Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Здесь мы ограни- чимся изложением результатов, принадлежащих М. М. По- тапову (теорема 1) и Е. Р. Авакову (теорема 2). Для упрощения выкладок задачу (1) — (3) будем рассматривать при дополнительном предположении, что множество 6(с) не зависит от 1, т. е. 6(()=6, 1,(1:==Т. Ниже нам понадобятся так называемые е-расисирения 6' и е-суженич 6-' множества 6, определяемые так: 6о= [хан Е": р(х, 6) = сп1 !х — г/(е~, е)0, сего (7у 317 6-'=~хен6: 1п1 ~х — г)=.-е~ сагро е)0, где Гр 6 — совокупность граничных точек множества 6. Кроме того, мы будем широко пользоваться оценками и соотношениями (1.8) — (1.26), считая, что встречающиеся в них константы фф...
отвечают множествам управлений Ж'=(и(() вне;,[(„Т1: и(() ен Г почти всюду на [(„Т1), $'н=([и1н=(и„и„..., ин з) яЕгн' и; ~ (l, 1 = 0 )ч — 1). (8) Теорема 1. Пусть матрицы А((), В((), [Я кусочно непрерывны на отрезке (ь:=! =Т; ь' — выпуклое замкнупюе ограниченное множество из Е', 6 — выпуклое замкнутое множество из Е" с непустой внутренностью, причем существуют число еь)0 и управление и=и(!) в=У такие, чпю х(1, и) ~6 — '", (ь(((Т.
(9) Пусть, кроме того, разбиения ((ь (= О, !ч') отрезка [!ь, Т'1 удовлетворюот условию с(н = гпах Съг; ((Т вЂ” (о) Ю1ь)й(, о<с<я-~ Мь = сопз1) О, )У = 1, 2, ... Тогда множество Ун, определяемое условиями (6), при всех достаточно больших У непусто и !т!и, —— !ь, где ! — нижняя грань функции (1) при условиях (2), (3), !н„— нижняя грань функции (4) при условиях (5), (6). Доказательство.
Положим Х=Ц[(„Т), Хн— =Цн, %=1, 2, ..., Уь=(и=и(() ен(г": х((, и) ~6в, !ь(г -Т), У '=(и=и(!) ен(г' х(1, и) ен6-', (ь(1<Т), где 0<а<в„число е, взято из условия теоремы, мно- жество Уг' — из (8). Определим отображения 6н: Х- Хн и Рн.' Хн- Х формулами (1.20), (1.21): Ян(и) = (ио, иь "., ин-~): ию = ьн 1 — и(т)дт, (=О, Л' — 1, (!0) 86 з Рн([и)н)=и~ при 6<1((гль 1=0, М вЂ” 1. З1В Проверим, что для введенных множеств СИ, (1-о и отображений 6и, Рл, выполнены все условия теоремы 2.3. Зафиксируем произвольное число е, О <. е < ео, Возьмем какое-либо управление и ~ У-о.
Согласно оценке (1.24) гпах 'х(1и и) — х;(6и(и))!(бл, У=1, 2, ... (11) о<г'<и Так как бл,— 0 при У-~ос, то найдется номер У,= =У,(е) такой, что би(е при всех У)У,. По определению (7) множества 6-' шар ~х — г((е принадлежит множеству 6 при всех ген6-'. Тогда для любого ива ен6-' шар ~х — х(1п и)((е принадлежит множеству 6 при всех 1=О, У и УЭ.У,. Отсюда и из оценки (11) следует, что х;(6и(и)) на 6 при всех 1=0, У, ия()-о, У)У,. Кроме того, согласно лемме 1.1 6и(и) принадлежит множеству )Р'л из (8) при всех и ен )г'. Тем самым показано, что 6„(и) яУи при всех ие6-' и У )У,.
Кроме того, из леммы 1.3 имеем и е (1-'. 1'пп (1л (6и(и)) — 1(и))=0, Таким образом, условие 1) теоремы 2.3 выполнено. Лалее, согласно оценке (1.25), получаем шах !х(1ь Р„([и)о) — х;([и!и)!~бл, У=1, 2, о<о<и ' а из оценки (1.!1) имеем !х(1, Ри([и',и)) — х(1ь Р„([и)и)) ~(С,ди при всех 1, 1;(1(1мь 1=0, У вЂ” 1, [и~иенУл„У= =1, 2, ... Тогда !х(1, Ри([и)и)) — х;([и)л,)~(би+Си(и (12) для всех 1, 1~(1 =.1ио 1=0, У вЂ” 1, [и!и я()л У= =1, 2, ... Однако бл -~-0, йи — ~0 при У- со, поэтому найдется номер У,=У,(е) такой, что би+Си)и-=.е при всех У) У,. Отсюда, из оценки (12) и определения (6) множества Уи следует, что х (1, Ри ([и~и)) е= 6' при всех 1, 1о(1(Т, т. е. Рн([и)и) яР при всех У) У,.
Кроме того, из леммы 1.4 имеем !пп (1(Ри([и)и)) — !и([и)и))=0. Таким образом, условие 2) теоремы 2,3 также выполнено. 319 Наконец, проверим, выполняется ли условие 3) теоремы 2.3. Сначала установим, что 1!гп (, (е) = (е, где е а lе (е) =!п(у(и). Заметим, что если 0(е,(ее(е„то ие (ус=(/е = у»* и, следовательно, у (е,) < у (е»)( у . Отсюда следует, что существует предел!пи е'е(е), причем е а 11гп (е (е) -=.
Уе. е а (13) е а » ее Отсюда и из (13) следует, что !пп 1, (е) = У,. и а Теперь покажем, что !пп !е ( — е) = lе, где l, ( — е)= е а = 1п(,У(и). Заметим, что если 0(е,(ее(е„то У вЂ”" ы о» е:-' (! — ' ~ У и, следовательно, Уе ( Уе (е,) ~,lе (ее). Отсюда следует, что существует предел!йп ! ( — е), причем е а !пп !е ( — е) ),(е.
(! 5) е-а 320 При каждом е, 0<е(е„выберем и,ен(/е так, чтобы 11гп(!е (е) — У(и,)) =О. Так как множество В' из (8) слабо е а компактно в Я!(„Т! и (и,) ен%', 0<.е<,е„то существует последовательность (е»), сходящаяся к нулю, 0( ( е» < е„и такая, что последовательность управлений (и»=и, ) будет слабо сходиться к некоторому управлению о = о (!) ~ !Р'. Согласно (1.12) тогда последовательность (х ((, и»)) сходится к х((, о) равномерно на отрезке 1(„Т1, т. е.
зпр !х((, и») — х((, о)!=$»-+ 0 при л-е со. Пои<г<г скольку х((, и») ~ б'», то х(1, о) ~6'~~!», (~ -.(~Т, Й=1, 2, ... (14) Однако е»+$» 0 при й- со, траектория х(1, о) от номера й не зависит, множество 6 замкнуто. Отсюда и из (14) следует, что х(1, о) яб при всех (, (е-=!<Т. Это значит, что и ен У и 1 (о) ) У,. Поскольку (и») сходится к о слабо в Еа!(а, Т~, а функция 2(и) слабо непрерывна, то !пп»(и»)=((о))/е. С учетом определения последовательности (и»=и,») тогда получим !ип /е (е) = Игп (е (е») = У (о) ) l,. Возьмем какую-либо последовательность управлений (и„) ен У, !!и! 1(иа) = )„и числовую последователь- Ф оа ность (аа), О(аа<1, !!гоаа=О.
По условию теоремы существует управление й=й(Г) еи У, для которого спра- ведливо включение (9). Составим последовательность о„= = — а,й+(1 — аа)и„, й 1, 2, ..., и покажем, что оа~ ЕИ(/ 'а"а, А 1, 2, ... ТаК КаК й, ила!Оо, тО ОООН(ьо, й = 1, 2, ..., в силу выпуклости )ео. Остается показать, что х(1, оа) ен6 '"а, 1,(1(Т, й=!, 2, ... (16) Заметим, что х(1, оа)=аах(г, й)+(1 — аа)х(1, иа), !О ( ! ~ Т, й = 1, 2, " ° (17) Из условия (9) следует, что при каждом !енр„Т) и й=!, 2, ... шар 5(Г)=(х: (х — х(1, и) (~е,) принадлежит множеству б.
Покажем, что тогда шар 5а(1)=(х: !х— — х(1, оа) )(е,а„) также принадлежит б при всех Г~ еи'!(„Т1 и и=1, 2, ... Возьмем произвольную точку хен5а(!) и положим г х((, й)+(х — х(1, оа))/аа. Так как !г — х((, и)',=/х — х(1, оа)Уаа=-.е„то гя5(!)енб. Из определения точки г и равенства (17) тогда имеем х =- х (1, ол) + сса (г — х !Г, и)) =ааг+(1 — аа) х(1, иа), где г еи 6, х (1, и,) ен 6, О <аа < 1. В силу выпуклости множества б отсюда следует, что х ен 6. Таким образом, 5а(!) Он 6 при всех ! ен'!1„Т1, 1=1, 2, ...
Отсюда и из определения шара 5а(1) вытекает включение (16). Тем самым показано, что оа ~ У 'е'"а, й=1, 2, ... Зафиксируем некоторый номер й и возьмем число е таким, чтобы 0<е<ееаа. Тогда оаен6 "алесем ' и lе( — е)(,7(оа) при всех е, 0(е(е,сса. Отсюда прн е-эО получим 1!п!,1,( — е)~у(оа) при всех 1=1, 2, ... (18) е О Так как 1(гп аа=О, знр(и!)()т(со, то с учетом оценки (1.14) имеем !,7(иа) — 7(оа) ! =С,(иа — оа!!=Саае',с х!! иа — й !! ( 2РСааа-~ 0 при й-ь со. Следовательно, 1!гп,/(о,)= !!гп У(иа) =/а. Отсюда и из неравенства (18) а со а со вытекает, что 1!шlе( — е)~/ .
Сравнивая полученное е О 11 Ф. и. Васальеа 32! неравенство с (15), заключаем, что Вгп 2„( — е) = У„. е о Таким образом, условие 3) теоремы 2.3 также выполнено. Из теоремы 2.3 следует, что Вгп /но=2„. Теорема ! доказана. 3. При доказательстве того, что множество (6) непусто, в теореме 1 было существенно использовано условие (9). Однако это условие не всегда ле~ко проверяемо и не всегда оно выполняется. Поэтому при аппроксимации задачи (1) — (3) вместо задачи (4) — (6) можно попытаться рассмотреть задачу минимизации функции (4) при условии (5) на несколько расширенном по сравнению с (6) множестве (!н=((и!нецру: хг([и)н) ен6'н, 1-0, У1.
(19) Оказывается, если исходное множество (3) непусто, то при достаточно большом $н и множество (19) не будет- пустым, и, кроме того, если $н-ьО при Л>- оз согласо, ванно с с(н = гпах Л1>, то последовательность задач о«<н — > (4), (5), (19) будет аппроксимировать задачу (1) — (3) по функции. А именно, справедлива Теорема 2. Пусть матрицы А (1), В (1), 1'(1) кусочно непрерывны на отрезке 1о~1~ Т; (г — выпуклое замкнутое ограниченное множество из Е', 6 — замкнутое множество из Е"; множество (3) не>>усто. Пусть, кроме того, разбиения отрезка (1о, Т'! удовлетворяют услови>о с(н=- шах !х1;((Т вЂ” 1о)Мо(1ч', М„=сонэ!)О, >11=1,2,..., о~'~н-~ и !1гп Зн=О, $н)6н, У=1, 2, ..., где величина бн и оэ определена формулой (1.26).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
