Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Поэтому, выбирая при необходимости подпоследовательность из [и,[, можем считать, что сама последовательность [и„) сходится к некоторому управлению и, =и (!) ~ (ч'(Т) слабо в »;[!„Т]. Тогда [х ((, и,) ! сходится к х (1, и,) равномерно на [(„Т]. Однако х(1, и») ен 6 (!) при всех (ь(!(Г (!».=Т, поэтому в силу замкнутости 6(!) справедливо включение х(1, ич) еп С(!), !ь( 1( г„.
Далее, в силу оценки (1.11) имеем зпр !х(гы и) — х((„и))(С,(!» — (,(-эО при й-» сз. и ~ в' (т1 Тогда )х((о, и,) — х((„и,)/-=!х((о, ио) — х((„ио))+ + ! х (го, и,) — х (то, и,) ) -э О при й-а- со, т. е. [х (1о, ио) ) -э. -о х((о, и„). Однако х(1м ио) ~ У, к=1, 2, ..., причем У вЂ” замкнутое множество. Следовательно, х ((„и„) ен У.
Таким образом, и ен(7(Т) и время первой встречи 1(и,) траектории х(1, и„) с множеством У таково, что 1(и ) =- ((о. С другой стороны, 1„=.1(и,) в силу определения (о. Это значит, что 1(и,) = (о, т. е. и, — оптимальное управление в задаче (1) — (5). Теорема ! доказана. 3. Для аппроксимации задачи (1) — (5) для каждого натурального числа Ж ) 1 на полуоси (то(, введем точки (а =(ох <(ьч «. ° йк <..., 1|гп йл =со. Положим А;л = О оо =А (й + О), Всч=В (й +О), )пч = [(1пч+О), У„,=У (й ), бок=О(1пч), Иич=1и.ьч — (л, и рассмотрим следующую аппроксимацию системы (1), (2): хи,л = хпч+ Лтьч (А ччхич+ Впчит+ [ич) 1=0, 1, ..., хоп=хо (7) [и)к = (иол, иок, ..., ичч, ...): иоч е= Уьч 1 = О, 1, ... (8) Через [х ([и1к)1ч=(хо([и1к)=х„..., х; ([и1к) =х л, ) будем обозначать траекторию дискретной задачи (7), соответствУющУю УпРавлению [и)к.
Введем расширение множеств 6~", У'к, где Я„), [чк) — положительные последовательности, стремящиеся к нулю. Напоминаем, что согласно (3.7) е-расширеннем множества Я с: Ео называется множество с'= [х я Е": р(х, с) = (п( ~х — г!(е). тех Определение 2. Систему (7), (8) назовем (Т, 0~", У") управляемой, если существуют хотя бы одно управление [и]ль удовлетворяющее условиям (8), н точка (ол ч ~ ен (йк [, 1о ( й им ~ Т, такие, что х;([и)м) ~б,".~, 1=0, 1,ч, (9) х; в([и1л) ен У'к, х;([и)ц) ф У"ч пРн 0(1~(м — 1.
(10) Момент времени й,л = (л ([и)к), удовлетворяющий условиям (10), назовем временем первой встречи дискретппой гпроекгпории [х ([и~и)1к с множеством 1"". 352 Таким образом, (Т, 6знн, У'н)-управляемость системы (7), (8) означает, что множество 1)н(Т), которое состоит из всех управлений [и)н, удовлетворяюпгих условиям (8)— (1О), непусто. Рассмотрим дискретную задачу быстродействия 1и ([и)н) -г-(п1, [и)н енИн (Т). (1 1) Величину !ь „= !и! !н ([и1н) будем называть оптион гтг мальным временем задачи (7) — (!1).
Приведем достаточные условия, при которых из (Т, 6((), У)-УпРавлаемости системы (1), (2) следУет (Т, 61нн, У'и)- управляемость системы (7), (8) и последовательность задач (7) — (1!) аппраксимирует задачу (!) — (5) по функции, т. е. !пп (н,=1,. Теорема 2. Пусть матрицы А(1), В(1), 7(!) определены при 1) (гь кусочно непрерывны на любом конечном отрезке [бь а); множество У(1) при всех 1==(ь вьтукло, замкнуто, ограничено и непрерывно по Хаусдорфу, 'множество 6 П) при всех !) 1, з мкнуто и непрерывно по Хаусдорфу: система (1), (2) (Т, 6(!), У)-управляема для некоторого Т, (ь(Т(сю.
Пусть разбиения (1гн) =((ьн = =(о<Ам <(гн<...) таковы, что г(н = дн (Т) = г пах Л(гн = ь«<~н =(Т вЂ” гь)М(Т)/(ть+1) йг=-!, 2, ..., где тн — число, определяслгое условием 1„нн ( Т вЂ” й нч-г, н, Мь(Т) = сопя! ) 0; ггоследовапгельности (Ен[, (тн) из (9), (10) стремятся к нулю и таковы, что $н:= 6н тл ~ бн+ Сгдн+ ыо (дл) Ь = 1, 2 где величина бн определяется формулой (5.13), постоянная С, взята из ( !. 11) при )ьг = )ч' (Т), а ыо (д) — хаусдорфов модуль непрерывности лгножеств 6 (1) на [ггь Т~! или оценка сверху для него. Тогда дискретная система (7), (8) (Т, 6~н, У'н1- управляема при ггг=1, 2, ...
и !!гп 1н, =1„. и со Доказательство. Положим Х=1,;[1ь, Т1 Хь = = В„= [[и[и=[ион, и1н , и,г,н): ~ и7нгу1н=)[и)н[1,н( г=о 333 < ж). Напоминаем, что 1„,н «Т =1,, л. Ниже будем считать, что 1,», и =Т; узловые точки 1;н~Т нам не понадобятся, так как все рассуждения будут проводиться на отрезке [1„Т). Введем отображения Цн. Х-» Хл,, Рл'. Хн-»Х следующим образом: 1гн(и)=[ион, иьч...., и нл) и,л =Рг, (о;н), ч+ ~н о;л = — ) и(1)й, 1=0, тл, (12) 1 ОФ ум Рн([и)н)=Рги,(и), 1н<1(он, 1=0, ,тн, (13) где Рг(г) — проекция точки г ~ Е' на множество )г.
Дальнейшие рассуждения, представляющие собой проверку условий 1) — 3) теоремы 2.4, оформим в виде трех лемм. Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда 6н (и) е=Ин(Т) 1н ((Ь (и)) -=1(и) при всех иенУ(Т), 0=1, 2..., Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольное управление и ен6(Т). Тогда существует момент1(и) — время первой встречи траектории х(1, и) с множеством 1', определяемый условиями (3), (4).
Возьмем точку такую, что 1, „ч<1(и)(1.н.», л. Рассмотрим задачу (7) при [и)л = 1гн (и). Покажем, что соответствующая дискретная траектория хс(1гн(и)), 1=0, тл,+1, такова, что х;(Ь(и)) ен 6~ни, 1=0, вн, х, (Ь(и)) я У'н (14) В самом деле, согласно оценке (5.16) !х(1ь и) — х; Огн(и)) /(бн 1=0, тн+1. (15) Так как х(1, и) ен6(1) при 1,~1 1(и), то х(1;, и) я бок и х; (11н (и)) ен 6,. и с: 6~ни пРи всех( = О, вн.
Далее, согласно оценке (1.11) и выбору узла 1, и имеем ~х(1(и), и) — х(1,„,н, и)~-=.С,(1,н+, и — 1,нл)(Си(н. Отсюда и из (15) с учетом включения х (1 (и), и) ен 1' получаем х,, ((1н(и)) ен У и" с "н с- у"'н Включения (14) доказаны. Отсюда следует, что время первой встречи Эзв (нфн(и)) траектории [х((гн(и))]н с множеством У н удовлетворяет неравенствам (нЯн(и))«(,нн(1(и) «Т.
Кроме того, Ян (и) ен (ун (Т), так что система (7), (8) (Т, 61н, У'н)- управляема и дискретная задача быстродействия (7) — (11) имеет смысл. Лемма 1 доказана. Лемма 2. Пусть выполнены все условия теорелгы 2, и пусть (7 и (Т) — множество всех управлений и = и ((), которые удовлетворяют условиям (2) и для которых существует момент ((и), (ь«((и)«Т, такой, что х((, и) яб'н((). (ь«(«((и), х(((и), и) ~ У'и, х(1, и) ~ У'и при (ь«((((и). Пусть ен = $н+ тн, У = 1, 2, ...
Тогда Рн([и]н) е= Ин (Т), ) (Рн ([и]н)) «)н ([и]н) при всех [и]н ев И и (Т), )У = 1, 2, ... Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольное управление [и]н ~ Е/н (Т). Тогда сугцествует момент (н([и]х) = = (с и «Т, определяемый условиями (9), (10).
Рассмотрим задачу (1) при и= Рн([и]н) и покажем, что х((, Рн([и]н)) е=б'и ((), (о«(==-(нн, х[! н, Рн([и]н)) ~ У'". (!6) Согласно оценке (5.17) (х((» Рн ([и]н)) — т;([и]н) ~ «бн (=О (ь" (17) Отсюда и из (9) следует, что х((» Рн([и]н)) енб)нн '~н, 1=0, (н. Далее из оценки (1.11) имеем !х((, Рн([и]н)) — х((» Рн([и]„)) ~«С,>( — (.,н(«С,дн при всех (, Он«1«й„г, 1=0, (х. Зто значит, что Наконец, из й (6 ((), 6 (Он)) «ыа (дн), Он «( (и,н, следует, что 6 ((;н) ~ б 'а(~н) ((), или б~н+~н+с ен с: с б'н((), (;н«(«(»пн, 1=0, (н.
Тогда х((, Рн([и]н)) ен ~бьн((), (,«(«~;нн. Кроме того, из (10) и (17) имеем х [( нн, Рн ([и]н)) ~ У'и+ и с: У'и. Включения (16) дока- 355 х ((, и) ~ б' (!), !О --= ( < 1(и), (18) х(1(и), и) ен Р, х(1, и) 4 Р при (»<1<((и). (19) Рассмотрим задачу ! (и) !п(, и ен Уе (Т). (20) Обозначим ( (е) = !и! ! (и) оптимальное время задачи иеет> быстродействия (1), (2), (18) — (20).
Лемма 3. Пусть выполнены всв условия теоремы 2. Тогда !!ш (е (е) =( . е -~- О Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку 6 (!) ~ 6' (!) ~ бт (!), Ус Рс Р прн всех 0<а<у, то ()(Т) ~Р(Т):— я()т(Т). Отсюда следует, что система (1), (2), (Т, 6'(!), У')-управляема при всех е)0 и !»(у)<1,(е)<ее при 0(е(у.
Тогда существует !пп (е (е) = ТО~ !е. Покае О жем, что Т,=(е. Возьмем какую-либо последовательность (е»)- О, е») О, )О=1, 2, ... Заметим, что из замкнутости множеств 6 (!), 1' следует замкнутость бе(!), У'. Отсюда и из теоремы 1 с учетом уже установленной (Т, бе(е), У')- управляемости системы (1), (2) вытекает, что в задаче (1), (2), (18) — (20) существует хотя бы одно оптимальное управление и„= и,е (!) Он ()е (Т). Положим и» = и„е (!), (О<1< Т, )г=!, 2, ...
Таким образом, и» ен (е'(Т), х((, и») ~ б'» (!), (О<(<(» =(е (е»), х((м и») ен У'», х((, и,) ~ У'», !О =-(((», я=1, 2, ... (21) Поскольку множество %'(Т), определяемое условиями (6), слабо компактно в Ц'1(„Т), то, выбирая при необходи- мости подпоследовательность из (и»), можем считать, что 356 яаны. Отсюда следует, что Рн ((и)н) ен У'н (Т) и время ! (Рн (!и)н)) первой встречи траектории х (е, Рн ((и)н)) с множеством У'и не превышает !н(!и)н). Лемма 2 доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
