Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 70
Текст из файла (страница 70)
М о» + 1! (У,— У(РМ([ ]М), „)) =О пРи всех ом Я У ь (Рм ([и] г)), [и] гп [1 . Необходимость Условна 1) доказана. Далее, определим отображение !'»м.. Х -ь Х так: 9м (и) = [и]м при всех и гм Х, М = 1, 2, ..., где ]и] взят из (60). Тогда включение [54), очевидно, выполнено и, кроме того, согласно !60) 1'гп (ум — l,(Г3,(и, ), [о] )) (О при всех [о), гн У (ь) (н )), ем и ш 11. Зафиксируем произвольный элемент и ш !»'=-(Г, по нему нз [61) найдем соответствующий ож ш У (им) = У ' (ил) и опретч хм делим отображение Р л У,-ьу так: Р,([о),)=-о .
при всех [о], ш 1', М=!, 2, ... Тогда справедливо включение (55) и, кроме того, согласно (6!), (63) 1!гп (а'(и, РМ ([е]М)) — у„) (0 при всех М ю [о)жги У ф (и, )). Отсюда следует, что (у(пм Рл ([']м)) — 'м(!']м(нм) ]о]м)) ~ !пп (Մ— ]м„)+ !!ш (У(им, Рм ([о]ч)) — У )+ + 1»гп (гм „вЂ” 1м (г»м (ом) [о]м)) ( 0 пРи всех [о]м Я У „(!3 . (иь,)), им гн К Необходимость УсловиЯ 2) также установлена. До с тат о ч ность, Пусть выполнены условия 1) — 3).
Покажем, что тогда !!гп 1 „=а' . Возьмем [и] .ь гы !г, из (60), поло. жим им — — Рм ([и[,„), а из [6!) возьмем о гы у м (им) = = У ~ (Р, ([и] )) и обозначим [о] =О „(о „). Из (52) тогда имеем ]о]м гн У,([и] ), М=!, 2, ... Пользуясь условиями (52), (53) при [и[ =[и] „, о,=о,„, с учетом соотношений (56), [60), [61), получим 1пп (1 — з )~ [!ш (1 г ([и] [о] ))+ Ю»» '" * М +„"„ш (1м(]п]мз Ом(оьа)) — у(Р, ([п]да), о„))+ + !!гп (» (им, ом ) — /„(вм, у,)) -1 + 1]ш (у, (е„у ) — 2,) =-О.
(68) (69) Лалее, возьмем и „гж У из (59), положим [и]л,=()ж(пж„), а из (62) возьмем [о)л,„~ рж([и],)=)г „ф (и г„)) и обозначим олг— = Ры([о) . ). Из (55) тогда следУет, что о . гн )гаге(и ), й! = =1, 2, ... Пользуясь условиями (55), (56) при и =и, [о) = [о),„, с учетом соотношений (57), (59), (62), имеем !'ш ('е )же) ~ 1'ш (!л ([п]л [э[же) )лэ)+ г !!ш (~(пле Рл ([о)ле)) [л Фм("чэ) [о]ле))+ Лг со + [[ш (.г (О, уж) — у (иж ом))+ !!гп (у — 7 (О, 7 )) О Таким образом, )пп уж = Йш )э,„=l„т.
е. Иш ! = У„. Теорема 6 доказана. Лля иллюстрации теоремы 6 рассмотрим задачу (ЗЗ) для случая, когда э'(и, о)='х(т и, о) — У!э, где х(г, и, о), 1е(!(т, — Реше- ние задачи (16), соответствующее управлениям и гн Х=Ц [!о, Т'] о я Г = Еаэ [! е, Т~, )г'= (и=и (1) — Ц [!э, Т~; и (!) ги Р почти всюду на [1„, Т]), (64) )г = [о = о (1) Я !.е [!э, Т), о (!) гн !) почти всюду на [Ге, Т]), (65) у(о)= [о=о(1) гн )г: х(1, и, о) вб уе(1~Т] (66) (г = [и ы йг: 'г','и) Ф 69)! (67) здесь Р, О, 0 — заданные множества из евклидовых пространств Е', Ее, Е' соответственно, Эту задачу кратно будем называть зада.
чей (ЗЗ), (!5), Г!6), (64) — (67). Лля аппроксимации этой задачи рас- смотрим последовательность задач (34), где )ж ([н)лг, [о)гу) = =[х ([и] „[о],) — У], хг([и], [о) ), 1=0, Лг — Решение задачи (2!), соотвегствуюшее управлениям [о]гу гн Хгч=Ьдгг, [о]гч Я ~ ум=ьЬ = )[и)„ = (ио, ..., и . ) г= Цлг.' и! гн Р, г = О, йг — 1~ )глг=![о)ж (оо '" эл'-г) гж Еэм. 'ог ~ О, 1=0, У вЂ” 11, )глг([и]л)=~[о[ге я )глл х,,([и]т,,о)ч) ы о 1=0 Л!', (70) (7 =([и] гн йг л существует [о) я р гакой, что х ([и)лг [о) и) ы 0 .
1=0, гУ), гУ = 1, 2, ... (71) Эти разностные эядачн кратко будем называть задачами (34), (20) (21), (68) — (71). Лля исследования поведения аппроксимирующих разностиых задач определим отображения Рж, !)м, Р, Я, так же, как е задо- (74) где е гв5,+бы+С е(т, у =М е,/([)+ем), 6[=1, 2, ... (77) Здесь Ме=-2)7(Т вЂ” (е)мз М„Я вЂ” диаметр множества Р, а констанга М, взята нз неравенства (см. (!.13)) зпр зпр,' х(1, и, г)— еши 0<Е<Т вЂ” х,'0 ш, и) ~ ( М, [[и — ш [~с . Будем предполагать, что Рм пабы+ум, У~,-=Рм+6л+С бч, [У=1, 2, „,, 1пп узг= О (78) м сю Проверим выполнение условий теореллы 6. Заметим, что У (и) с ем ем етг с у м (и) при всех и я (7. Это значит, что (7 с (7 л, т. е.
(7 тг Ф О). т!ч ем Нспустота множеств У м (и) при всех и ~ (7 'е будет установлена ниже перед проверкой условия (58). 384 чах (14) — (18), (19) — (23). Будем предполагать. что выполнены все условия теоремы 2 и, кроме того, О выпукло и замкнуто. Тогда справедливы включения Дле (и) я (рм при и ш 57, !2м (о) я Ум при на У, Р ([и), ) ен )Р пРи [и) Я )Рм, Р,([о[о) ш У пРн [о[,, еи Кроме того, нетрудно видеть, что здесь по-прежнему сохраняют силу оненки <24) — (ЗО) с заменой в них (7 на йг, (7, на йт ., где йе, йт, взнты нз (64), (68).
Имеют место также неравенства ьпр зцр шах [х,. ([и[, [о),)— [е)и = гт !е!мы Ул, о«м ' — к(гн Р ([и[,), Р,((о[,)) [(6, (72) зпр (п( гпах [х,. (!7. (и), 0,(о)) — х(1, и, о) [(бл,, (73) иелгешио<е<м где 6, взято из (27), (28). Лля того чтобы задача (ЗЗ), (15), (16), (64) — (67) имела смысл, естественно предполагать, что мнолкество (67) непусто. Оназывается, что тогда прн достаточно больших р, 5 множества (70), (71) также непусты.
Л имеют, выберем р „, Зл, в (70) так, чтобы бл = рет ( рм ' Возьмем какие-либо и еи (7, о еи 1' (и). Тогда х(0 и, о) ы Оз, (е(1= (Т. Отсюда в слллу (73), (74) к;(Ял,(и), Вм(о)) я С~ с 61 ~ 1=0, 67. Это значит, что 17, (и) ~ (г „т. е. (7~ Ф чОЗь Кроме того, из (74) следует, что У ([и[ ) Ф !В при всех [и) еи (/ . Таким образом, задачи (341, (20), (21), (68) — (71) имеют смысл, и величины 1 ., У =1, 2, ...
определены. В дальнейшем будем предполагать, что выполнено условие: сушсствуют число [) >0 и управления ива )Р', сея У такие, что х(0 ие, о„) ш 0 б, (е 1 =.Т. Введем множества (и)=[нем )': х(0 и, о) ~ 0 ~, (е(1( Т(, (75) и*ы = [и ~ (7: У ~ (и) Ф(0 ~, (76 Зафиксируем М ) 1 и [и]м ш (гм. Согласно (71) это значит, что существует [а) ш У такой, что х,. ([и],, [У]м) ш 6 '~, 1=-0, М. Отсюда с учетом соотношений (26), (72), (77) имеем х(1, Р, ([и]М), Рч([о]м)) ш 6 М, 1о(1(Т. Это значит, что Р, ([у] ) ш гм у ~ (Рм ([и] )) и Рм ([и], ) ш (7 М. Включение (51) установлено. далее, возьмем любое у ш у™ (Рм ([и] )). Согласно (75), тогда х(1, Р ([и],), о) ш 6~и, (а~!о Т, Из (27), (78) следУет, что х,. ([и], Оч(а)) ш 6 ~ ~ <= 6"и, 1=0, М. Отсюда и из 170) заключаем, по 6 (а) ш Уч ([и]ч), Включение (52) доказано.
Неравенство (53) является следствием неравенства (29). Условие 1) теоремы 8 выполнено. С папашью соотношений (25), 128), (30), (64) — (7!), (73) — (78) анало~ично убеждаемся в справедливости условий 2) этой тсаремы. В самом деле, возьмем произвольвый элемент и,у ш (7. Это значит, чта существует и ш У такой, что х(6 и,, а) гн 6, 1а(1( Т. Отсюда и из (73), (74) имеем х,. (О,У (и,), г)„,(а)) ем 6 ~ ш 6 ~, 1=0, М, т. с.
Дм (и,) ш Км, Включение (54) установлено. Лалее, возьмем произвольный элемеят [и] ш У ( (и,)). Согласно 170) это значит, что х, (()л, (им), [г'],) гш 6 ~, г= 0, М. Из (25), 128), (78) следУет. (1 им Рм([о]х)) си 6, го(1 ВТ, т. е. Рм([о]м) гм 1' (им) Включение (55) доказано. Неравенство 155) является следствием неравенства (30), Условие 2) теоремы 6 также выполнено. Остается проверить выполнение условия 3). Сначала докажеи неравенство (57). По определению величины l, из (33) для любого й: 1 существует иа ш (/ такой, что 1п( l (и», и) ~ уч — 1/й. ьш Ъ' (иа) Лалее, по определению нижней граня найдутся элементы а ш ш 1' м(иа) такие, чш з'(иа, а, ) -" 1п1 7(иа, г)+!уй сш УКМ (и„) (./ (О, ум)+!Ми Тогда /„— 7„(0, ул) ( !п1 /(иь, У) — l (и„, о )+2!й, (79) ьш У (и,) М, и=1, 2, ...
Выбирая при необходимости водпаследовательности можем счигать, что !пп /(их, о, )= ]нп з'(иь, а,), а (а„,) и — ю х' ™ слабо сходится в Ц [!а, т1 при м-~.аэ к некоторому элементу авен ш У. Так как Ухи ш У ~ (и„), та х(6 иа, Уал.) гн 6 ~, 1а(1(Т, М=1, 2, ... Поскольку х(1, и,, оьм)-ех(6 и, аа) равнгмерно на [1а Т[ при М -ьсо, а множество 6 замкнуто, то х(1, иь, оа) ш 6, га~Г~Т. Это значит, что аьш1'(иь), н позтомУ 1п1 /(иа, о)с УШ У (иа) 385 «l (и„, о ). Тогда, учитывая, что !нп»'(иа, оаи)=у(иь, о ) из (79) прн г»-ьоо имеем !пп (у — » (О, у,)) «!и1,/(и„, о)— » ьь ьЕ» (и,) — »' (и», оа)+ 27й «2!и при всех а=1, 2, ... Наконец, устремляя здесь и- со, получим 1пп (»' — / (О, 2,)) «О, что равносильно е ' г» условию (57).
Заметим, что выше мы пользовались тем, что У™(и)чььО при е!» еи е» всех ишС ~. 1!окажем это. Пусть ишС ~, ош У (и). Положихз и»=Рана+(1 — Рлг) и о!»=Вива+(! — Вж) о где О ( В,» — — вагу(В+ в,») ( 1. (801 Так как х(Г, и, о) ~и С Хг, х(1, и,, о„) ~ С р, то с учетом (80) имеем х (6 ил„од») сн С. Но !' х (г, и, о») — х (6 и, о ) / «М ( и — ии !х «М Вл„и поэтому с помощью (77), (80) получаем х(6 и, о ) ш ги С з ~= С '».
Следовательно, У (и) ~ О при всех и ш 17 хг. »аг ехг По определению» (е, у,) существует и ~ !7 такой, что е!» / (е», уж) — !уйг «!и! у (ил,, о). Возьмем некоторый ощ» о (иле) элемент щ, щ У '» (и,„). Положим и =В,из+(1 — В ) и чю о = Вжоо+(1 — Рм) ю!», где В» взято из (80). Как и выше, получаем, что х (Г, иж, о,~,) Я С, т. е. У (и») ~ ф. Возьмем о ш !'(и ) таким, чтобы ш1 / (илг, о)+1/!» оп у (и, ол,а).
Так как оЕ» (ни) '!х(г, и, о,. ) — х(6 и „, о»е)!«мзВ» и х(! и, о )шс, то х(1, и „. о, ) еэС™, т. е. о „я У ~ (и, ). Таким образом, ,У (вх, Ул) «1п1 У (иле, о)+!/Ф» оЕ»™ (и,»ч) «У (ил м ол,) + 17» ~ У (им од а)+ М,В~+ 175 « !и! Х(и», о)+М е +2!!»«» +М е,+2!!», йг)1, ощ» (иге) Отсюда при й! -~-оо получаем условие 1581. Таким образом, при сде- ланных выше предположениях согласно теореме 6 последовательность задач (34), (20), (21], (68) — (71) аппроксимирует задачу (33), (15), (16), (64) — (67) по функции, ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА 1.Алексеев В,М., Тихомиров В. М., Фомин С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
