Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала рассмотрим случай 1ь«(,(Т. При каждом фиксированном Л~ имеются две возможности: 1) (л, ( („ при всех Й =О, 1, ... В силу монотонности ((нь) тогда существует Игп (нь « 1„, и из (36) следует ь со 1нп рн ((л„) = О. Это значит, что за конечное число шагов итерационный процесс (36) закончится выполнением условий (38). 2) Найдется номер з такой, что (н,«1,„(1н„,. Тогда нз соотношений (33), (35), (36) имеем (и ь=1н +рн((л )77-= =( . + (Рл ((нз) — Р ((н.)УЯ+(Р Рнь) — Р ((.))Х « (не+ а%+ ((ь 1л5) (ь + $уХ Так как (ян)-эО и 1а -1 (Т, то 1н 1«1 +$лЛ .- Т при всех У)Лгь. Отсюда и из условий (35), (37) следует, что Рн(гн '1)= = (Рл (гл +1) — р ((н»))+ (р ((н. ~) — р (1ь)) == «Ь+ 7. ((л „1 — Гв) == 2$л «6н.
Это значит, что условия (38) выполняются при некотором ты=в+1, Объединяя обе рассмотренные возможности, заключаем, что прн 1ь«1, (Т процесс (36) при каждом М) ) У, закончится за конечное число шагов выполнением условий (38), причем (н=~л «(,+$лу7-«Т, У- Л'ь. Отсюда имеем Игп (л«(„. Пусть Иш 1н= Иш (н =а. и сь Ф я l ОЭ Тогда с учетом условий (33), (35), (38) получаем О =.о(а) =(р(а) — р((н,))+(р(гн ) — он ((н ))+рн ((н )« «7,: а — (н, ~+ 8н, + 6л, -~ О и ри с -~- со.
362 Это значит, что р(а) =0 и, следовательно, а~1„,. Таким образом, имеем 1о<а= 11гп 1л = 1цп 1~д(1„т. е. л д У ш 11гп 1и =1„. Случай го<1,:,Т рассмотрен. Пусть теперь 1, ) Т. Зададим произвольное число е, О< е (Т вЂ” 1о. Так как функция р(1) непрерывна и р(1)) )0 при 1о(1<Т вЂ” е, то р,= ш)п р(1))0. Тогда и<о<т-е существует номер У, такой, что р,) $л,+0тт при всех Л' = У,. Следовательно, ри(1)>р(1) — зов)р,— Од,)0~, при 1о~1<Т вЂ” е. Из (38) — (40) тогда имеем Т вЂ” е(1л (Т при всех АГ) ) Ж,. В силу произвольности е отсюда получаем 1нп 1,д = = Т. Теорема 3 доказана.
Заметим, что если функция р(1) монотонно убывает, то вместо (37) можно взять условие Ь ==- 0и, М = 1, 2, ...; теорема 3 остается справедливой и в этом случае. Монотонность р(1) в задаче (1) — (5), (28) имеет место, например, при 1"= — О, 0 он )т, у=О. 7. Для получения величины рл,(1), удовлетворяющей условиям (35), можно воспользоваться разностной аппрок- симацией задачи (20) — (31). А ил1енно, пусть (1;: 1о(1,( (... (1т = Т',, Л" = 1, 2, ..., — разбиения отрезка [1„Т), удовлетворяющие условию бл = гпах (1;+~ — О) ~ (Т вЂ” 1о) Мо!АГ, о<о<и — 1 0=1, 2, ..., М,=сопз1)0. (41) Пусть 1 — некоторый фиксированный момент времени, (о<1 Т, и пусть 1 <1<1 „. Если 1<1„,о„то на время вычисления искомого значения ри (1) узловую точку 1 „заменимточкой1,т. е.
примем 1 „=1. Ясно, что от такого переопределения одной точки разбиения [1о) свойство (41) не изменится, нужно лишь в (41) вместо М, взять 2М,, Рассмотрим задачу 7л ([и]„, 1) = , 'х „([и1л) — у ~о — ~- (п1, (42) хм1=х;+ЛА(А;х;+В;и;+[;), 1=0, тль 1 ы —— 1, (43) [и~~ ен (о'и= (т'л (Т) = = ([и)л~ = (и„..., ии,): и; ~ )т, 1= О, Аà — 1). (44) Положим рл (1) = 1п1 1и ([и]„, 1). жи Ясно, что на задачу (42) — (44) величины и,,„т, ... ..., им т не влияют.
Но тем не менее, как и в задаче (29) — (31), мы здесь рассматриваем множество (44), так как при нижеследующих ссылках на ч 1 удобнее работать с множеством Ж'ы. А именно, важно заметить, что все оценки из ~ 1 для траекторий х(т, и), инн((У, и [хь([и)м))ы, [и4у ен((ум, получеььььые для отрезка [(„Т7, остаются справедливыми и для отрезка [(„(! с теми же постоянными фф..., не зависящими от выбора та~(-=.Т. Поэтому, повторив рассуждения из з 1, согласно оценке (1.31) получим !рлт(!) — р(Г)!(Сбы, !в(1(Т А(=1, 2,, (45) где С=шах[Се; С,), величина бы определяется формулой (1.26). Далее, учитывая, что задачу (42) — (44) придется решать приближенно, заметим, что на практике вместо величины ры (!) нам удастся найти лишь некоторое ее приближение ри(!) с погрешностью ~ рл (!) — рл(!) ~()(ы Будем считать, что с увеличением Аь точность решения задачи (42) — (44) повышается и (ул)-мО.
Отсюда и из (45) будет следовать, что величина рьт(!) удовлетворяет условиям (35) при $л:=Сбл+)(и -О, Аь- со. Заметим, что описанный выше метод поиска минимального корня уравнения р (г) может быть модифицирован на случай функций р(!), удовлетворяющих условиям !р(!)-р() [- (~ — !) . Т, где оь (ь() — неубывающая функция переменной д ) О, оь(0) =О, и применен для решения более сложных задач быстродействия [56, 601.
О других аспектах задач быстродействия, различных приложениях, о дифференциальных играх преследования- уклонения, обобщающих задачи быстродействия на случай конфликтных ситуаций, см., например, в [15, 29, 36 — 39, 49, 54 — 56, 60, 82 — 86, 93, 104, 106, 107, 113, 116, 125 — 128, 156, 158, 167 †1, 175 †1, 183, 184, 199, 215, 216, 229, 230).
9 7. Об аппроксимации максиминных задач Ь. Пусть Х, )' — множества произвольной природы, К (т — заданные множества, (т ~ Х, (т ы 'т', функция У(и, в) переменных и, и определена при всех (и, о) ш б иР, 364 Рассмотрим задачу: найти величину зир !п1,/(и, о)=?г. ишь/ ото Задачи такого типа возникают в теории игр и исследовании опера- циИ, в вопросах приближения функциИ, при исследовании влияния погрешности исходных данных на Решение задачи минимизации и т. д. [6, 18 — 20, 76, 77, 88, 119, 12), !23, 127, 128, 131, 134, 136, 144, 149, 150, !60, 161, 170 в !7?, 181, 183 в 187, 205, 2!О, 217 †2 229, 230].
Пусть Х, 1', М=!, 2, ..., — некоторые множества произвольной пРиРоды, Ум, У/г — заданные множества, Ум ы Хм, Ум ы У ч, функции //ч ([и]м, [о],.ч) определены при всех ([и], [о],) ~ я У,х У , М = 1, 2, ... Рассмотрим последовательность задач: найти зор (п! /,ч([и]/ч, [о]/ч)=/, М=1, 2, ... (2) !и) и ш Ум !о)м ш У.ч Возникает интересный для приложений вопрос: каким условиям должны удовлетворять множества У, 1'/, и функции / ([и]М, [о] ) для того, чтобы последовательность задач (2) аппроксимировала задачу (!) по функции, т. е, !'пп /, =? ) (3) Следующая теорема дает ответ на этот вопрос.
Т е о р е м а 1. Для того чтобы последовательность задач (2) аппроксимировала задачу (1) по функции, необходимо и достагпочно выполнения следоющих двух условиа: 1) для каждого натурального числа М гв 1 существует отображение Р: Х вЂ” «Х и для любого [и] ~ У существует отображение г',!ч; У-«У такие, что Р „([и] ) г= У при [и] г= У, Ц,(о) шУ при о ем У и 1пп [/м ([и]м, Ям (от)) — / (Рм ([и]м), ом)] 0 (4) ы со при любом выборе [и]М я У и о гы У (/юдчеркнем, что отображение (]М в (4), вообще говоря, зависит от [и)/ гы У ); 2) длл каждого натирального числа М )! существует отображение !3 Х -«Х и длч любого и ~ У существует отобоажение Р,г У,— «У такие, что У (и) ж УМ при и ш У, РМ ([о]/,) си — У при (о[, гн У и 1нп [,?(им, Рм([о]м)) — /м(С)м(им), [о]м)](0 (5) при любом выборе и я У и [о] гн У, (подчеркнем, что отображе. ние Р, в (5), вообще говоря, зависит от и ~ (/), Лак а ватель ство.
Из определений величин ?~, / следует, что 365 1) существуют и е У, %=1, 2, ..., такие, что [пп (У вЂ” Х(и, о )) ~0 у со (б! при любом выборе о е У! 2) существуют [и[, „ем У, У=!, 2, ..., такие, что !пп (! — [, ([и]у, [о)! )) (О (7! при любом выборе [о), е Уу,.
3) для каждого фиксированного и .е У найдется точка о е У такая, что !ип (.1(иу, о, „) — ! ) ~0; (8) у оо 4) для каждого фиксированного [и[, е У, найдетсн точка [о!у е ру такая, что ![щ (7у ([и[ „[о[ ) — ! [9! СО В самом деле, из определения верхней грани следует существование таких иу е У и [и[!у е Уу, что !п! у (»у, о) — г„— !7у 1п[ !у ([и[а [»[у) гз »Е у ' [»!уЕ Уу св!у — 17У, У=!, 2, .„ Вспоминая определение нижней грани, отсюда при любом выборе о е У, [о[, е !'у имеем ! (» '*' оу) рв уе 17У' !у ([и[уз' [о!у) [уе !7У' или [ч — ! (иу„, оу) = [[У [л „, — [у ([и[а „[о!у) = ![У У =1, 2, " Отс1»да пои У -»со получим неравенства [8), (9). Не обход и мост ь.
Пусть задачи [1), (2) таковы, что выполнено равенство (3). Покажем, что тогда необходимо выполняются 366 Отсюда при М-ьсо получим неравенства [61 и [71. Далее, зафиксируем произвольные и е У и [и[ е У,. По определению величин [п1 l (и, о), !п1 [, ([и[, [о[ ) най- »Е у [»!уЕ Уу е [г, [о) е [г такие, что ! (и, о ) ~ !и[,! (и, о)+1[у < У +1!у »ЕУ [,([и[, [о[ )( [п! 7у([и[у, [о[у)+1!у [уз+1!у [»]уЕ Уу или г (и о ) ! ~!!у, ! ([и), [о)у ) — !уа ~!!у условия 1), 2). Определим отображение Рм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
