Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Отсюда и из оценок (8), (13) следует неравенство (!4). Если Ки — пооизвольное ограниченное множество из 1.,'сс, т. е. зир)(и)д',~<)д)(оо, и, кроме того, ми (4 — псах Ис<, ', М=сопз1)0, (15) о<с<с() — ( то (16) зпр шах ~ х;((и)сг) (~С„ си))() е е'и 0 < с < ))) где е"))))ас ( с) (~ х() ~ + В())ах (7 (о)(Сд )(+ )се)вс (7 (в)) В самом деле, из (5) имеем хссд — — ~ Л(с(Асх~+Всссс+Дс)+х„с'=О, У. (17) с о звг Следовательно, ~ха+! ! ~ Апахс(м „5~! х/!+Впаах(Т (о) С 1[и]к!1с.
и+ с=о + (Т !О) Раааа + ~ ХО !, ! = 0 С!С 1 С помощью леммы 1.6.1 отсюда получаем !х; !((1+ Ащ.хс(м)! (, :хо ~+ В~пах (Т вЂ” (о)ц'й+ + ~паах (Т (о)), с' = О, йС. (! 8) Поскольку 1+х==е" при всех действительных х, то с учетом условия (16) имеем (1 + А с( )с ( е паап мс ( е паап" Ф ~ е~п!ах ( а) (19) Отсюда и из (18) следует оценка (16). Для исследования связи между задачами (1) — (3) и (4) — (6) нам ниже будут полезны следующие два отображения Я!с и Рл! отображение (;со, действующее из пространства с.;!с„ Т] в Ь,'„, которое определяется так: Ясо (и) = (и~, и„..., и„!)ьм! = йа! — и(!) ж, !'=О, У вЂ” 1, (20) н отображение Рм, действующее из Цх в Е',((о, Т], которое определяется так: Рл((и]сс) = ис при (с(! ~ !с,г, ! =О, со' — 1.
(21) Из (20), (2!) следует, что У вЂ” ! г о п)а,„- ~,— ', ! .и!а а!- =о а Ч вЂ” ! 2 ~ и(!)л !=о ' с. ! ос — ! сса! ( х~а ~ $и(!)!ос!(=$ / и(!)/ос((=)иГ1,„(22) =о с, 298 ! Рн ((и)н) (!с, = ~ ~ Рн Ки)н) Р д(= и — ! !!чп и — ! !и!~'с((= У !л!!~и!~'=([и!ь(„; .
(23) с=о с. ,=0 ! Докажем несколько лемм, связанных со свойствами отображений Ян и Рн. Лемма !. Пусть 1' — выпуклое зал!кнутов множество из Е', а управление и=и(() принадлежит Е„'((ь, Т! и и(() ~ 'г' почти всюду на отрезке 1(„Т'). Тогда !з! и!= — ~ и(()В~1/ ! !-Ы! ~ пРи всех (и 1!!.! ы-(Гь, Т~, б!(Г!си Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала установим, что всякое выпуклое замкнутое множество Г из Е' является пересечением полупространств, образованных всевозможными опорными гиперплоскостями к множеству г' и содержащих г' (см, определение 4.5.2 из !4!).
Возьмем произвольную граничную точку о множества г'. Пусть с„— опорный вектор множества Г в точке о, т. е. с„~ 0 и (с„и — о)~0 прн всех и ~ 1'. Обозначим (1 (и: с„, и — о)~0). агре Надо показать, что )р'='г' Если и ен 'г', то ('с„и — о))0 для всех з ен Гр)', поэтому и ен Ж'. Это значит, что ~/ с' К. Покажем, что справедливо включение К ь:-' 'г'. Допустим противное: пусть су!цествует точка и! ~ )ч', но ю ф $'. Тогда по теореме 4.5.1 из !4! множество 1! и точка и! сильно отделимы, и гиперплоскость (с„„и — о) = О, где оепР! (ю) — проекция точки и! на множество У, обладает свойствами;,(с„и — з) ) 0 при всех и ~ Р', а (с„ю — п)<0.
Но поскольку 'ояГр$' и и!енУ, то (с„, и! — з)~0 по определению множества )Р'. Противоречие. Следовательно, %' с= 'г'. Требуемое равенство (г" = Р доказано. Возьмем произвольное управление и = и(!), удовлетворяющее условию леммы. Пусть з — любая точка из Гр1~, с„— опорный вектор к Г в точке п. Тогда (с., и (() — о) за 0 почти всюду на '!г„Т!. Интегрируя это неравенство на 299 отрезке [1» 1»11, получим ц, ~ (с„иЯ)д1=(с„, — ~ и(()д!) = (с, и»))(с„о), или (с„, и; — о) =- О для всех о ен ГрР. Следовательно, и; ~ Ж'= Ь' Лемма 1 доказана. Лемма 2.
Пусть .матрицы А(!), В(1), !'(!) кусочно непрерывны на отрезке !ь(1( Т, разбиения [!» != О, У) отрезка [(ь, Т'! удовлетворяют условию (15). Пусть Ж' и !р'н — произвольные ограниченные множества из 1.»[(ь, Т'! и Е.',н соответственно, т. е. знр [ и [ с,( !к<со, вор [[и)к [с,н( »Р Я7н (К<со.
Тогда зпР п»ах !х(!» и) — х;(!Ь(и))~~6н, (24) ь~»к ь<»<н ' знр тпах ~х(1» Рн([и1н)) — х;([и1н)~ =.Ьн, пин м мн ь~» < и У=1, 2, ..., (25) где те" »пах " ~ ~ Я ~ ([ 4 (т) — А»[ зпр шах (х(( и) + ь=о с,. ! мс,<ли<»<т ».А... -р ь».,.)-*»»».И+11».» — м)».]». » ~~,~й ен, с,.„ 1н +й~ '5', ~ !В(т) — В;!'йт -э-О »-ь ~,. при Ж-ь оо. (26) Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольные и ~ ен Ц [1„Т1 и [и)н ен Цн, для которых ! и [с, ~ )к, [[и)н[с,„(Я, и соответствующие им решения х(1, и) и 300 [х([и]уо)]и задач (2) и (5).
Из равенств (9) и (17) следует !х(у!ни и) — ху„([и]уо)~= !ум ~ [(А (т) — Ау) х (т, и) + у=о ! + Ау (х (т, и) — х (уу, и)) + Ау (х (уу, и) — ху ([и]уо)) + + (В (т) — Ву) и (т) + Ву (и (т) — иу) + ([(т) — [у)] у(т Е = А -!ух,У, '(х(уу, и) — ху([и]уо) ~+ у=о уо — ! уу.!! + 'Я $ ([А(т) — Ау]~х(т, и)/+Ао„„/х(т, и) — х(уу, и)~+ у — -о ! у!о ! уу„ !уз +У(') — б!)У +~ Х $ [В() — В )'() $ ).+ у=о !. уу — ! уу.!! + У, '!!Ву) $ (и(т) — иу)уХт, !'=О, ЛУ вЂ” 1.
!=о Отсюда с помощью леммы 1.6.1 и неравенств (18) получаем )х(уу, и) — ху([и]и)~( о! — ! уу.!! (бч+ е оо"! '! В!Пах,У, ~ (и(т) — иу) Ж ! = 0~ Лую у=о ! (27) для всех и, [и]уо, [и[с,()7, ][и]и[со -.Р. Однако, если [и!!~с.,~)7, то в силу (22) Яуу(и) ]гои (Я. Поэтому, учи'уо! тывая, что ~ (и(т) — Я!о(и))г(т=О, 1=0, Ж вЂ” 1, из (27) у при [и],ч=-Яуо(и) получим оценку (24).
Аналогично, если 1[и]и[с „(ХГ, то согласно (23) (Руо([и]уу)]с,(й и поэтому, у,, учитывая, что ~ (Ри([и]уо) — иу) у(т=О, 1=0, У вЂ” 1, из уу (27) при и =Руу((и]оу) получим оценку (25). зо! Остается доказать, что величина бм, определяемая равенством (26), стремится к нулю при У-с оо. Пусть 8,, ..., О,— точки разрыва элементов матрицы А(с) на отрезке [(„Т1: (с!=0,(8с<...<;0,< Т=0„,. Доопределим матРицУ А(с), 8,(((0, ! пРи г=ас и !=0;., пРедельными значениями при с- 8;+О и с- 8с„— О; тогда А (с) будет непрерызной и, следовательно, равномерно непрерывной на отрезке [О;, 8с,с], !=О, з.
Отсюда следуст, что длЯ любого е)О можно Указать номеР !У!с= йс„(е) такой, что как только с!с' — !У!с, О - (и, — сс = ссг! ~ с(,с и отрезок [Гь сс,с1 не содержит ни одной точки (8;) разрыва Л((), то сразу ) А(т) — Ас((е для всех т, сс(т((сс!. Имеем сс — ! сс+! ~ ) А (т) — Ас(с(т= с с„, сс„ ~ (А(т) — Ас(с(т+ У ~ )А(т) — А!)с(т, (28) 1 ! ! где ~' означает суммирование по тем номерам с, для которых отрезок [(и сс,с1 не содержит ни одной точки разрыва А (!), а ~" — суммирование по остальным номерам !.
Тогда с,с $ ) А (т) — А! [ дт ~ с сс , 'с -1 (,У, '~ е с(т <(Т вЂ” (о) е для всех йс ) йссс. с! Взяв при необходимости номер Асс еще большим, можем сделать с! ! ~ (Л (т) — А,)сст:== !' ( 2А „Х М ( 2А,„(з -)- ) ) с(, ~ а с для всех йГ~йс,. Отсюда н из (28) следует, что сс — ! сс;,! ~ (А(т) — А!)с(т-+О при сУ- со. с='0 сс 382 Аналогично доказывается, что ч-с ссчл н — с 'см ~ с)В(т) — Вс!ос(т-эО, ~'„~ с)(т) — )Лс(т-с-0 =о с при Ас-~со.
Отсюда и из неравенств (8), (10) следует, что 6н-+ 0 при Ас'-~со. Лемма 2 доказана. Л ем м а 3. Пусть выполнены все условия леммы 2, пусть и=и(1) — произвольное управление из К. Тогда !1н(сЬ(и)) — с (и) ~ ~Соби, Со= 2Со'+2С4+ 2СУ!, Ас = 1, 2, ... (29) где Ссь С,— постоянные из (8), (!6), а величина бн опре- делена формула.'с (26). Доказательство.
Заметим, что с!н((ен (и)) — с (и) ~ = = ~! хн((Сн (и)) — у(о — ~ х (Т, и) — у,о ~ = = 2(х(Т, и)+о(хн фн(и)) — х(Т, и))— — у, хн Ян(и)) — с (Т, и)) $, 0 с' ь < 1. Отсюда и из оценок (8), (16), (24) следует утверждение леммы 3. Лемма 4. Пусть оьтолненьс все условия лемлсос 2 и пусть [и1н — произвольное управление из )Р'н. Тогда ./ (Рн ([и)н ) ) — ! ч ([ и [и) ~ ( С,бн, Со=2Со+2Со+2!у~, Ас=! 2, ", (30) где С„С,— посгпоянные из (8), (16), бн определена фор- мула'с (26). Лок аз атель ство.
Имеем с ./(Р„([и)н) — 1н ([и!н) = = ! 2 (хн (! и!н) + о (х (Т, Рн ([и'н))— — хн([и'н)) — у, х(Т, Рк((и)н)) — хн('и'н))ц 0(а с 1. Отсюда и из оценок (8), (!6), (25) следует утверждение леммы 4. Теорема !. Пусть матрицы А(!), В(!), 1(!) кьсочно непрерывны на отрезке !о(1( Т, У вЂ” выпуклое замкнустое ограниченное множество из Е', разбиения [!и с = О, с!с) отрезка [1„Т'! удовлетворясот условию (15). Пусть с' нижняя грань функции (1) при условиях (2), (3), !н„— зоз нижняя грань функции (4) при условиях (6), (6), последовательность [[и]н,) определена из условий (7). Тогда 11гп 1н„= У и справедливы оценки и со — Себя =Ун,— У„.:-Сьбн, йГ=!, 2 ..., (31) О» 7(Рн([и]не)) )ь((Се+Се) бы+ем, !у= 1, 2, ..., (32) где постоянные С,, С, взяты из оценок (29), (30) при йУ =(7 и (е'н =Он соответственно, а величина бн определена формулой (26).
Последовательность [Рн ([и]н,)] слабо в 7.г[(ь, Т] сходится к множеству (7 оптимальных управлений задачи (1) — (3). Доказательство. Согласно теореме 1.3.10 У, ч' ф. Возьмем какое-либо управление и, ен У„. Согласно лемме 1 (ен(и,) ~ Ун. Отсюда и из леммы 3 следует Тн:„=-7н(!ен(и,))(У(и,)+Сэйл = =г',„+Себя й)=1, 2 ... (33) Далее, функция (4) конечного числа переменных [и]н= =(иь, ..., ин,) на компактном множестве Ун достигает своей нижней грани, т.
е. 7н, ) — со, Ун, Ф ф. Возьмем какое-нибудь управление [и]н, ен Ун„. Из (21) непосредственно следует, что Рн([и]н,) ~У. Из леммы 4 тогда получим У„к,7 (Рн ([и]н )) —.- 7н ([и]н,) + Свбн = =Тнь+Свбн> йГ=1, 2, " (34) Из неравенств (33), (34) следует оценка (31). Так как согласно лемме 2 !!гп бн= О, то !пп 1н, = У,„. Рассмотрим последовательность ([и]н,) из (7). Тогда Рн([и]еы) е= У и 0( ((Рн ([и]не)) Уь = [) (Рл ([и]не)) Ун ([и]не)]+[7Ф ([и]не) 7нь]+ [7нь Уь] Отсюда и из неравенств (7), (30), (31) следует оценка (32). Тем самым установлено, что (Рн ([и]н,)) — минимизирующая последовательность задачи (1) — (3).
Слабая сходимость этой последовательности к множеству У„следует из теоремы 1.3.10. Теорема 1 доказана. Заметим, что множество (7, определяемое условиями (3), при выполнении условий теоремы 1 ограничено в метрике В' [гь, Т] и, следовательно, справедливо неравенство (!1). Поэтому, если матрицы А (Г), В((), 7(Г) на интервалах аоя непрерывности удовлетворяют условию Лнпшица (например, если эти матрицы не зависят от времени), то из (8), (11), (26) и (31) следует оценка ~ 1»«,„— У„1( С,дл = С, гпах М;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
