Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 56
Текст из файла (страница 56)
(35) а<»<м — ~ Заметим также, что при доказательстве теоремы 1 неравенства (29), (30) были использованы неполностью: для получения оценки (31) оказалось достаточно справедливости неравенств (33), (34). В следующем параграфе будет выяснено, что неравенства (33), (34) в некотором смысле являются необходимыми для справедливости равенства 1пп 1л, = У» В заключение предлагаем читателю в качестве упражнения доказать оценки типа (31), (32) в предположении, что в задаче (1) — (3) элементы матриц А(1), В(1), т" (1) принадлежат 1.
[1„Т'1, а в (4) — (6) принято 1=0, У вЂ” 1. й 2. Общие условия аппроксимации Перейдем к рассмотрению общей задачи минимизации и сформулируем критерий аппроксимации по функции. Пусть Х, Х„Х„..., Хл, ...— некоторые множества произвольной природы. Элементы множества Х будем обозначать через и, а элементы Хм — через [и)м. Пусть (/ — некоторое непустое множество из Х, Уч — непустое множество из Хм, У=1, 2, ...
Пусть функции У(и), 1,([и),), ..., 1,«([и)ч), ... определены соответственно на множествах У, Уп ..., Уч, ... Рассмотрим задачу У (и) -+ 1п1, и е= У, и последовательность «аппроксимирующих» ее задач Определение 1. Обозначим /„=ьи1У(и), 7л,=!п11„((и)м), 0=1, 2, и иэ Скажем, что последовательность задач (2) аппроксимирует задачу (!) по функции, если 1нп 1н, — — У,. (3) Нетрудно видеть, что в схему задач (1), (2) укладываются задачи (1.1) — (1.3) и (1.4) — (1.6), в которых роль множеств Х и Хл играют пространства Е,'(Г„Т~ и ьЬ соответственно, множества У и У,ч описываются условиями (1.3) и (! .6), причем в теореме 1.1 сформулированы условия, гарантирующие аппроксимацию по функпни.
Заметим, что в задачах (1.1) — (1.3) и (1.4) — (1.6) множества Х и Хл имыот различную природу: в задаче (1.1) — (1.3) управления и траектории зависят от непрерывного времени, а в (1.4) — (1.6) — от дискретного времени. В ~ 1 для задачи (1.1) — (1.3) аппроксимирующая последовательность задач (1.4) — (1.6) была получена с помощью разностной аппроксимации уравнений (1.2) и множества (1.3). В этой и других задачах оптимального управления, рассмотренных в Я !.5 — 1.10, при конструировании аппроксимирующих задач наряду с разностными методами могут быть использованы и другие методы, такие, как например, метод конечных элементов, метод прямых, возможна аппроксимация управления с помощью частичных сумм ряда, представляющего собой разложение по каким-нибудь базисным функциям или по степеням какого-либо параметра и т.
п. Все этн методы аппроксимации экстремальных задач также укладываются в схему задач (!), (2). Разумеется, в (1), (2) не исключается и такая возможность, когда множества Х и Х„имеют одну и ту же природу, а множества (/и н функции Ун([и)л) = =1л(и), й(=1, 2, ..., представляют собой приближенно заданные множество У и функцию /(и) соответственно. Таким образом, задачи (!), (2) позволяют охватить широкие классы экстремальных задач и их аппроксимаций.
Возникает важный вопрос каким условиям должна удовлетворять последовательность задач (2) для того, чтобы она аппроксимировала задачу (1) по функции, т. е. чтобы выполнялось равенство (3)? 306 1. Следующая теорема дает один из возможных ответов на этот вопрос, указывает подход к построению последовательности аппроксимирующих задач в конкретных экстремальных задачах, к исследованию сходимостн в смысле равенства (3). 'Теорема 1. Для того чтобы последовательность задач (2) аппроксимировала задачу (1) по функции, необходимо и достаточно, чтобы существовали отображения ген'. Х вЂ” ~Хн и Рн'. Хн- Х такие, что 1) для любой точки и ен У справедливо включение Ян(и) ябан У=1, 2, ..., и 11щ (?н (г',гн (и)) — l (и)) ( О; (4) и ао 2) для любой точки [и)н ~Он справедливо включение Рн ([и)н) ен У, Лг = 1, 2, ..., и 1!гп (,? (Рн([и)н)) — ?н ([и)н)) (О. (5) Если выполнены условия 1), 2) и, кроме того, последовательности [рн), (ун) неотрицательны, стремятся к нулю и таковьс, что ?н(гЬ(и) ) — з(и) ~~к, и вне, Лг=1, 2,, (6) у (Рь ([4л )) — ! н (Им) ~ ун, [и)н ен У,ч, Лг = 1, 2, ..., (?) пго справедлива оценка — ун =?нч — зь ~~к У=1, 2, ...
(8) Наконец, если последовательность ([и[к,~ такова, что [и)н.ен(/н, ?к; (?н([игн,)(?н +ен, 1)гиен=О, (9) то при выполнении условий 1, 2) 1ггп г'(Рь ([и]н,))= Уь, а из условий (6), (7) следует оценка О ( У (Рн ([и1л')) — ?~ =- [)н+ ун + ен, !!? = 1, 2, ... (! 0) Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность задач (2) аппроксимирует задачу (1) по функции, т. е. справедливо равенство (3). Возьмем произвольные последовательности (он), [[о1н) такие, что о, ~У, Д?=1, 2, ...; 1!гп (У(он) — У,„) =О, (11) [о)ненУн, Д?=! 2.; 1!гп (?н([о)н) — ?н )=0 (12) и со 80? Существование таких последовательностей вытекает из определения нижней грани.
Определим отображения Ял, и Ри следующим образом: 9и(и) =[о]и прн всех и ~ Х, Ф = 1, 2, ... Ри ([и] ) = ои при всех [и]т ен Х.ч, Ясно, что Ь (и) ен Ул при всех и ен У, Ри ([и]т) ен У при всех [и]и ен Уи, )т'= 1, 2, ... Далее, так как 1, ( 1(и) яри и~У, то 1л фи(и)) — 1(и)= =(1и Яи (и)) — 1и,)+(1л~,.„— 1„)+(1, — 1(и))( ~ (1 л' ([п]и) 1л'э) +(1л'а 1е) при всех иенУ, У=1, 2, .. Переходя в этом неравенстве к верхнему пределу при й(-~ сс, с учетом условий (3), (12) придем к неравенству (4).
Наконец, поскольку 1л, ~ ~1л([и],) при [и~д енУл,, то 1 (Ри ([иЬ)) — 1и ([иЫ = (1 (Ри ([и]~)) — 1„) + (1, — 1л,) + (1и, — 1~ ([и]~)) ( ~ (1 (пл ) — 1,) + (1 — 1л „) при всех [и]л ен Ул, й(=1, 2, ... Переходя в этом неравенстве к верхнему пределу при Ж вЂ” ~-со, с учетом условий (3), (11) получим неравенство (5). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть для некоторых отображений Яд,, Ри выполнены условия 1), 2). Докажем, что тогда сйраведливо равенство (3). Поскольку 9и(и) ~Ул прн всех и я У, то 1и, ~ 1и (Ь (и)) и 1, —,1, =(1л, — 1м(Д~(и)))+(1 ((~к(и)) — 1(и))+ + (1 (и) — 1а) ~(1и (()и (и)) — 1 (и)) + (1 (и) — 1а) при всех и ен У и йг=!, 2, ... Переходя в этом неравенстве к верхнему пределу при У-~со, с учетом условия (4) получим ]пп (1л„— 1,)=1(и) — 1„, иенУ.
Левая часть этого неравенства не зависит от и, поэтому, переходя в правой части к нижней грани по и ен У, будем иметь !пп (1л, — 1,) ( 1 — 1„ = О. С другой стороны, и в 308 поскольку Рсч([и] ) ~У прн всех [и]л енУм, то,/„~ » 1 (Р и ([и]т)) н 1 — /л = (1, — 1 (Рлс ([и]зс)))+ +(1 (Рл ([и]л)) — 1л ([и]л)) +(/л ([и]л) — /ло)» » (1 (Рл ([и]л)) — ! лс ([и]ос)) + (1 ч ([и]л) — 1ос ) для всех [и]л ~УЛ, /У= !, 2, ...
Прн /)/ — «оо отсюда с учетом условия (5) получим )пп (1о — 1л,)» !пп (/л([и]м) — /л ) ст со сс' со прн любом выборе [и]л~Ул, й/=!, 2, ... В частности, если, пользуясь определением нижней грани /ло, прн каждом У= !, 2, ... взять [и]м ~Ул так, чтобы /ч([ц] )» »/л + !/Л', то из предыдущего неравенства будем иметь )ип (1о — /чо) = Вгп !/Л/=О. Ф со Ф оо Итак, показано, что О» — )пп (1 — /л„) = У-са = )пп (/л — 1 ) =-. )!гп (/л — 1 )»О, т.
е. !пп (/ло — 1о) = !)гп (1л — l,) = О. о,о Л со Отсюда следует, что предел )пп 1л существует и равен М со 1 Достаточность доказана. Докажем оценку (8). Так как Ял(и) ~Ул при всех и ~У, то с учетом оценки (6) имеем /л»/л(!;/л(и))» » 1 (и) + рл, или 1л а» 1 (и) + ~л для всех и ен У, л/ = = !, 2, Переходя в правой части последнего неравенства к нижней грани по и с=У, получим /л =1 +[!л, нли /ло — 1„» [)л, М= !, 2, ...
Правое неравенство (8) доказано. Далее, так как Р„([и]м) ен У прн всех [ц]~ ~ вне,, то с учетом оценки (7) имеем 1„1(Рл([и]ю))» -=.1л,([и]ч)+То, илн 1о»1л ([и[ч)+ ул для всех [и]„ен он Ул, /т'= !, 2, ... Переходя в правой части этого неравенства к нижней грани по [и]л АУ~, получим 1» » /ло+улс, нлн — ум»1м„— 1о, л/= ), 2, ... Левая оценка (8) также доказана. 309 Наконец, пусть последовательность [и!ио удовлетворяет условиям (9).
Тогда 0(1(Ри ([и1ио)) — 1, = (11(Ри ([и1ло)) — 1л ([и!ио))+ + (1л ([и)ие) — 1ио) + (1ио — 1,) ~ (1 (Ри ([и1ио))— — 1л ([и]и.))+еи+(1и, — 1 ) ЛГ=! 2 Отсюда и из (3) — (5) следует, что последовательность (Рл ([и)и,)) является минимизирующей для задачи (1), а из оценок (6) — (8) вытекает оценка (10).
Теорема 1 дока ана. Нетрудно видеть, что проведенное в 5 1 исследование поведения разностных аппроксимаций '(1.4) — (1.6) задачи (1.1) — (1.3) укладывается в схему теоремы 1. В самом деле, отображения Яи и Ри в этой задаче были определены формулами (1.20), (1.21), в леммах !.3 и 1.4 были установлены неравенства (4), (5) и оценки (6), (7), а оценки (1.31), (1.32) являются следствиями оценок (8), (10). 2. Для иллюстрации теоремы 1 кратко остановимся здесь еще на задаче (1.1), (1.2) при условии т !о о='(.!о !!!о, т! 1~;о>ги~в) !~з! !е [иг!и ев (1 и = [и (и = (и„и„..., ил,) ев и — ! и.: г, и; ~., ~ ~ о*~. !=о (14) В качестве отображений !',)и и Ри возьмем отображения, определяемые формулами (1.20), (1.21). Справедлива Теорема 2.
Пусть матрицы А (!), В(1),1(1) кусочно непрерывны на отрезке [1„Т), разбиения [Гь !=0, йГ) отрезка [!о, Т) таковы, что ди = !пах Л1! = о«<и — ! =-(Т вЂ” го) М/йГ, Л/=1, 2, ..., М =сонэ!)О. ПУсть 1„— нижняя грань функции (1.1) при условиях (1.2), (13), 1л „вЂ” нижняя грань функции (!.4) при условиях (1.5), (!4), а последовательность [[и!и,) определена из условий (9). 3!о где )7) 0 — заданное число. В качестве аппроксимирующей последовательности для задачи (1.1), (!.2), (13) возьмем разностные аппроксимации (1.4), (1.5) при условии Тогда справедливы оценки — Свбн==-/н,— l,(С«бн, У=1, 2, ..., 0<,7(Рн([и]н.)) — (,==(С»+С«)бл+ен, б(=1, 2,", где настоянные См Сь взяты из оценок (1.29), (1.30) при )р'= У и )ч'н = Ун соответственно, величина бн определена формулой (1.26), Последовательность (Рн ([и]н,)) слабо в (.,'[Гь, Т] сходится к множеству У оптимальных управлений задачи (!.1), (1.2), (!3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
