Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Тогда 11щ ' оь — и, "= О. ь сь Доказательство теоремы 4 получается из доказательства теоремы 3, если в последнем положить Р(и) =:- О, Аь= 1, я = О, 1, ..., и внести небольшие очевидные изменения В качестве (аь) здесь можно, например, взять последовательность (22), где Г берется из условия (43). Таким образом, регуляризания (итеративная или непрерывная) существенно расширяет возможности методов: регуляризованные методы позволяют строить мивимизируюшие последовательности, сходящиеся по норме ко множеству точек минимума, менее чувствительны к выбору начального приближения, и их сходимость удается доказать при меньших требованиях на исходные данные.
Заметим, наконеп, что в этой главе мы всюду пользовались штрафными функциями вида (3) Как показывают работы (64, 117), здесь возможно использование других классов штрафных функций, а также барьерных функций. ГЛАВА 3 АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ Численная реализация многих методов решения задач оптимального управления процессами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений нли уравнений с частными производными, невозможна без использования тех или иных методов приближенного решения возникающих здесь начально-краевых задач, приближенного вычисления встречающихся интегралов. Для решения начально-краевых задач часто применяют такие методы, как разностный метод, метод конечных элементов, метод прямых, метод характеристик, методы Ритца или Галеркина и т.
д., для приближенного вычисления интегралов используют формулы численного интегрирования [2, 32, 33, !53, 154, 190, 193 — 198~. В результате исходная задача оптимального управления заменяется некоторой последовательностью вспомогательных аппроксимирующих экстремальных задач. Здесь возникают естественные вопросы: будут ли сходиться решения вспомогательных экстремальных задач к решению исходной задачи, каким условиям должны удовлетворять аппроксимирующие экстремальные задачи для обеспечения сходимости? Аналогичные вопросы возникают, когда исходные данные— целевая функция и множество — известны с погрешностью. В этой главе мы ограничимся рассмотрением разностных аппроксимаций для простейших задач оптимального управления и, кроме того, приведем общие условия аппроксимации экстремальных задач.
Вопросам аппроксимации различных классов экстремальных задач посвящены, например, работы !18 — 20, 34, 40, 41, 43, 55, 68, 98, 125, 143, 145, 160 — 162, 165, 185 — 187, 218, 2! 9]. 292 й 1. Разностная аппроксимация для одной квадратичной задачи оптимального управления Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: 1 (и) = ( х (Т, и) — у ~о — ~ (п1, (1) х (1) = А (1) х (1) + В (1) и (1) + [ Я, Уо =1(Т, х(1о)=хо (2) и (1) ен У = ( и = и (1) ев Ео [1„ Т): и (1) я Ъ' почти всюду на [(„Т)), (3) где А (1) = (ау (1)) — матрица порядка п хи, В (1) = (Ьу(1))— матрица порядка и хг, 1(1) = ()т (т)) — матрица порядка и х1, т.
е. вектор-столбец; моменты времени 1„Т, а также точки х„уенЕ" заданы; У вЂ” заданное множество изЕ', х(1, и)=х(1)=(х'(1), ..., х" (1)) — решение (траектория) задачи (2), соответствующее управлению и = и (1) = = (и'(1),, и" (1)) енЕо[1„Т). Будем предполагать, что элементы ау (1), Ьу(1), Т'(1) матриц А(1), В(1),1(1) кусочно непрерывны на отрезке 1,=1(Т. Напоминаем, что задача (1) — (3) уже рассматривалась в Я 1.2 — 1.4. Здесь мы займемся исследованием разност- ных аппроксимаций этой задачи.
Разобьем отрезок (о( ~1(Т на М частей точками ((и 1=0, У): 1,<1,<... ... (1л,,((л = Т, приняв эти точки в качестве узловых, уравнения (2) заменим разностными уравнениями с по- мощью простейшей явной схемы Эйлера. В результате придем к следующей задаче: 1л ([и)л ) = ~ хх ([и)и) — у ~о — ~ (п1, (4) хоп — — х;+Ио(А!х,+В;и;+);), 1=0, У вЂ” 1, (б) [и|л ен Уи= =1[иЬ=(ио, ио ..., ии о): и,ен у, 1=0, Ж вЂ” 11, (б) где Ы;=1.„— 1ь А;=А(0+0), В;=В(0-1-0), 1;=[((-1-0), 1=0, М вЂ” 1; [х([и)и))и=(х,([и)л~) ... хл ([и]„)) — реше- ние задачи (5), соответствующее управлению [и)л. Введем пространство Еои дискретных функций — управ- лений [и)и = (и„и„..., ии,), [о)л = (о,, ..., ол,), ...
— со скалярным произведением и — ! ([иЬ [и ол ) Х бО (и' оо)в о=о и с нормой ! [и]н ~у, = (([ц]л, [и]л)) м = ~~~ ~Ы; ~~ и; ! Пространство Е,'л является разностным аналогом пространства Е.,'[)„Т], соответствующим разбиению ((и 1= О, Л/) отрезка [(„Т]. Таким образом, задаче (1) — (3), рассматриваемой в пространстве).,',[(„Т] при каждом целом ЛГ)! и разбиении ()ь 1=0, У] отрезка [1,, Т], соответствует дискретная задача оптимального управления (4) — (6), рассматриваемая в пространстве Ь.',и.
При каждом фиксированном М .= 1 и разбиении ((ь (=О, У) задачу (4) — (6) можно решать с помощью разностного аналога методов проекции градиента, условного градиента и других методов из 4 1.4; при вычислении градиента функции (4) можно пользоваться результатами 9 1.6; здесь возможно также использование метода динамического программирования (гл.
7 [4]). Предположим, что при каждом Ж=--1 и заданном разбиении ()ь 1= О, Л'[ с помощью какого-либо метода минимизации получены приближенное значение 7л +ел нижней грани Ух „функции (4) при условиях (5), (6) и дискретное управление [и]н,=(и„, ..., им ь,): имен (7, (=О, У вЂ” 1, такие, что 7л, ( 1,ч ([и]л.) < 7л, + ем, (7) где [ел] — положительная последовательность, сходящаяся к нулю.
Возникают вопросы, будет ли сходиться последовательность [1л ] к )„, нижней грани функции (1) при условиях (2), (3), если неограниченно измельчать шаг разбиения (1ь 7=0, ЛГ], т. е. !пп гпах Л);=О, л юа<~<в — ~ н можно ли принять дискретное управление [и]х, из (7) в качестве некоторого приближения оптимального управления задачи (1) — (3)7 Для ответа на эти вопросы нам понадобятся некоторые свойства решений задач (2) и (5). Приведем эти 294 свойства.
Будем пользоваться обозначениями А „= знр ))А(1)1, с,<с<т Вспах = знр (В (т) [, саспах = щах ) са (с) ). с.<с<т са<с< т Если сот — произвольное ограниченное множество из Е,"[(„Т), т. е. знр ))и,,'а,(Р<,со, то пЕ В' знр псах )х(1, и))~Со, пами<с<т (8) где Со=с "( а [) хо)+Васах (Т го) )х +соспах (Т (о)) В самом деле, по определению решения задачи (2) имеем с х(1, и) = ) [А(т)х(т, и)+В (т) и(т)+,'(т)]с(т+хо.
(9) са При всех (, (о(1( Т, тогда справедливо неравенство ) х (1, и) ) ( А,„~ ) х (т, и) ) с(т+ сэ +Впсах Г)! и (т) ) с(т+Рспах (Т (о)+)хо! са Отсюда с помощью леммы 1.2.2 получаем оценку (8). Далее, если сот — произвольное ограниченное множество из 1.,;[1„ Т), то знр )х(Х, и) — х(т, и))(С,)с — т)сс', (о((, т(Т, (10) ие о' где Сс = АпсахСо (Т (о) С +Васах)т+ (Т (о) с стспах = ) [А (5) х (5, и) + В (5) и (ф) + 1(К)) с(с ~АпсахСо)1 т)+Васах)( т) й+)( т Расах~ ~ С,(1 — т)'с' при всех 1, тен[йм Т) и ия(о'.
295 постоянная С, взята из (8). Действительно, из (9) с по- мощью оценки (8) имеем )х(1, и) — х(т, и))= Если Ю' — ограниченное множество из Ь' [(„Т), то вместо (1О) можно аналогично получить более лучшее неравенство зцР (х(1, и) — х(т, и) ((Сх(à — т~, (о((, т<.Т, (11) ие ч' Гда С!= Ах!ахСо+Впаах зцР ) и[с +!ааааа иЕ К' Далее, если последовательность [и„ = и»(!)) сходится к и = и (1) слабо в 1.»'[(о, Т), то (х (1, и»)) сходится к х(1, и) равномерно на отрезке [а„Т), т. е. 1пп зцр (х(т, и») — х(1, и))=0. (12) » а,(а<т В 9 1.3 (см. равенство (1.3.5)) уже было показано, что [х(1, и»)) сходится к х(С, и) при каждом 1~ [1„Т).
Допустим, что (х(1, и,)) не сходится к х(1, и) равномерно на [(„Т). Это значит, что существует число ео) 0 такое, что для любого номера т~1 найдутся номер й )т и точка 1»„ен [а„Т), для которых )х((»„, и» ) — х(1»„, и) ~~ »е. Можем считать, что йа<йо«...
/г <... Заметим также, что слабо сходящаяся последовательность [и») ограничена по норме 1»[(„Т), т. е. зпр ~!и»й.,(К<со. »)! Согласно оценкам (8), (10) тогда семейство функций (х(1, и„„)) равномерно ограничено н равностепенно непрерывно на отрезке [1,, Т). В силу теоремы Арцела [11] нз (х(а, и» )) можно выбрать подпоследовательность, которая равномерно на [(„Т) сходится к х(т, и). Без умаления общности можем считать, что сама подпоследовательность (х (1, и»„)) равномерно сходится к х(1, и). Это означает, что для любого е) О, в частности, для е = ео, найдется номер т, такой, что ~х(Г, и» ) — х(1, и)~<е, для всех т)то и всех 1~[1„Т).
В то же время по определению подпоследовательности (х (1, и» )) имеем ~х(1», и» ) — х[1», и)~)е,. Противоречие. Равенство (12) доказано. Далее, для любых и, о енЕ;[(„Т) справедлива оценка зир ~х(1, и) — х(1, о)~и-.С»~!и — о(с„(13) а,<а<т где Сх = е и!ах( о)(Т (о)!!х В 29б В самом деле, из (9) следует, что /х(1, и) — х(с, о) ) = - 1(а(,)(,(...)-*(...))с-в(.)(,(,)-.(,)яс,/~ с. с < А „~ ( х (т, и) — х (т, о) ( с(т+ с.
уг ( (с2 + В .с (Т вЂ” 1о) дс' ~ ~ ( и (т) — о (т) ~ д с(т) с, Отсюда с помощью леммы 1.2.2 получаем оценку (13). На любом ограниченном множестве Ж' из Е,'Р(ь 71 функция (1) удовлетворяет условию Липшица ) ) (и) — )' (о) ( =. Сз)и — о )д„и, о е У, (14) где Сд — — (4С,+2~у!) См постоянные С„С, взяты из (11), (13). Действительно, ! / (и) — У (о) / = ! ( х (Т, и) — у !' — ! х (Т, о) — у )' ( = =!2(х(Т, о)+(с(х(7, и) — х(Т, о)) — у, х(Т, и) — х(Т, о))), 0<4<1, так что ~,с' (и) — У (о) ) < 2 (~ х (Т, и) )+ + ~ х (Т, о) ~+ ~ у !) ( х (Т, сс) — х (Т, о) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
