Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 63
Текст из файла (страница 63)
е. в=о(1) =Р, „,и(1). Тем самым показано, что любая точка в, являющаяся предельной для семейства точек (Рггои (1)) при т- 1, совпадает с о(1). Это значит, что указанное семейство сходится к о(1), т. е. (Р~сои(1) — о(1) ~- 0 при т-+1. Таким образом, второе слагаемое в правой части нера- венства (11) также стремится к нулю при т-~1. Следо- вательно, если и(1) непрерывна в точке 1, то и функция о(1) из (10) также непрерывна в этой точке.
В частности, если и(1) непрерывна на отрезке [Е„ТЕ, то о(1) также непрерывна на этом отрезке. Наконец, из приведенного доказательства видно, что если существует предел Ищ и(т)=и(1 ~-0), то сущее.ко ствует !цп о (т) = Реп~и (1 +- 0). Это значит, что если ~-с. о и(1) кусочно непрерывна на отрезке [Е„Т), то о(1) также кусочно непрерывна иа этом отрезке. Лемма 3 доказана.
4. Вернемся к задачам (1) — (3) и (4) — (6). Через,Е обозначим нижнюю грань функции (1) при условиях (2), (3), через Ен, — нижнюю грань функции (4) при усло- виях (5), (6). Теорема 1. Пусть матрицы А(рп В(1), Е'(1) кусочно непрерывны на отрезке [Е„Т), множества У(1) выпуклы, замкнуты, ограничены и непрерывны по Хаусдорфу при всех 1е= [Е„Т!.
Пусть разбиения (1ь е =О, ЕУ) отрезка 346 ((ь, Т) таковы, что с(н= снах ЛЦ((Т вЂ” 1,)Мь/б7, У=1, 2, ... О<4<к — 1 Тогда 1пп 1н =14 и справедлива оценка — Свбн==)н„— 7,(Сьбл Ж=! 2. (12) где С, = 2С„+ 2С4 -1- 2 ~ у ~ = С„постоянные С„С, взяты из (1.8), (1.16) при Ж'=У, (!7н =Ум соответственно, а величина бн определяется формулой Н вЂ” ! 044 бн=е" 4"(~ Ц)~4 Э, ~ (! А(т) — А,)Сь+ (=0 4 +АпьахС44(н+~)(т) ~; ~+ зпр зцр ',и))В (т) — В; ~+ и<~<7 ь~г<о + Вьь„ь4 (дн)) йт; (13) здесь ы (й) — хаусдорфов модуль непрерывности мнозсеств К (1), 14(1 -'Т, или какая-либо оценка сверху этого модуля, А,„= ьцр (А(()', В „= зпр !В(!)'„посптоянная С, взята из оценки (1.11) при Ю'=У. Доказательство.
Положим Х=Ь.',144, Т), Хн = =1,'н. Отображения ьен: Х-+.Хн, Рн. .Хн-ьХ опреде- лим так: 4гн(и)=(и„и„..., ин,): и;=Ре,(о;), ~В4 о;= — ~ и(1)с(7, (14) ! Р„(1и)н)=Рж„и; пРи б(1 -..04„1=0, !У вЂ” 1, (15) где Ри(г) — проекция точки ген Е' на множество (7. Как видим, в рассматриваемом случае отображения 1~ь Рн имеют несколько более сложный вид, чем в предыдущих параграфах, в которых задача вида (1) — (3) исследовалась при (7 (1) = 1', 1, =!(Т.
Кстати говоря, при )7(1)==(7, 74(1(Т, формулы (14), (15) превращаются в формулы (1.20) и (1.21) соответственно. Так как множества )7(1) выпуклы и замкнуты при каждом 74:— 1(ь, Т), то отображения Яр,, Рн из (14), (15) определяются однозначно. Функция о (1) = Рн ([и)н) = 347 =Рж„и х(1), полученная проектированием кусочно постоян- ной функции ил (1) = и;, 8~1(б, 1=О, У вЂ” 1, согласно лемме 3, кусочно непрерывна на [1„Т] и, следовательно, Ри([и]о) 1'.[1о, Т] при всех [и]л ~![и Отсюда и из (14), (15) вытекает, что (ао (и) ен Ии, Ри ([и]и) оп У при всех и~0, [и]аеУл, У=1, 2, Заметим также, что согласно лемме 1 зпр ьнр ~и)-=Я(со, и<а<г ая~ Ю откуда следует, что множество (3) ограничено в метрике Е' [У„Т], и мы можем пользоваться оценкой (!.11) при %'=У, а также оценками (1.8), (1.16) при %'=У, (ол =-(7и Покажем, что справедливы оценки знр тах ~х(1ь и) — х;й)и(и)) ~(бл, оеио«о<и ' иенУ, )'о'=1, 2, ..., (!б) анр п1ах ~х(1а, Рог([и]л)) — хо([и]ч) !(бл, [о]и~ила<о<и ' [и]и ен Уи, У = 1, 2, ..., (!7) где величина би определяется формулой (13).
Рассуждая так же, как при получении неравенства (1.27), с помощью оценок (1.8) и (1.11) имеем !х (1, и) х ([и] ) ! „,залах~ ал ~а~4 и — 1( ыа Рл х '~~ ~ ~ (1 А (т) — А;)Со+ АоаааСао(и+ о=о с,. 'иа +[В(т) — В; [Р+ ~[(т) — [; (дую+В,„~ (и(т) — и;) о(т и вне, [и]л яУлч 1=0, Л', У=1, 2, ... (18) Зафиксируем какое-либо управление и и в (18) примем [и]л =Яи(и). Поскольку по условию й((г(т), (/;) =.
~оэ(~т — б~)(оо(о(х) при 1а~т(1;„, то согласно (8) Ъ'(т) с: У;"( "1 при всех т~[1ь 1а,а], 1=0, У вЂ” 1. Тогда из включения и (т) с: Ъ' (т) следует, что и (т) еп Ъ',". ( ") 348 почти всюду на [!ь !в,в!. Отсюда, замечая, что множество $'".( л) выпукло, замкнуто и не зависит от т, с помощью '!в! леммы!.1 получаем о,= —,~ и(т)в(тон)!, ( "), (=О, У вЂ” 1. Следовательно, (Рю (и!) — о; ) = р (ии У!) =- и ()г',.'(ви), )Л!) = ==во(в(и), 1=0, Л! — 1. Отсюда и из (14) имеем !.
3+! (и (т) — и;) в(т = Л!! ~ о! — ив~ =. !л(;во(г(л!), ! = О, У вЂ” 1. Тогда из (18) при (и)и = Яи (и), и ен (I, получим оценку (16). Далее, возьлвем какое-либо [и)л ~(/и и в (18) примем и = Ри ([и)и). Из того, что й (1~ (т), 1'!) ( во (~ т — !! !) ( <го(в(л) при Ув(т( 1;„, согласно (8) следует, что )'!с ~(Ъ'(т))"( л!) при всех те-:[(с, !в+!).
Поскольку [и)м= = (и„и„..., ил !) ен Ут означает, что и; я 1!в, то и; ен()г(т)) (вл) при всех т я[!в, (!,!), ! =О, У вЂ” 1. Следовательно, ~ Рггои! — ив! =р (ио $'(т)) -=.й((~/(т))"'(~л), )/ ) о-. '! !-! =-.о!(г(л,); отсюда и из (15) имеем ~ (Рл ([и)и) — и!)в(т(( Е. ==Лгвво(в!л), !'=О, йà — 1. Тогда из (18) при и=Рл ([и[в!), [и)л ~Уи следует оценка (17). Далее, рассуждая так же, как в леммах 1.3 и 1.4, из оценок (16), (17) получаем, что ~7лг(9и(и)) — 7(и)~(Соби=[)л„иенК Лг=1, 2, ..., [У(Р ([и!и)) — 7 (М )!- <! вбл!=уи [и!л'~Ь Л'=1 2 Таким образом, выполнены все условия теоремы 2.1, из которой следует оценка (12).
Остается заметить, что величина Ьи из оценки (12), определяемая формулой (13), стремится к нулю при Ж- со; это доказывается так же, как аналогичное утверждение в лемме 1.2. Теорема 1 доказана. 349 Предлагаем читателям самостоятельно рассмотреть за- дачи (1) — (3) и (4) — (6) прн наличии фазовых ограничений х((, и) яб(!), (ч —.(<Т, х;([и)н) енб((;), 1=0, 'т', где б(() — замкнутые множества, непрерывные по Хаус- дорфу на отрезке [гы Т), и доказать аналоги теорем изЯ3,4. ф 6. Аппроксимация задачи быстродействия 1. Пусть процесс описывается условиями х(!) = А (!) х(Г)+В (!) и(()+Г" (!), !)(ы х((,) =х„(1) и= и(!) ен Ц[с„а) при любом а'-.
гы и(!) ~ У(!) для почти всех !)(ы (2) где А(!), В(!), 1(!) — матрицы порядка и'нп, пхг, пх! соответственно, определенные при всех (~(, и кусочно непрерывные на любом конечном отрезке [(м а); начальный момент 1, и точка х,~Е" известны; У(!) — заданное при 1~ !, семейство множеств из Е'. Через х(г, и), 1~(ы как обычно, будем обозначать траекторию задачи (1), соответствующую управлению и=и(!), 1~ 1,. Пусть У и б(!), 1~!„— заданные множества нз Е". Определение !. Скажем, что система (1), (2) (Т, б(!), У)-управляема, если существуют хотя бы одно управление и = и (!), 1=»(„удовлетворяющее условиям (2), и момент (=г(и), 1,~1(и)(Т, такие, что х((, и) енб(!), (,~((((и), (3) х(((и), и) ен !', х((, и) 4 У при (,(((((и). (4) Момент времени ! (и), удовлетворяюгций условиям (4), назовем временем первой встречи траектории х (д и) с множеством У.
Таким образом, (Т, б(!), У)-управляемость системы (!), (2) при некотором Т-. 1, означает, что множество б(Т), которое состоит из всех управлений и=и(!), удовлетворяющих условиям (2) — (4), непусто. Будем рассматоивать задачу !(и)«!п(, и~У(Т), (5) представляющую собой задачу быстродействия, в которой требуется за наименьшее время попасть из точки х, на 350 множество У', двигаясь по траекториям системы (1), (2) с соблюдением фазовых ограничений (3). Величину („= 1п1 ! (и) называют оптимальным вреи <т~ менем задачи (1) — (5); управление и„= и,„(!) ~ У(Т), для которого ! (и,) = гч, называют оптимальным управлением, а х ((, и,) — оптимальной траекторией задачи (1) — (5).
2. Приведем достаточные условия, при котор ~х в (5) нижняя грань достигается. Теорема 1. Пусть матрицы А(!), В (!), [(!), (~(„ кусочно непрерывны на любом конечном отрезке, множество !т (У) при каждом Е выпукло, замкнуто и эпр зпр !и~ (Р=Р(а) <оо при всех а ) !ь;мноь<! <а ие у и) жества 6(!), 1-ъ!», и !' замкнуты', система (1), (2) (Т, 6 (!), У)-управляема при некотором Т ) !». Тогда = 1п! ! (и) =Т и в задаче (1) — (5) существует оптимальное и ~т> управление. Д о к а з а т е л ь с т в о.
По условию множество У(Т) ~ (д, и при любых и ен У (Т) справедливо неравенство (!(и)(Т. Поэтому !ь =(„~Т(со. По определению нижней грани (5) существуют последовательность [!»[- Т)!»)1„, й=!, 2, ..., и управления и»=и»(!), !ь( (1=-!», й=1, 2, ..., такие, что х(! и») е-=6(Г) !ч<! =-!» х(Г», и»)е=-Г, х(г, и») ~ !', !»(1~!», у=1, 2, ... Заметим, что множество !(т(Т)=(и=и(!) е=й»[(ь Т]: и(!) я(т(!) почти всюду на [(ь Т]) (б) выпукло, замкнуто и ограничено в метрике Ь»[(ь, Т] и, следовательно, слабо компактно в Л»'[(„Т].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
