Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Х, -ь Х так: Рм ([и]м)= прн всех [и]м а Х, И=1, 2™,, где иМ„см сг взяты из [6). Тогда из неравенства [6) следует, что 1!гп (у — у (Рм ([и] ), о ))( О, М со 110) [и]м е [тм, ом сн У. Зафиксируем произвольный элемент [и], ы сгм, возьмем соответствугопгие ему [о), „~ У, из (9) и определим отображение Ом: У-ь Г так: С), [о)=[о], при всех оиру, М=1, 2, ... Отсюда и из (9) имеем []щ (1, ([и], Ом(о )) — [мо)<0, [и1 я[)м омяУ. (11) М со Из [3), (10), (11) тогда следует, что 1 (l ([1 а ( )) У(Р ([]) ))- ~ 1]ю ('ме — Уа)+ 1!ю ('м([и]м Ом(ом)) — 'ма)+ М со М со + 1; (У,— У(Р„([ ]м), м)) 0 при любом выборе [и[, е [7 и о, сы У. Необходимость условия 1) установлена.
Далее, определим отображение О,:: Х -ьХ, так: ЯМ (и) = [и]ма при всех и ы Х, М = 1, 2, ..., где [и] взяты из (7). Тогда из неравенства [7) следует, что 11щ (!М вЂ” !м(Ом(и), [о]м)) (О, и я [с', [о]М я Ум. (12) Зафиксируем произвольный элемент им ~ [7, возьмем соответствующий ему ом ~ У из (В) и определим отображение Рм. Ум-ьу так: Рм([о]ч)=ем„при всех [о], си 1', М=!, 2, ... Отсюда и из (8) имеем 1 — и (у(им, Рм([ ]м)) — у.)«0, им и, [о]м =УМ, [!3) М со Из [3), (12), [13) тогда следует, что ]ип ( ('Р ([] ))-[.(О (") [] ))- ( 1'пп (зо — [л „)+ !пп (з (ич, Р~ ([о]м)) — з ) ! М со М со + !!пс (!М вЂ” !М(сй (и ), [о] )) (О при любом выборе и, я бс, [о] ы У~ . Необходимость условия 2) также установлена.
!пп (У вЂ” 1ия) ~ 1пп (У вЂ”,1 (иио, Р, ([о]и „)))+ Ф со ст со + !нп (' ( ..* Р ([ ];.)) — ' (~ (и.о), ]"1 *))+ -!- ]пп (1, (Яи(и ), [о]и ) — 1,„) (О. Лс со Таким образом, имеем 0( 1пп (У вЂ” 1ло) =- !нп (1и — уо) ~ 1пп (1и — 1о) ~0, Лс оо Ф со Лс со или 1пп 1 „= !!сп 1,о=уо, т. е. равенство [3). Теорема! доказана. ст со М со 2. Для иллюстрации теоремы 1 рассмотрим задачу: найти зпр !п! и (и, о)= 1о, ищи ос к (! 4) где У(и, о)=! х(Т, и, о) — р ]з при условиях х (1) = А (1) х Я+ В (1) и (1)+ С (1) о (1)-[-) [1), (16) 1о~)~Т' х(го) =хо и = и (1) я У = !Ги (1) а 1 з [1„Т]: и [1) см Р почти всюду на [1о Т]) (17) о=о(1) а У !о(1) снЦ [го, Т]: о(1) яЯ почти всюду на [1о 7]) (Рй) где А [1), В(1), С(1), )(1) — матрицы порядка лхл, лХг, лхс), лх! 368 Достаточность. Пусть выполнены условия 1), 2) теоремы.
Покажем, что тогда имеет место равенство (3). Возьмем точки [и]и сп У, из (7) и положим им — — Ри([и]ио), а затем из (8) возьмем точки о „~ ]т, соответствующие именно точкам и,=Рл([и]мо), с9= 1, 2, ... Тогда, полагая в [4) [и],=[и]ио, о =он и взяв в качестве отображения Я, то, которое соответствует точке [и]ио, с учетом неравенств (7), [8) получим 1!гп (1мо — У ) - 1!гп (1,„— 1, ([и],, От,(о,„)))+ Лс со Лс со + '!щ (1~(["]и ° Ъ(~и,)) — 7(Рм([ ]яо) ~ло))+ + ]пп (Х (Р,, ([и]ио), оч,) —.1„) ( О. су со Далее, возьмем точки илосщс1 из (6) и положим [и]дс — — !з,у(имо), а затем кз (9) возьмем точки [о]д„сп т'ч, соответствующие именно точкам [и),= се, (и,„), йс=1, 2, ... Тогда, полагая в (5) илс — — илсо, [О]В=[О]и, И ВЗЯВ В КаЧЕСтВЕ ОтОбражЕНИя Рдс тО, КОтОрОЕ СООтВЕтствует точке иио, с учетом неравенств [6), (9) получим соответственно: моменты 1в, Т, точки хв, у Е" заданы; Р н 0— заданные множества иэ Е' и Еч соотоетственно: х(1, и, г) — решение задачи (16), соответствугощее управлениям и=и(1) ~ Ез [1г, Т], о=о(1) ~ (г [1в, Т].
Будем предьолагать, что матрицы А (1), В (1), С (1), [(1) кусочно непрерывны на отрезке [1е, Т]. Разобьем отРезок 1е~.г< Т на Лг частей точками 1„<1,<... ... <1,ь.—— Т и приняв зти точки в качестве узловых, уравнения (!6) заменим разностными уравнениями с помощью схем г Эйлера. В результате придем к следующей разностной аппроксимации задачи (14) — (18): найти (19) ьпр !п! 1м(]и)м, [о]л)=)м„, (и)ышггм (в)мы ум где 1л ([и]л, [о]м) =] хл,(]и]м, [о]м) — и[в (20) при условиях хты —— х;+Ыг(А!хе+В;и;+СШ;+[), г=О, 11 — 1, (2!) [и]мы(ум — — ([и]л,— — (иы ..., им,) еи )езмг и; еп Р, 1=О, 1е' — 1), (22) [г]мем (гм=)г[о] =(ов ... о г) ев Езгм' ог еи () г'=О, Л! — 1); (23) ЗДЕСЬ Ыг=-1ыг — 11, А;=А(1г+0), В;=В(1;-1-0), С,=С(гг.+0), [г= =)(!с+О) )х([и]м, [о]л)]л =(хы хг ([и)ль [о]л)' ' хл ([и)л" [о]л))— — решение задачи (21), соответствующее управлениям (и]м шум, [о]м ~ Етом, Л'=1, 2, ".
Опираясь на теорему 1, сформулируем условия, ори которых последовательность задач (19) — (23) аппраксимирует задачу (14) — (18) по функции. Тео рема 2, 1)усгль матроны А (1), В(1), С (1), 1(1) кусочно нглрерыгкы на отрезке [1г, Т), множества Р с Е', 1) еи Ее гьтуклы, вамккуты и ограничены, разбиения (1ь 1= 0, Л') отрезка [1в, Т] таковы, что шах Ыг<(Т вЂ” 1г) Мв1Лг о<!<Я вЂ” ! Тогда 1пп 1м — — г'в, Х ео Доказательство. Заметим, что ьнр гпр шах ~х(1 и о) С <со, (24) иыи вс у г,<г<г зпр зпр гпах [хг([и)л, [о] ) [<Се<со, (25) !в1ныиы (в!МШ уж О<г<Л' зцр знр х(1, и, с) — х(т, и, о)[<С, )1 — т, 1„<1, т<Т, (26) ишу вы у где Сы С,, С,— положительные константы.
Оценки (24) — (26) доказываются так же, как соответствующие оценки (!.8), (1,16), (1.!1). 13 Ф П Васильев 369 Положим Х=ьз ]Гв Т] Хм= Цм У=ьз [/е Т] Ум=Цзг. Определим отображения Ож! Х вЂ” «Х, !)ж. У-«У ., Рлк! Хм — «Х, Р: У,— У следующим образом: '1.!1 1 О, (н)=(и....", и„,): =б —, ~ (Г)81 /! У !. 01 !), (о)=(оа, оь ..., о ); о;= —, ~ о(/)й. 3 ! ° [и], =иь Р . [о],, =о! при 11<1 </!«г 1=0 М вЂ” 1, 1=0 Л вЂ” 1, 1Ф( л) ь( л) С помошью леммы 1.1 имееы Ож (и) ш !/м при всех и ш (/, Ом(о) ев !гж пРи всех о ш У, Рлг ([и]м) ш (/ при всех [и) ш (/ Рж([о)л,) гм У при всех [о] ш У М = 1, 2, ... 1=О, о' — 1.
//-~ 1;, бж — елшах<г-01™«я' ~ ( А (т) — А1' ,Са+ А „С г! + + зп]з [ и !! В (т) — В; ,', + зпР' ,о ' ', С (т) — С! [-[ [ [ (т) — [; [) дт 0 е при г/-«сю. Оценки (27), (28) доказываются с использованием оце- нок (24), (26) совершенно так же как аналогичные оценки (! 24), (1.25). Далее, рассуждая так же, как в леммах 1.3 и 1.4, с помощью оценок (24) †(28) получаем, что [/л ([я]ль Ол (')) — /(Ргг(Мы о)) [<Сабы, [/(и, Рж ([о]м)) — /ж(Ом (и), [о]ж) [ <С бж при всех (и], гн(/ль о ш У, и ш(/, [о] ~и 1', М=!, 2, ..., где Са = 2 Со + 2Сч + 2 ] р !. Из оценок (29), (30) следуют неравенства (4), (5).
Таким образом, все условия теоремы ! выполнены. Отсюда следует, что 1пп /л,, =/ гг то Теорема 2 доказана. 370 Справедливы опенки ьпр зпр шах ]х(10 Рд, ([и]л,) о)— (и)не гзм ее |l 0 <а <зг хг([и]л, О!у(о))'<6 (27) зпР зцР пзах [х(/ьи, Р ([о] )) !о!дш Ум ишгг о«м -х;(О,,(и). [.]„)[<6„, !28) где 3. Кратко остановимся на условиях аппроксимации многократного максимина.
ПУсть Уб 1/ь 1=1, и,— некотоРые непУстые множества, фУнкция 1(и„о,, иг, о,, ..., и„, о„) определена на Угху,ХУгХУгХ... ...ХУмхум. Пусть требуется найти эцр ги1 зцр (п1 ч,щьг, щщ у, ч,ыиг г,ыу, эцр 'п( г (иг оь " ип г'и) = 1*. и сзы ь еи„ В качестве последовательности аппроксимирующих задач пусть взяты задачи; найти зцр (п1 ... зцр (п1 1„([и], 1")ычеы~м 1)гужуйся 1 )„мыипн 1]„мыупм [о)„,, [и]гм, [о]зм, ..., [и)„, [о[„,ч)=1м, А1=1, 2, „, (32) где У,, ]'г, г= 1, п,— заданные непустые множества, ! ([и) [о) „..., [и[„, [о] ) — функция, определеннав на У,чХ[' ыХ...
...ХУ„„ХУ„„й(=1, 2, ... Возникает вопрос: каким условиям должны удовлетворять мно. жества Уг.. Уе „1=1, и, и фуннции 1, (]и),, ..., [о]„м) для того, чтобы последовательность задач (32) аппроксимировала задачу (ЗЦ по функции, т. е. !нп !, =г' 7 Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Т е о р е и а 3. Для того чтобы последовательность задач (32) аппрокгимировала задачу (31) по функции, необходилго и достаточно выполнения следующих двух воловий А и В: Усл овне Ан 1) а) существует отображение Р м.' У л -чУ,; б) для проиэюльного фиксированного [и] м ~ы У существует отображение Я .; У вЂ” !' м, 2) а) для имеющегося Р м ([и],) ы У и произвольного фиксированного о ~ы У существует отображение Р л У -ь Уг; б) для имеющихся [и] щ У „9 м (о, ) ев У и произвольного фиксированноео [и]з гж У существует отображение () л У -ь У и) а) длл уже имеющихся Р, ([и], ) ы У, о м ы У, Р „.
([и) .) гп У, о я Уы ..., Р„, ([и)„.) гы У„и для произвольного фиксированного оч т м ы У„существует отображение Р„л У„м -ь У„; б) для уже имеюи(ихся [и[ м ~= У м, (г м (о м) я У [ ),ч ~ У,м, (),ы(о,м) Узы, ", ~„э к (о„,„ч) ~ Ум хм п1юизвольного фиксированного [и]„м ~ 11я м существует отображение ч1чдн л ™пк. При этом для вжх этих отображений Р и, (г ль ..., Рпло ()пм и уже имеющихся фиксированных выиге элементов [и],ч, о,ч, . „, 13* 371 [и]„,, о„, [и]„,„справедливо неравенство Пгп (/н(1и1ь,„О,л,(о»/е) [и1»м Озм(игл<) ... [и[ьм Онл,(г, с)) — /(Р л, (]и[ и), о м, Рзм ([и)~н), о~у, ..., Р„н (]и]нл), о„м)) 0 при всех о„м ш у Условие В: 1) а) сушрствует отображение О; У -ьУтл<, б) для произвольного фиксированного и ч ш У существует отображение Р: У -ьрэ; 2) а) для имеющегося О (и ч) <и У л и ароиэвольноео фиксированного [о1 ч «и У м существует отображение О н..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
