Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Остается рассмотреть случай А Г =. (Рар)е. Тогда Рл([о]л) =0 пРи 0(1(1 — А(, Рм([и],ч) =(Рад)пп м а~ ~.ч пРи 1 — АГ -Г~! и [Рм([и]л)[л = ьр (рсс )е (ра )я У=1, 2, ... Следовательно, для сходимости [Р„([о]л)] к и,=О в метрике 7.р[0, Ц, 1<р(со, необходимо и Дм ! достаточно, чтобы †, = , -~ 0 при У вЂ” оо. ич Фи~~ Любопытно, что в примере 2 условие сходимости [Рч([о]л)] в метрике Ар[0, Ц зависит от р, а в при- 1 мере 1 такое условие — — 0 не зависит от и, но зато Уа (7 ~ 7. [О, Ц при всех р, ! (р=-+со. Приведенные примеры показывают, что при регуляризации разностных аппроксимаций задач оптимального управления условия типа (28), (25) или (27) являются существенными.
4. При построении разностной задачи (! 8) — (20), аппроксимирующей задачу (15) — (17), были использованы расширения множества 6, согласованные с шагом Нл разбиения [Г;). Следуя Е. Р. Авакову, покажем, что при выполнении условий теоремы 2 регуляризованную аппроксимирующую задачу можно построить и без расширений множества О. А именно, в качестве множества Ух вместо (20) введем множество (/л=([и]м=(им иь" ил-Д: и~енЪ', 1=0, й! — 1, х;([и]л) енб, Е=О, У] (28) и возьмем число У, столь большим, чтобы бл ( е„при всех У ) Ж„ (29) где величина бл взята из (1.26), а е,— из условий теоремы 2.
Прежде всего покажем, что тогда множество (28) непусто при всех А!.:=. Ж,. Будем пользоваться теми же отображениями Ял, Рл, а также множествами (22), которые были введены в п. 2. Возьмем 11-нормальное решение и задачи (15) — (!7) и положим шч = ~ли+ (1 — ~л) и,„, ~л = бл)ео, Ф ~ й!о. 336 В силу (29) 0<~я--1. Отсюда и из выпуклости множества У следует, что юх он%'. Так как х(/, и) ен 6 х(/, ио) он 6, /о«/«Т, то, рассуждая так же, как при доказательстве включения (3.16), получим, что х (/, нов) ен ~6 ~х"е, /о«/«Т. Отсюда и из оценки (1.24) следует, что х,(Я,ч(цм)) ен6 ~х'о~~э=6, !=О, /1/.
Это значит что 6л (и»ч) ~ (/л М Ю, б/ » Л/о. (30) Далее, 1 юч — ио ! = ьх )й — ио !!«2/вью = 2/вбл/е„где /в=-зцр!и)< оо. Поэтому а ~() Мл) — ь)(ио)/=/()сэх!' — [ио )а!«4Яаб,д/ео (31) и, кроме того, из оценки (1.14) имеем ~ / (а и) — / (ив) ! «2КСабх/ео, /(/ » Уо (32) Наконец, согласно оценке (1.29) /х (Ял (сел)) — /(ил) «Свбх =[)х. б/» б/о (33) Теперь возьмем последовательность ([о)х), определенную условиямн (24) для множества (28). Тогда х; ([о)л,) ен 6, 1 =0, /У.
Из оценок (!.11), (1.25) получим х(/, Рх([о)х)) ~ ен6"', /о«/«Т, где ел=бр+С,е!ч. Положим пл = =Хмй+(1 — Хл)Рл ([пЫ, Хи=ел/(во+ел), б/»Уо Так как иенФ', Рэ(Цд) ен)Р', 0<Хи<1, то эхе=5'. По условию теоремы 2 х(/, й) ен 6 — ", /,=/«Т. Однако 6 'а= 6ах — (ее+ах) =(6ах) — (ее ьах) — это (е,+е„)-сужение множества 6'и. Поэтому, рассуждая так же, как при доказательстве включения (3.!6), получим х(/, ох) ен ~ [6ех ) "х (е+'х) = 6, /, « / «Т. Это значит, что ох ен (/, Л' » /уо. Далее, 1ом — Рм([о)х) (=Хи[й — Рх([п)х) !«2РХх. Из оценки (1.14) тогда имеем |,/ (ол) — / (Рх ([о)л)) ! «2НСаХл =.
2РСа (бл + Са о(х)/ео = тос. Следовательно, /о « /(ох) « /(Рх(Ыо))+ох, Наконец, согласно оценке (1.30) У (Рх ([о)л)) — Уя([п)г) ==Свбгв = Ум 12 Ф. П. Васальео М» б/о (34) /1/ » /Чо. (35) 337 Из соотношений (21), (24), (30) — (35) следует цепочка неравенств / =а /(Ри([о]и))+чи~ ~ У(Ри ([о]и))+аий (Ри ([о]л))+ чи =. ( /л ([о]и)+ уи+аийи ([о]и)+ чи( ( Ти + )ли+ уи + чи ( Ти фи (ши)) + (зи + уи+ чи = = /л, (()и (ши)) + аийи ((чи (ши)) + ри+ уи+ чи ~ ( / (ши) + аи й (юи) + йи+ (ли+ Уи + чи ~ = /(ио)+аий(ио)+20(Сз+2/х ал) би/ео+ + Ьи + ри + уи+ чи ( ./ (Ри ([о]и)) + аий (и,) + + 2Р (Сз+ 2/т аи) би/ео+ ри+ ри+ уи+ 2чи, М =-- б/о' Отсюда имеем ,/о — чи ( / (Ри ([о]л )) ( / + аий (ио) + + 2Р (Сз+ 2/чаи) бл/ео+ [)и+ ми+ уи б/'= Л о й (Р ч ([о]и)) ~ ( й, + (2Р (Сз+ 2Р аи) би/ео+ (!и+ ри+ уи+ чи)/аи ( ( й „+ сопз1 (бл + з(и+ рл )/а,ч, Ж ) /ч'о.
Следовательно, !пп /(Ри ([о]и)) = /о. Кроме того, повтои со рнв рассуждения, проведенные выше, получаем, что последовательность (Ри([о]и)) сходится к и, слабо в /..',[/,, Т] и (й (Ри ([о]и))] — йо = й (и ), что равносильно сходнмостн (Ри([о]и)) к и в метрике /.з[/о Т]. ф 5. Разностная аппроксимация квадратичной задачи с переменной областью управления 1. Рассмотрим задачу / (и) = ! х (Т, и) — у !з -з-! п(, х (/) = А (/) х (Е) + В (/) и (/) + / (/), /о(/(Т; х(/о) =хо (2) и с и (/) я Е/ = [и (/) ен /.з [/„ Т]: и (/) ен ~ (/(/) почти всюду на [/„Т]), (3) где 1/ (/) — заданное семейство множеств, зависящих от 1ен[/„Т]', остальные обозначения см. в 8 1.
Для аппрок 388 симации этой задачи введем последовательность разностных задач 1>г ([и)л) = ~ хл ([и1л) — у ~' - 1п1, (4) хы,=х;+Л(;(А>х>+В>и;+7>), Е=О, >У вЂ” 1, (5) [и~„Ы Ум = ([и)х = (и„ип ..., ил,)> и> Я ~У>=У(б), !=О, >У вЂ” 1), )Г>=1, 2, ...; (6) обозначения см. в 9 1. Для исследования поведения решений задачи (4) — (6) при >У- со ниже будут использованы теорема 2.1 и схема рассуждений из 5 !. Однако из-за зависимости области управления от времени в рассматриваемой задаче не все результаты из 9 1 сохраняют силу. Например, для ото- 6„1 1 бражения (гм(и) =(и„..., им >), где и;= — „, ~ и(!)г(>, >=О, Л> — 1 (см. формулы (!.20)), включения и;~У;= = У ((;) могут нарушаться, несмотря на то, что и=и(!) ен ен У (1) почти всюду па [г,, Т) и У(г) выпукло при каждом ! ~ [йь Т>.
Аналогично, для отображения Рл([и)>г), определяемого формулами (! .21), включение Рл ([и)>г) ~ (>' может соблюдаться не при всех [и)л из множества (6). В то >ке время, кажется, что если множества У'(1) непрерывно зависят от 1, то упомянутые включения, по-видимому, будут нарушаться незначительно. Однако пока неясно, что значит, что множества У (!) непрерывно зависят от (, как понимать близость между множествами, что такое расстояние между множествами. Перейдем к обсуждению этих вопросов. 2. Из различных возможных подходов к определению понятия расстояния между множествами здесь мы остановимся на понятии расстояния в смысле Хаусдорфа или., короче, хаусдорфова расстояния.
Определен не 1. Пусть М вЂ” метрическое простран. ство с расстоянием р(а, Ь) между точками а, Ь енМ, и пусть А и  — два множества из М. Хаусдорфовым расстоянием между множествами А и В называется величина Ь(А, В) =шах1зир !п1 р(а, Ь); зпр !п( р(а, Ь)~.
(7) !ааль~в ьываял 339 Поясним геометрический смысл хаусчорфова расстояния, считая, что множества А и В замкнуты в метрике М. Напомним, что величина р(а, Я)= !п! р(а, г) газ называется расстоянием от точки а~М до множества Яс: М. Кроме того, как и в Я 3, 4, введем е-расширение множества Я так: Е'=(ген М: р(г, Л)«е), е'=-»О. Тогда величина енр !п! р(а, 6)= зпр р(а, В)=б(А, В)=р, АЕ А ЬЕВ аЕА называемая уклонением льножвства А от множества В, равна минимальному числу, на которое надо расширить множество В, для того чтобы получившееся после расширения множество содержало множество А, т.
е. А = В' при всех е ) () и А (с В' при 0 «е ( б. Аналогично, величина епр (п! р(а, 6) = апр р(6, А) =б(В, А) =у, Ьеваел Ьмв называемая уклонением множество В от льножества А, такова, что В: — А' при всех е)у и В ф А' при 0«е <у. Таким образом, хаусдорфово расстояние 6(А, В) между множествами А и В равно нижней грани всех тех чисел е>0 таких, что А =.В' и В~ А'.
Отсюда следует, что если о(А, В) «е, то справедливы следующие два включения: АаВ', ВаА' е>0. (8) Рассмотрим несколько примеров. Пример !. Пусть М=Е', А=(и ы=Е'. а«и«6), В = (и ен Е'. с «и «с(). Пользуясь приведенной выше геометрической иитерпретапией хаусдорфова расстояния, нетрудно вычислить, что 6(А, В) =шах(! а — с1, !Ь вЂ” с(Ц. Пример 2. Пусть М=В' — г-мерное линейное пространство с метрикой р (и, о)= гпах )и' — о'1 соответ1<С<г 340 ствующей норме. )ц) = шах ~и'~, и пусть 1 <1 <г А=(и=(иа, и', ..., и'): а'(и'(Ь', 1=1, г), В=(и=(и'-, и', ..., и'): с'(и'(Й', 1=1, г). где а=(а', ..., а'), Ь=(Ь', ..., Ь'), с=(с', ..., ( 11 ~Р) Если те же множества А и В рассматривать довом пространстве М = Е' с метрикой р г ~не = ( ~ ', ~ и' — о' ~' ), то для соответствующего ~' = 1 фова расстояния имеем оценку Ь (А, В) =-.Ь (А, В) (Ь (А, В) )' г или в евкли(и, о) = хаусдор- п1 ах ( ( а — с1, ~ Ь вЂ” с( ~ ) ( 6 (А, В) = ()/"ггпах(( а — с~, ~Ь вЂ” д1„) Эти оценки следуют из неравенств,' и ) ( ~ и ~ ° ( "г'г ~ и ~ П р и м е р 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
