TM-02 (1159465)
Текст из файла
02-Кинематика точки-1Лекция 02-1Кинематика точки.Первая механическая система, которую мы рассмотрим – это материальная точка в трехмерном пространстве E 3 . Формально движение точки – это непрерывное отображение интервала времени I в E 3 .f : I ⊆ Rt → E 3 , t → f (t ) ∈ E 3OrЕсли положение точки задано радиус-вектором r , то движение задается функцией t → r (t ) .
В координатах r (t ) = x(t )ex + y (t )e y + z (t )ez .Определение (Def.) Образ f ( I ) = γ ⊂ E 3 называется траекторией движения.Def. v (t ) = r& (t ) - скорость точки, a (t ) = &r&(t ) - ускорение точки.В координатахv (t ) = x& (t )ex + y& (t )ey + z& (t )ez , a (t ) = &x&(t )ex + &y&(t )ey + &z&(t )ezЗаметим, что здесь существенно используется неподвижность координатного репера Oex e y ez .Если v ≠ 0 , то в соответствующей точке определена касательная к траектории. Иначе, точкатраектории является особой.Задача.
Предложите такое движение, чтобы у траектории все точки были особые.Ответ. r (t ) = constПримеры1. Прямолинейное равномерное движение.γvoror (t ) = r0 + v0t , r0 , v0 = const , v = v0 ,a =0.2. Математический бильярд в области D (бильярд Биркгофа)Внутри области движение прямолинейное равномерное, а отскок от границы происходит по закону“угол падения равен углу отражения” с сохранением модуля скорости.Пусть n - единичная внутренняя нормаль к границе D в точке удара обозначим ∆v = v1 − v0 ,где v0 - скорость до удара, v1 - скорость после удара.Задача.
Показать, что ∆v = 2n < v0 , n > .Задача. Привести пример биллиарда и движения, у которого будет бесконечное число особыхточек (ударов) на конечном интервале времени.02-Кинематика точки-23. Движение точки по окружности в плоскости Oxy .Окружность параметризуем центральным углом ϕx = R cos ϕ , y = R sin ϕ , z = 0Движение точки задается функцией ϕ (t ) .Если ϕ& = const , то говорят, что точка совершает равномерное движение по окружности.Предупреждение. Не следует величину ϕ& называть угловой скоростью точки. Понятие угловой скорости связано с движением тела и будет дано позже. Лучше говорить о скорости измененияугловой координаты при движении точки по окружности.& x + ye& y + ze& zВычислим скорость: v = xex& = − R sin ϕ ϕ& , y& = R cos ϕ ϕ& , z& = 0& , где τ = − sin ϕ ex + cos ϕ ey - единичный касательный вектор к окружности.v = RϕτВычислим ускорение: a = &&x ex + &&y ey + &&z ez&&x = − R cos ϕ ϕ& 2 − R sin ϕ ϕ&& , &&y = − R sin ϕ ϕ& 2 + R cos ϕ ϕ&& , &z& = 0a = Rϕ&&2τ + Rϕ& 2 n , где n = − cos ϕ ex − sin ϕ e y - внутренняя нормаль к окружности.Величина v = Rϕ& - это проекция скорости на положительно ориентированную касательную(длина вектора скорости со знаком).
Тогда& = vτ ,v = Rϕτa=v2n + v&τRv2n называется нормальным ускорением (или центростремительным). Слагаемое v&τСлагаемоеRназывается касательным ускорением.4. Циклоидальное движениеЗадача. Циклоида – это траектория точки обода колеса, катящегося по прямой без проскальзывания.Имеем PP′ = Rϕ , поэтомуx = Rϕ − R sin ϕ = R(ϕ − sin ϕ ) , y = R − R cos ϕ = R(1 − cos ϕ ) , z = 0Значитy = 0 при ϕ = 2πn , и y = 2 R при ϕ = π + 2πn , n = 0,±1,±2, KДифференцируя по времени, получаемx& = Rϕ& (1 − cos ϕ ) , y& = Rϕ& sin ϕ , z& = 0При ϕ = 2πn имеем v = 0 . Т.е.
нижние точки циклоиды – особые. В верхних точках ϕ = π + 2πnзначит v = 2 Rϕ&ex .Вычислим ускорения&x& = Rϕ&&(1 − cos ϕ ) + Rϕ& 2 sin ϕ , &y& = Rϕ&& sin ϕ + Rϕ& 2 cos ϕ , &z& = 0При ϕ = 2πn имеем a = Rϕ& 2e y . Т.е. в нижней точке ускорение направлено вверх.02-Кинематика точки-3Рассмотрим циклоиду в окрестности нижней точки P , т.е. при малых ϕ . Разлагая в ряд допервых значащих членов, получаемx=Rϕ36+ O(ϕ 5 ) , y = RЗаметим, что x 2 = R 2ϕ6ϕ22+ O(ϕ 4 )+ O(ϕ 8 ) и y 3 = R 3ϕ6368899y 3 = Rx 2 + O(ϕ 8 ) = Rx 2 + O( x 3 )22+ O(ϕ 8 ) . ОтсюдаОтсюда можно доказать, что особенность имеет видy=349R 23x + O( x 3 )2Это задача на домРешение. Выносим x 2 за скобки, тогдаy3 =8 −229 29Rx (1 + O( x 3 ) = Rx 2 (1 + O( x 3 ))22Отсюда21249R 239R 239R 23x (1 + O( x 3 )) 3 = 3x (1 + O( x 3 )) = 3x + O( x 3 )222Вопросы к материалу - Лекция 02-1.y=3••••••••Предмет классической механикиКинематика.Абсолютное пространство, система отсчета.Траектория, скорость, ускорение точки в пространстве.Прямолинейное равномерное движение.Бильярд в области на плоскости.Движение точки по окружности.Циклоидальное движение.Лекция 02-2Дифференциальная геометрия кривых в E 3 .Пусть γ - траектория движения точки в E 3 , и l - касательная прямая к γ в неособой точ-ке P .v- единичный касательный вектор.vУтверждение.
Определение корректно, т.е. не зависит от параметризации времени.Доказательство. Пусть траектория движения задается функцией r = r (t ) и s = s (t ) - новоевремя - возрастающая гладкая функция, т.е. s& > 0 . Тогда в окрестности того момента времени, когдаОпределение. τ =−1dt ds = > 0 . Произтраектория попадает в P , существует обратная функция t = t ( s ) . При этомds dt dводную по параметру s будем обозначать штрихом:() = ()′ . Тогда новая скорость:ds02-Кинематика точки-4r′ =dr dr dt &== r t′ds dt ds(*)отличается от старой положительным множителем. Следовательно, касательный вектор τ при новойпараметризации тот же самый. Доказательство закончено.Ускорение при новой параметризацииrr ′′ = &r&(t ′) 2 + r&t ′′(**)Определение.
Соприкасающейся плоскостью Π называется линейная оболочка натянутая навектора скорости и ускорения ( v и a ).Из (*) и (**) следует, что линейная оболочка натянутая на r& и &r& совпадает с линейной оболочкой, натянутой на r ′ и r ′′ , т.е. определение соприкасающейся плоскости Π корректно, если v иa неколлинеарны ( a b ).Замечание.1) При любой параметризации вектор ускорения a всегда лежит на соприкасающейся плоскости Π по одну сторону от касательного вектора τ . Это видно из (**). Т.к.
отклонение от направле-rния τ - это &r&(t ′) 2 и (t ′) 2 > 0 .2) Для прямолинейного движения соприкасающаяся плоскость Π не определена.Определение. s называется натуральным параметром, если r ′ ≡ 1 .Посколькуttt0t0dtdt> 0 , то r ′ = r&≡ 1 , и s выражается через произвольный параметр t так:dsdss = ∫ r& dt = ∫ vdt - это пройденный путь. Отсюда s& = v - скорость.r ′′= n ∈ Π - нормаль к кривой. Она называется главной нормалью.r ′′Доказательство. Первое равенство следует из определения τ и sВторое: Достаточно доказать, что τ ⊥ r ′′ . Дифференцируем по s равенство < r ′, r ′ >= 1 .
Получаем 2 < r ′, r ′′ >= 0 . Доказательство закончено.1Опрелделение. Величина r ′′ = k называется кривизной кривой, а = ρ - это радиус кривизkУтверждение. r ′ = τ ,ны.Кривизна пространственной кривой всегда неотрицательна k ≥ 0 .Из определения имеем τ ′ = kn , т.е. k - это модуль ускорения при движении с единичнойскоростью.Задача. Доказать, что для окружности1- это ее обычный радиус.kОсновная формула кинематики точки. Проекции ускорения на касательную и нормальПусть точка движется по гладкой кривой. Тогда в каждый момент времени ее скорость касается кривой, а ускорение лежит в соприкасающейся плоскости к кривой.
Более того, скорость и ускорение точки устроено таким же образом, как скорость и ускорение точки, которая двигалась бы посоприкасающейся окружности к кривой. Этот факт выражается в следующем утверждении.rТеорема. v = vτ , a = kv 2 n + v&τ• dr ••2 = (r ′s&) = (vτ ) = v&τ + vτ ′s& = v&τ + kv n dt Определение. Нормальное ускорение an = kv 2 , касательное ускорение aτ = v& .Доказательство. a = &r& = Определение.
Репер Френе – это τ , n , b = [τ , n ] . Другое название – естественный трехгранник..02-Кинематика точки-5τ - касательный вектор, n - главная нормаль, b - бинормаль.Формулы Френе.Теорема. (Формулы Френе).τ ′ = kn(1)n ′ = − kτ + ηb(2)b ′ = −ηn(3)(Величина η называется кручением кривой.)Доказательство. (1) – уже доказано.(2) Надо показать , что < n ′, n >= 0 , < n ′, τ >= −k , тогда обозначив < n ′, b >= η , получим (2).< n , n >= 1 , поэтому 0 =< n , n >′= 2 < n ′, n >< n , τ >= 0 , поэтому 0 =< n , τ >′=< n ′, τ > + < n , τ ′ >=< n ′, τ > + < n , kn > , т.е. < n ′, τ >= −kПокажем теперь (3). По определению b = [τ , n ] .
Отсюдаb ′ = [τ ′, n ] + [τ , n′] = [kn , n ] + [τ ,− kτ + ηb ] = −ηnДоказательство закончено.Формула для вычисления кривизны.Обычно вводить натуральный параметр сложно. Поэтому нужно уметь вычислять кривизнупри любой параметризации кривой. Пусть r = r (t ) - любая параметризация.Утверждение. k =Напоминание. k =[r& , &&r]r&3=[v , a ]v3.(***)anv2Доказательство. Имеем a = kv 2 n + v&τ , и v = vτ . Поэтому[v , a ] = [vτ , kv 2 n + v&τ ] = kv3[τ , n ] = kv3b .Вспомнив, что k ≥ 0 , получим нужное. Доказательство закончено.Задача.
Пример. Кривизна циклоиды.Положим ϕ ≡ t , тогда x = R(ϕ − sin ϕ ) x& = R(1 − cos ϕ ) &x& = R sin ϕ, , y = R(1 − cos ϕ ) y& = R sin ϕ &y& = R cos ϕОтсюда2v = 2 R 2 (1 − cos ϕ ) = 4 R 2 sin 2ϕ2,[v , a ] = R 2 (1 − cos ϕ ) = 2 R 2 sin 2ϕ202-Кинематика точки-6По формуле для кривизныk=v,av3=2 R 2 sin 28R 3 sin 3ϕ2 =ϕ214 R sinϕ, ρ=ϕ1= 4 R sin2k2Формула для вычисления кручения.Задача. Доказать формулу для кручения η =< [v , a ], a& >[v , a ]2[v , a ] = kv3b и a = v&τ + kv 2 n , поэтому< [v , a ], a& >=< kv3b , v&τ + vkn + (kv 2 ) n + kv 2 (− kτ + η b ) ==< kv3b, kv 2η b >= k 2v5ηРешение.подставив сюда (***) получим требуемоеЗадача. Найти кривизну и кручение винтовой линии.x = r cos t , y = r sin t , z = ht , h - шаг винта, r - радиус винтаrh, η= 2Ответ. k = 22r +hr + h2Итоги.
Подведем итоги кинематики точки. При движении точки скорость – касательна к еетраектории. Ускорение разлагается на касательную и нормальную составляющие. Касательная составляющая равна производной модуля скорости aτ = v&τ . Нормальная составляющая лежит в соприкасающейся плоскости и направлена к центру соприкасающейся окружности.
Ее величина такая же,как ускорение точки движущейся с постоянной скоростью по соприкасающейся окружностиan =v2ρn.Вопросы к материалу - Лекция 02-2.•••••••Касательный вектор.Соприкасающаяся плоскость.Натуральный параметрКривизна и радиус кривизны.Проекция ускорения на касательную и нормаль.Формулы Френе.Формулы для вычисления кривизны и кручения по кинематическим параметрам.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
