Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Доказательство. Из соотношений (1.22), (1.23) следует, что отображения (1.20), (1.21) таковы, что 1;1н(и) АУ,д при всех иенУ и Рн([и]н) яУ при всех [и]н ~ Ун, Ж = 1, 2, ... Далее„оценки (1.8), (1.10), (1.16) и леммы 1.2 — 1.4 остаются справедливыми и для множеств (13), (14). Поэтому из лемм 1.3 и !.4 имеем неравенства (4), (5) и оценки (6), (7). Отсюда и из теоремы 1 следуют все утверждения теоремы 2. 3. При исследовании аппроксимаций задач оптимального управления при наличии фазовых ограничений часто приходится работать с некоторыми расширениями Уэ' =У' и с сужениями У-' множества У, на котором ищется минимум. В таких задачах вместо теоремы 1 удобнее пользоваться другими теоремами.
Приведем две такие теоремы. Теорема 3. Для того чтобы последовательность задач (2) аппроксимировала задачу (!) по функции, необходимо и достаточно, чтобы при некотором еь)0 суп!гствовали семейства непустых множеств У': — Х, У-'~ Х, 0<в<в„и отображения ()н; Х вЂ” Хн, Рн: Хн-».Х такие, что функция ( (и) определена на объединении множеств У», У-' по всем е, 0<е<еь и, кроме того, 1) для любого е, 0<в<ее, найдется номер Ж,=У,(е) такой, что Ь(и) я Ун при всех и яУ ' и б».= У, и при каждом фиксированном е, 0<в<ею для всех и ~У-' выполняется неравенство 1пп (7н Ян(и)) — 7(и)) (0; (15) 2) длЯ любого е, 0 <е<еь, найдетсЯ номеР )У«= б(ь(е) такой, что Р„([и]н) АУ» для всех [и]неиУн и Ж)М, и при любом выборг [и]н ен Ун, Л')1, всчполнягтся неравенство 1'пп (7 (Рн ([и]н)) — 7н ([и]н)1 ( 0; (16) н»» 311 3) справедливы неравенства ! пп 1„(е) ) 1, е О 1пп 1„( — е) -=.
1е, (17) (18) е О гдг 1е (е) = 1п( 1 (и), 1„( — е) = !и( 1 (и). ое и-е Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность задач (2) аппроксимирует задачу (1) по функции, т. е. справедливо равенство (3). Положим е,= 1, У'=У-'=У, 0 =е(е,. Тогда 1„(е)=1„( — е)=1„, 0(е(е„и условия (17), (18) тривиально выполняются. Выберем произвольные последовательности (о„), ([о]н) такие, что оненУ, 1=1, 2, ..., !1пз (1(он) — 1,) = О, (19) (пп (1л ([о]л ) — 1н )=О. (20) [о]н ен Улч )У = 1, 2.
" ' Определим отображения !К и Рн следующим образом: !вн (и) = [о]л„и ~ Х; Рн ([и]н) = ол, [и]л ен Хн, )е'=1, 2, ... Ясно, что 1;!н(и) ~ Ун при всех и ен У-'=У и всех е, 0<в<ее, )У)!=Ми Рн([и]н) БЫУО=У пРи всех [и]л енУн и всех е, 0<е(в„У=-!= У,. Далее, так как 1е с 1(и) при и я У=У-', то 1н (!1н (и)) — 1 (и) = (1л ([о]н) — 1не)+ (1н — 1е)+ + (1е — 1 (и)) ==.
(1н ([о]н) — 1и„) + (1и, — 1е) при всех и я У=У-', 0(в(в,, )е'= 1, 2, ... Переходя в этом неравенстве к верхнему пределу при )е'- со с учетом условий (3), (20), придем к неравенству (15). Наконец, поскольку 1л,--1н([и]н) при [и]няУн, то 1 (Рн ([и]н)) — 1„([и]н) = (1 (он) — 1е ) + (1„— 1н,) + +(1л е — 1л ([и]н)) ~(1(он) — 1е)+(1е — 1ве) при всех [и]л евУн, %=1, 2, ... Отсюда с учетом условий (3), (19) при У- озполучим неравенство (16). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть выполнены условия 1) — 3). Докажем, что тогда справедливо равенство (3). Зафикси- 2!2 руем произвольное число е, 0<е<е,. Так как 9т(и) ен ен(1х при всех иен У-' и !у=-Уь то 1м <1л(Ял(и)) и 1м„— 1„= (1х о — 1и (!,"»»т (и))) + (1м (!',!т (и)) — У (и)) + + (1 (и) — 1,) < (1х (Яь (и)) — 1 (и))+ (1 (и)) — Уо), и ен (1-с, й! ~ У,. Отсюда при М-~ос с учетоси условия ((5) получим ))щ (1л — 1„)=.1(и) — У„, аяУ-с, 0<в<в,. Левая часть этого неравенства не зависит от и ен У-с, поэтому, переходя в правой части к нижней грани по и ен У-', будем иметь (пп (1х»о — Уо) ( 1о ( — е) — 1о, 0 < е < е,.
Н со При е-~0 отсюда с помощью условия (!8) получим )пп (1х о — 1,) ( О. С другой стороны, поскольку Р»с([и7»с)енес при всех [и!асей(1~, й()Ум то 1о(е)о. ( 1(Рл([и)л)) и 1, (е) — 1м„= (1, (е) — 1(Рл ([и]л))) + (1 (Рл ([и)л))— — 1х ([и)л))+ (Ыи)ч) — 1м,) ((1(Рн ([и]х»)) — 1л([иЬ))+ + (1и ([и)хс) — 1~ ), [и1»т ев(1„, Л! = й!,.
Отсюда с учетом условия ()6) при й!- оо получим )пп (1о (е) — 1мо) «= )пп (1л ([и)х) — 1ьо) сс' оо сс о» при любом выборе [и!хс енУт, У)(, и любом фиксированном е, 0<в<а,. В частности, если, пользуясь определением 1ь„при каждом й!) ! взять [и)х ен(ул так, чтобы 1х ([и)л) 1м,+(1)У, то из пРедыдУщего неРавенства будем иметь )пп (1о (е) — 1и„) =1„(е)+ )пп ( — 1хо)-=.
)(гп (1У=О '»С о» Л со У со при любом е, 0<е<е,. Отсюда с помощью условия ((7) при е-» 0 получим )пп (1: 1мо) = 1о+ ((щ ( — 1»ссо) О. л о» сс' со 313 Итак, показано, что О-=.— !!гп (1ч — 1нч) = !!гп (1н, — 1,) ( !!гп (1л, — 1„) = н»о й М с (О, т. е.
!!ш 1ль = !пп 1ль =1ь Отсюда следует равенство (3). Достаточность доказана. Теорема 4. Для того чтобы последовательность задач (2) аппроксимировала задачу (!) по функции, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность непустых множеств У'н с=' Х, У = 1, 2, ..., и отображения 1ен. Х вЂ” Хн, Рл,. Хл — Х такие, что функция 1(и) определена на объединении множеств с со (1»н)()(1 и, кроме того, 1) при всех ия(1 справедливо включение 1гн(и) енУн, 1»1 = 1, 2, ..., и вьтолняется неравенство !пп (1н(ген(и)) — 1(и)) ( О; 2) при всех [й)н ~ (1н справедливо включение Рн ([и)н) ~ ~ (1'и, У = 1, 2, ..., и выполняется неравенство 1пп (1 (Рн ([и)л )) — 1н ([и)н)) ( О; 3) справедливо неравенство !пп 1„(ен) ) 1„где 1, (ен) = !и! У (и).
иен Если же вьтолнены условия 1) — 3) и, кроме того, имеются неотрицательные последовательности [()и), [ун), [чн), сходящиеся к нулю и такие, что 1н(Ь(и)) — 1(и)==.[)н, иен(1, У=1, 2, „,, (21) 1(рн ([и)л)) — 1н([и)н) ==. Ун, [и)н ~ Ун, У = 1, 2,..., (22) 1ь — 1ь(ен)(тн, У=1, 2, ..., (23) то справедлива оценка — ун — тн~1нь — У, =-~н В'=1, 2, ...
(24) Доказательство того, что условия 1) — 3) необходимы и достаточны для выполнения равенства (3), проводится так же, как в теореме 3, нужно лишь в этих рассужде- 314 ниах заменить (1-в на (7, [)е на [[уел'). Докажем оценку (24). Из того, что (;)м(и) он[ум пРи всех и ен [1, ]У= [, 2, ..., и из условия (2[) следует, что 1ла <1л (1)л (и)) < <1(и)+~м, или 1ч, = 1(и)+~д, при всех и ен[1, й[ = = [, 2, ... Переходя к нижней грани по и ~[1, отсюда получим 1л <1 +[],ч, 1тг= [, 2, ... Правое неравенство (24) доказано. Далее, так как Рл, ([и]м) ен [1ем при всех [и]м он[ум, Лг= [, 2, ..., то с учетом условий (22), (23) имеем 1е — чл < 1„(е,) < 1 (Ргг ([и!м)) < 1лг ([и)м)+ у„, или 1, — оп<1м([и)гг)+У„пРи всех [и]ц ~ [1!я, М.= [, 2, ... Отсюда следует, что 1е — тл <1л„+ум, Ф= [, 2, ...
Оценка (24) доказана. Приложения критериев аппроксимации, приведенных в теоремах 1, 3, 4, будут рассмотрены ниже. Заметим, что наряду с теоремами ], 3, 4 существуют и другие варианты критериев аппроксимации по функции[4[, 98, !87]; некоторые такие критерии сформулированы ниже в виде упражнений. Упражнения. 1. Равенство (3) имеет место тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: 1) для любого числа 6 >О существует номер й!г = Мт(6) такой, что для всех М > >Ма и и гп У найдется точка [и]!че щ Ум, удовлетворяющая неравенству !,ч ([и] ль) < 1 (и) + 6; 2) для любого числа 6 > О существует номеР Л', = !Уз(6) такой, что длЯ всех 1У> М и [и] щ У ! найдетсЯ точка и е яУ, для которой /(и е) <[м([и]м)+6.
Доказать. 2. Для того чтобы имело месго равенство (3), необходимо и достаточно, чтобы существовали отображения 1;!м Х -ь Хм и Р: Х вЂ” Х такие, что 1) для некоторой последовательности (и, ) щ щУ, Ищ (1(и ) — а' ) =О, выполняются условна !7 (им) аУ !2=1, 2, ..., и !!гп (!м(!айаг(им)) — а'(и )) =О; 2) для некоторой последовательности [и]м ы У ~, й! = 1, 2, ..., 11щ (1м ([и] )— Ф со — т, ) =О, выполняются условия: Рм ([и]гг) ы У, М = 1, 2, ..., и 1пп (1 (Р ( [и]м)) — [м ([п]1ч)) < О. Доказать. м ю 3.
Равенство (3) имеет место тогда и только тогда, когда при некотором ее> О существуют семейства непустых множеств Уе с= щХ, У-е а Х, О<в<ее, и отображения !Ом. Х-~Х и Рм! Х -~. -~ Х такие, что функция 1 (и) определена на объединении множеств Уе, У е по всем в, О<в<ее, и, кроме того, !) для некоторого семейства [ие), иа щ У е, О < е < ва, 1пп (,1 (ие) — у, ( — е)) = О. при е-о каждом е найдется номер й!а=Ух(е) такой, что !2!у(иа) щ Уу при 315 всех М)д»» и 1'пп (1 (Ол»(ие))-У(ие))~0; 2) длЯ некотоРой последовательности [н[ я(lч, й»=1, 2, „,, 1пп (1, ([и[ )— -1 ) О, и любого е, 0(е(ее, найдется номер 1»»=1»з(е) такой, что Ри([и[ )»ы (lе при всех М)М» н 1(п» (а'(Р ([и),))— а» со — 1и([и)и))( 0; 3) выполнены условия (17), (18).
Доказать. 3 3. Разностная аппроксимация для квадратичной задачи с фазовыми ограничениями 1. Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: ([) 1(и)=[х(Т, и) — у[е-»-1п[, х (1) = А (1) х (1) + В (1) и (1) + 1 (1), 1а~[~Т, х(1е) =хо, и=и(1) еи [т'=(и(1) ен1.;[1„Т]: и(1) ~ [У почти всюду на [1„Т], х(1, и) еи 6(1), 1е(1(Т), (2) (3) (все обозначения здесь взяты из 3 1). Для того чтобы задача ([) — (3) имела смысл, естественно требовать, чтобы У ~ ([). Возникают вопросы: можно ли тогда гарантировать, что при достаточно мелком разбиении отрезка [1„Т] множество [ул» также будет непустым, и при каких условиях последовательность задач (4) — (6) будет аппроксимировать задачу (!) — (3) по функции? Как показывает следующий пример, из того, что У~ Ф 6), вообще говоря, не следует, что УиФ (1».
Пример 1. Пусть требуется минимизировать функцию [ (и) = х'([) при условиях х (1) = х (1) — и (1), О ( 316 где 6(1) — заданные множества из Еа при каждом 1~ ен[1е, Т], хая 6(1,); остальные обозначения см. в 2 [. В качестве аппроксимирующих задач возьмем после- довательность задач ! у ([и]гг) = [ х»г ([и]»у) — у [' — »- [п[, хмт=х»+И»(А;х;+В»и»+1»), 1=0, Лг [, [иЬ=(и„и„..., и„т) ен У»у= =([и]иенЬзи.
и;е-=)г, 1=0, Л( — [; х;([и]у)еп6;=6(1»), 1=0, .)г) (б) (1=-1, х(0)=1, и=и(1)енУ=[и(1)ен7.о[0, Ц: О( (и(1) =1 почти всюду на [О, Ц; х(1, и))е' при всех (а=[0, Ц). с и ° - с о, .с- '(с-1 "с.се)~~, о~с о при всех и(8) ен То[О, Ц, 0(и (1) «1, то условие х(1, и))ес, 0(1:е 1, выполняется лишь при и=и(1) ~ О. Следовательно, множество У непусто и состоит из единственного управления и (1) О. Рассмотрим следующую разностную аппроксимацию этой задачи; 7н ([и)н) = хн -~ 1п1, хсы=хс+ с (хс — ис) с=О, У вЂ” 1, хо=1 [и1н = (и„и„..., ил,) ен (ул. = [[и)н еи(.он.' 0:==ис(1, с'=О, У вЂ” 1; хс ) е';, с = О, У), Л( = 1!У, У = 1, 2, ...
Из 0(ис(1 следует, что (1+И)хс — Л((хс+с — — (1+ +61)хс — Л~ис((1+Ж)хс, с'=О, У вЂ” 1, х,=1. Отсюда по индукции нетрудно получить, что 1(хс((1+11)с, с'=О, У. Так как 1+А(<елс пРи всех Л()0, то хс( (еслс=е~с для всех с=1, Упри любом выборе [и)н=(и„ и„..., ин с), 0(и;(1, с=О, У вЂ” 1. Это значит, что множество (сн пусто при всех У=1, 2, ... 2. Таким образом, важно выяснить, при каких усло- виях из непустоты множества (3) следует, что множество (6) также не будет пустым, а также указать способы ап- проксимации задачи (1) — (3) для случаев, когда условие (7 ~ ф не гарантирует, что ()н ~ ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
