты γ h ,являющиеся замкнутыми кривыми ориентированы по часовой стрелке.Утверждение.1. Проекция γ h на ось Ox совпадает с Dh .2. Крайние точки связных компонент Dh лежат на γ h .3. γ h симметричны относительно оси Ox .Доказательство. Сразу вытекает из формулы.

x& = ±вершено.Фазовый портрет удобно строить под графиком V .2h − V ( x) . Доказательство заm10-Динамика материальной точки-2Второй этаж в этой трехэтажной картине обычно пропускают.Замечание. Направление стрелок в верхней полуплоскости - вправо, в нижней - влево.Определение. Критическая точка функции потенциальной энергии – это точка, x0 , где∂V ( x0 )= 0 . Критическое значение энергии (или интеграла энергии) – это такое, что Dh со∂xдержит критическую точку потенциальной энергии.Критические точки потенциальной энергии являются положениями равновесия системы, т.е.

x(t ) = x0 является решением уравнений движения.Сепаратриса соответствует критическому значению энергии при котором достигается локальный максимум потенциальной энергии.Утверждение. Пусть функция V (x) гладкая и ее критические точки невырождены(т.е. в точках, где V ′( x0 ) = 0 , выполнено V ′′( x0 ) ≠ 0 ).

Тогда1. Для любого не критического уровня энергии h кривая γ h состоит из гладких несамопересекающихся компонент.2. Если h соответствует локальному максимуму V , то у γ h есть особенность типа.3. Если h соответствует локальному минимуму V , то соответствующая фазовая кривая является связной компонентой γ h и вырождается в изолированную точку.Доказательство.1.

Пусть точка A = ( x0 , x&0 ) ∈ γ h .Если x&0 ≠ 0 , то в окрестности точки A γ h - это график функции x& =2h − V ( x)m2h − V ( x) ). Под корнем стоит положительная величина (т.к. T > 0 ). Следоваmтельно, эта функция гладкая.Если x&0 = 0 , то h = V ( x0 ) . Поскольку h - некритическое значение, то V ′( x0 ) ≠ 0 .mu+ V ( x) − h = 0 . Поскольку вОбозначим x& 2 = u . Уравнение γ h имеет вид Φ ( x, u ) =2∂Φ= V ′( x0 ) ≠ 0 , то по теореме о неявной функции, это уравнениеточке ( x0 ,0) выполнено∂x(или x& = −10-Динамика материальной точки-3однозначно разрешимо и x(u ) = x0 + g (u ) , где g (u ) - гладкая функция.

Значит, в окрестностиособой точки γ h задается уравнениемx( x& ) = x0 + g ( x& 2 )где g - гладкая функция.Отметим, что g (0) = 0 и в точке x0∂Φ ∂Φ dx m0=+= + V ′′( x0 ) gu′ (0)∂u ∂x du 2т.е.mgu′ (0) = −2V ′′( x0 )Значитmx& 2x( x& ) = x0 ++ O( x& 4 )2V ′′( x0 )т.е. в окрестности A кривая представляет собой (в малом) квадратную параболу.Лемма. (малая лемма Морса?) Пусть f ( x) ∈C k , и x0 ∈ R некая точка. Тогдаf ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) g ( x) , где g ( x) ∈ C k −1 и g ( x0 ) = f ′( x0 ) .Доказательство. Обозначимa( x) = f ( x) − f ( x0 ) .нат: y = x − x0 . Тогда a(0) = 0 . Нам достаточно доказать, чтоСдвинемначалокоорди-a( y ) = yg ( y ) , где g ( y ) ∈ C k −1 и g (0) = a′(0) .da.

Поскольку a(0) = 0 , тоОбозначим a′( y ) =dy1a( y) = ∫0111da (ty )d (ty )dt = ∫ a′(ty )dt = ∫ a′(ty ) ydt = y ∫ a′(ty )dtdtdt0001Обозначим g ( y ) = ∫ a′(ty )dt . Доказательство завершено.0Пустьf ( x) ∈C k ,иx0 ∈ Rнекаяточка.Тогдаf ′′( x0 ).f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 g ( x) , где g ( x) ∈ C k − 2 и g ( x0 ) =22. Пусть x0 - точка локального максимума V , причем эта критическая точка невыроСледствие.ждена. Тогда V ( x0 ) = h , V ′( x0 ) = 0 , V ′′( x0 ) < 0 .

Поэтому V ( x) − h = ( x − x0 ) 2 g ( x) , где g (x) гладкая функция, причем V ′′( x0 ) = 2 g ( x0 ) < 0 . Уравнение для γ h имеет видmx& 2mx& 2+ ( x − x0 ) 2 g ( x) = 0 или= −( x − x0 ) 2 g ( x)22Решение имеет две ветвиm x& = ±( x − x0 ) − 2 g ( x)Они называются ветвями сепаратрисы. Модуль тангенса угла наклона этих ветвей к оси Oxравенdx&2 g ( x0 )V ′′( x0 )= −= −dxmmЗамечание. В первом приближении ветви сепаратрисы задаются уравнениемm x& = ±( x − x0 )( − V ′′( x0 ) + O( x − x0 ))Φ( x, x& ) =10-Динамика материальной точки-43. Пусть x0 - точка локального минимума V Тогда V ( x0 ) = h и для всех близких к x0значений x будет V ( x) > h .

Значит в проколотой окрестности точки ( x0 ,0) будетmx& 2mx& 2+ V ( x) > h . Т.е. решений уравнения+ V ( x) = h нет. Значит, точка ( x0 ,0) является изо22лированной точкой γ h .Пример. Математический маятник.Формально – это движение материально точки по вертикальной гладкой окружности в полетяжести. Не совсем строго – это материальная точка подвешенная в вертикальной плоскостина нерастяжимой (и несжимаемой и несгибаемой) нити.

Натяжение нити обозначим Fнат потом мы узнаем, что оно называется реакцией связи. Тогда уравнение движения точки выглядит так:m&r& = mg + FнатЧтобы избавиться от реакции связи Fнат , проектируем уравнение на ориентированную касательную к окружности, по которой движется точка, т.е. на вектор eϕ полярной системы координат. Поскольку r = const , r& = 0 , то получимmrϕ&& = −mg sin ϕ“минус” здесь потому, что (на рисунке) ϕ < 0 , а проекция mg - положительна.

(Если ϕ > 0 ,то “минус” сохранится).Уравнение движения для ϕ имеет такой же вид, как и уравнение движения точки попрямой в потенциальном поле сил. Роль потенциальной энергии играет функцияV (ϕ ) = −mg cos ϕ .Интеграл энергииmrϕ& 2− mg cos ϕ = h2Фазовый портрет системыВсе картинки 2π периодичны по ϕ .Квадратуры.Проинтегрируем уравнения движения материальной точки по прямой2x& = ±h − V ( x)m10-Динамика материальной точки-5следовательноxdξ2∫x ± h − V (ξ ) = m (t − t0 )0Отсюда вытекает формула для периода движения по замкнутой фазовой кривойT ( h) =x2 ( h )∫x1 ( h )T ( h) = 2x2 ( h )∫dx2h − V ( x)m+dxx1 ( h )∫x2 (h)dx−= 2m2h − V ( x)mx2 ( h )∫dxh − V ( x)2x1 ( h )h − V ( x)mМожно показать, что этот интеграл сходится и в несобственных точках x1 и x2 , в которыхh − V ( x) = 0 .

Поскольку в окрестности этих точек под интегралом стоит величина обратнаякорню квадратному из линейной функции (с точностью до малых второго порядка).Отметим, чтоx ( h) ∂∂  2∂T ( h) =2 ∫ 2m h − V ( x) dx  =mx&dx =pdx∫∂h  x1 ( h )∂h γ∫h ∂h γ hгде p = mx& - импульс точки.x1 ( h )Вопросы к материалу Лекция 10-1.••••••••••Движение точки по прямой.Закон сохранения энергии. Область возможности движения.Фазовая плоскость системы “точка на прямой”.Фазовый портрет.Ориентация линий уровня и их свойства.Критический уровень.Сепаратриса.Типы точек линий фазового портрета.Математический маятник.Интегрирование в квадратурах и период движения для движения точки по прямой.Лекция 10-2Асимптотики периода колебаний.(1) Малые колебания ( h ≈ min V ).Рассмотрим движение в окрестности невырожденного минимума потенциальной энергии.

Вэтом случае, обычно не исследуют интеграл (квадратуры), а линеаризуют уравнения. Делают это так.Мы интересуемся движениями, при которых x ≈ x0 , где в точке x0 V имеет локальный минимум.Мы рассматриваем невырожденный случай, т.е. V ′( x0 ) = 0 , V ′′( x0 ) > 0 . Положим ξ = x − x0 ≈ 0 .Тогда уравнение движения m&x& = −∂Vперейдет в∂x10-Динамика материальной точки-6mξ&& = −V ′( x0 + ξ ) = −V ′( x0 ) − V ′′( x0 )ξ + O(ξ 2 )Отбрасывание нелинейностей в уравнении называется его линеаризацией.

Линеаризуем это уравнение. ПолучимV ′′( x0 )mξ&& = −V ′′( x0 )ξ , или ξ&& = −ω 2ξ , где ω 2 =>0mОбщее решение этого уравнения имеет вид гармонических колебанийξ = a sin ωt + b cos ωt = A cos(ω t + B)V ′′( x0 )m, а период равен 2πV ′′( x0 )mИтак, частота малых колебаний равна (приближенно)Сдвиг координаты x и добавление константы к потенциальной энергии не изменяет уравнений движения. Поэтому, не нарушая общности будем считать, что V ( x0 ) = 0 и x0 = 0 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций