Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Пусть М = Е', Ъ' (г) .= ( и =-(и',... и ) е= Е'. а; (() ( и' ( (3; (1), 1 = 1, г ), 1, ( 1 ( Т, где а (1) = (а~ (1), ... ..., а„(1)), й(1)=((3,(1),, и (1)) — заданные функции, а; (1) ( й; (1), 1, =1( Т. Пользуясь результатами примера 2, имеем — шах( (а(1) — а(т) (~,; ~ й(1) — и(т) ~ „~ -= г' г ~" (к (О' к (~)) ~у ~шах(~ (г) — ~(~) 1~,; ~()(1)-й(т)~„), 1. (, т~т. Пример 4 Пусть М=Е', А =(и =(х, у): х'+у'(1), В=В(1) =(и=(х, у): (х — 21)е-~-у' —.Р), 1 О. Из гео- 341 В рассматриваемой метрике А" — е-расширение множества А — имеет вид А'=(и=(и', ..., и"): а' — е(и'( (Ь'+е, ~'=1, г).
Тогда ясно, что Ь (А, В)=-гпах ((а — с), )Ь вЂ” с(! =шах) гпах (а' — с'(; гпах 1Ь' — е('Ц, й<~<~ 1<~<г м етрических соображений нетрудно получить, что 6(А, В) = =(+1 прн всех !)О; 6(В, А)= 0 при 0~((1/3, 3( — 1 при () 1(3, г+1 при 0(((1, й(А, В)= 3! — 1 при ! >1. Заметим, что здесь й(В(8), В(т))=3/! — т/ при всех С, тЗ:О. Покажем, что хаусдорфово расстояние обладает следующими тремя замечательными свойствами: 1) Если А и  — замкнутые множества из метрического пространства М, то й (А, В) = 0 тогда и только тогда, когда А = В. В самом деле, если замкнутые множества А и В не совпадают, то либо 6(А, В))0, либо 6(В, А))0, поэтому й(А, В) =-гпах (6(А, В); 6(В, А)) ) ) О.
Если же А = В, то, очевидно, й (А, В) =О. 2) Хаусдорфово расстояние симметрично, т. е. й(А, В) = = й(В, А). Это свойство следует пз определения (7) и симметричности расстояния р (а, 6) в исходном метрическом пространстве М. 3) Справедливо неравенство треугольника й(А, В) (й(А, С)+й(С, В), А, В, С ен М. (9) В самом деле, из неравенства треугольника для исходного пространства М имеем р(а, 6)~р(а, с)+р(с, 6) при всех а ен А, 6 яВ, с~С. Тогда р (а, В) = !п! р (а, 6) ==. р (а, с) -!- !п! р (с, 6) = Ьмв Ьев = р (а, с) + р (с, В) ( р (а, с) + знр р (с, В) = сяс =р(а, с)+6(С, В) (р(а, с)+й(С, В) для всех аен А, сяС. В силу произвольности сяС отсюда получаем р(и, В)( 1п! р(а, с)+й(С, В) =р(а, С)+й(С, В) ( гас (6(А, С)+й(С, В)(й(А, С)+й(С, В), аз=А.
Следовательно, 6(А, В) = зир р(а, В) ~й (А, С)-(-й(С, В). аул Поменяв в предыдущем рассуждении множества А и В ролями, будем иметь 6 (В, А) <й (А, С)+й (С, В) Из последних двух неравенств следует неравенство (9). Приведенные свойства 1) — 3) хаусдорфова расстояния показывают, что множество всех ограниченных замкнутых подмножеств метрического пространства в свою очередь образует метрическое пространство с метрикой п(А, В). 3. Изучим некоторые свойства множеств, зависящих от времени. Определение 2. Пусть )г(Г), 1,<Г<Т,— некоторое семейство множеств нз метрического пространства М.
Говорят, что это семейство множеств непрерывно по Хаусдорфу в точке г, если для любого г)0 найдется число 6) 0 такое, что й()г (г), И(т))(е для всех т, для которых ~1 — т, '(6. Лемма 1. Пусть У (1), 1,(1 < Т, — семейство множеств иэ Е', причем в каждой точке 1~ [ба Т) множество Р (Г) замкнуто, ограничено и непрерывно по Хаусдорфу. Тогда множества Р(1) ограничены равномерно по 1 в= [гы Т1, т. е, найдется постоянная )с)0 такая, что знр знр (и(<В и<г<г ищущ Доказательство. Пусть, вопреки утверждению, множества И (Г) не являются равномерно ограниченными на [(„Т1. Это значит, что для любого натурального числа и найдутся 1„ен[гы Т1 и и„еп И(Г„) такие, что ~ и„~ - и, и = 1, 2, ... Так как отрезок [1,, Т1 — ограниченное замкнутое множество на числовой осн, то из последовательности [1„) можно выбрать подпоследовательность [1„~[, сходящуюся при и,— оо к некоторой точке т ~ [Гы Т[.
Без ограничения общности можем считать, что сама последовательность [1,[ стремится к т. Так как семейство (г (1), Гь =-1< Т, непрерывно по Хаусдорфу в точке т, то для любого г) 0 найдется номер и, такой, что )г(Р(1„), Р (т))(г при всех п)п„. Согласно (8) это означает, что Р (1„) с: (1'(т))', и )пы Но (г(т) — ограниченное множество, поэтому его е-расширение (1' (т))' также ограничено. Тогда последовательность [и„[: и„ я Р (Г„)с с ()г(т))', и = 1, 2, , будет ограниченной.
В то же время по построению ~и„~ == и, и = 1, 2, ... Полученное противоречие доказывает лемму 1. 343 Лемма 2. Пусть )с(1), 1ь(1(Т,— семейство множеств из Е', причем в каждой точке Се=[С„Т) лсножество Ъ'(С) замкнупю, ограничено и непрерывно по Хаусдорфу. Тогда зто семейство равномерно непрерывно на отрезке [1„Т), т. е. для лкбого е)0 найдется 6)0 такое, что )с()) (С), )с(т)) <е для всех с, те-:[ссь Т), лшиь бьс /1 — т~(6.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множества )с (1) не являются равномерно непрерывными на [с„Т). Это значит, что существует число еь) 0 такое, что для любого натурального числа и найдутся точки 1„, т„~[С„Т) для которых хотя',1.— т„,'(1Сп, но Ь($'(С ), )с(т„))З:есь п=1, 2, ... Из последовательности (С„) выберем подпоследовательность ~1„„), сходящуюся к некоторой точке (ен [1„Т).
Так как, :ф— т„~ <1)п, то )т„,) также сходится к 1. Из непрерывности $'(С) по Хаусдорфу следует, что й()с[С„), )с(С)) — «О, )с()с(т„), )с(1)) — «О при А — «сю. Тогда, пользуясь неравенством треугольника (9), получим )с [Р [1,,), )с (т„~)) ==.)с[ )с[С«ь), (с (С)) + й [)' [т„~), )с (С)) -ь 0 при й-«со. В то же время по построению й[1с(с„„), )г (т~,)) =- еь) О, й = 1, 2, ...
Полученное противоречие доказывает лемму 2. О п р е д е л е н и е 3. Хаусдорфовьсм модулем непрерывности семейства множеств 1'(1), 1ь(г<:Т, называется функция сь~ (й) = зцр Й ()с (С), )с (т)), где верхняя грань берется по всем с, тен [Сь, Т), для которых',1 — т~-=.д. Нетрудно видеть, что сьс,(с() не убывает при возрастании А Если выполнены условия леммы 2, то сье(д)-« - О=сьс.(0) при с(-«0. Заметим, что для множеств В (С) из примера 4 модуль непрерывности равен сьв (й) = Зд. Для множеств )с (1) из примера 3 для модуля непрерывности )с (С) справедлива оценка сос,(д) <)l г тах (ьс„(й); сев (с()), где ьс„(с(), ьса (с()— модули непрерывности функций сс(1), й (с), 1,<1 =Т.
В частности, если а(1), () (С) удовлетворяют условию Гельдера ~сс(1) — а(т) ~ =с ~с — т,ь ~~Я(с) — н(т) ~ =с с( — ты 0<се -1, то сев(с() <)с'гИ". Лемма 3. Пусть )с (с), (в< С( Т, — семейство множеств из Е', причем в каждой точке с~[се, Т) множество )с(1) выпукло, замкнуто, ограничено и непрерывно по 344 Хаусдорфу. Если функция и(1)=(и'(1), ..., и'(1)), (1(Т, непрерывна в точке 1, то функция о(1)=Ргии(1), (е(1(Т, (10) где Ргиг — проекция точки ге= Е' на множество г'(1), также непрерывна в точке Е Если функция и(1) кусочно непрерывна на отрезке [еы Т), то функция (10) тоже кусочно непрерывна на этом отрезке, Доказательство.
Пусть 1ен[1ы Т'1 — какая-либо точка непрерывности функции и(1). С учетом (10) имеем ! о ( с) — о (1) ( = ! Р г „, и (т) — о (1) / ( ( / Р 1ч „и (т) — Р копи (1) (+ ~ Р копи (1) — о (() 1, т~[1ы Т[. (11) Операция проектирования обладает сжимающим свой- ством (см. теорему 1.4.2): ~ Рг~„и (т) — Риони(1) ( ( ~ и (т) — и (1) (. Отсюда и из непрерывности и(1) в точке г следует, что первое слагаемое в правой части неравенства (11) стре- мится к нулю при т- Е Покажем, что и второе слагае- мое стремится к нулю при т-«Е По лемме 1 семейство множеств У (т) ограничено рав- номерно по т ~ [еы Т).
Следовательно, множество точек [Рггои(1)) ен *г'(т), 11,(т(Т, ограничено и имеет хотя бы одну предельную точку н при т — «Е Это значит, что существует последовательность (т„) -« 1 такая, что ыл = = РП()и(Г)- ы при я- оо. Покажем, что м=Р„и,ия= =о(1). Сначала убедимся в том, что о~У(1). В силу непрерывности семейства множеств г' (1) по Хаусдорфу для любого е) 0 найдется номер й, такой, что й(У (т,), ~l(1)) =е при всех й~йы Согласно (8) тогда )г(т,)с: с: ($' (7))' при всех й ~ йы Т)патом у ыл е= (1' (1))', А ~ Аы Так как г' (1) замкнуто, то (У (1))' также замкнуто.
Отсюда и из того, что (аз,)- ы, следует, что ы~()с(1))'. В силу произвольности е) 0 и замкнутости г' (1) последнее вклю- чение возможно лишь в случае м ен У (1). Далее, имеем (соя — и (1) ~ = (Рг(,„)и(1) — и (1)1= 1п1 /и — и(1)~'(~Р, о(1) и(1)1» цыг0 ) » ) о (1) — и (() ! + / Р (,„)о (1) — о (1) (, Поскольку ) Рг (,„)о (1) — о (1) | = )п1 ! и — о (1) ! = иегб ) =о(о(1), Ъ'(ть))-- зцр р(о, 1/ (т„)) ( с юг щ =.
й (Ъ' (1), (Е (ть)) -э 0 при й-асс, то, переходя к пределу при Ее- сю, из пре- дыдущего неравенства получим ~ гв — и (1) ! -= ~ о (1) — и (1) ~. С другой стороны, по определению проекции точки и условию (10) с учетом ы ев (Е (1) имеем / о (1) — и (1) ! = )п1 ! и — и (1) ! ( / оэ — и (1) /. иагео Следовательно, ! гь — и (1) / =' ,о (1) — и (Е) ! = ! Р д сои (1) — и (1) !. Однако проекция точки и(Е) на выпуклое замкнутое мно- жество Ъ'(1) определяется однозначно (см. теорему 1.4.2), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
