М.А. Порай-Кошиц - Основы структурного анализа химических соединений (1157636), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2. й 11. Типы решеток Брава Введение специальных правил выбора координатных осей в кристаллах каждой сингонии означает, естественно, отказ от первоначального постулата, гарантиро. вавшего отсутствие узлов решетки внутри параллелепипеда, построенного на наименьших трансляциях, взятых за основные направления'". Коль скоро координатные оси выбирают по направлениям осей симметрии, может случиться, что узлы решетки попадут и внутрь элементарной ячейки или на ее грани.
Симметрия структуры (рис. 13) требует, чтобы оси Х и У были выбраны по двум взаимно перпендикулярным осям симметрии; это определяет прямоугольную форму грани аЬ элементарной ячейки. Между тем трансляционно равноценные фигуры располагаются в структуре не только в вершинах элементарных ячеек, но и в центрах их граней аЬ. Если узлы решетки располагаются только в вершинах элементарных ячеек, то ячейку (и решетку в це- " Впрочем, для двух осей в кристаллах моноклинной сингонии и всех трех осей кристаллов триклииной сингоиии часто выставляют одно из двух дополнительных ограничений: 1 — оси выбира. ются тан, чтобы при соблюдении остальных требований углы между ними были возможно ближе к прямым; 2 — оси выбираются так, чтобы они отвечали минимальным по размеру трапсляпиял1 (трем некомплаиарным — в триклинной сингонни, двум перпекдикулярным заданной третьей, — в моноклинной сингонии).
а' Теперь это требование сохраняет силу только для групп, относящихся к тринлиниой сингонии, Рис. 13. Выбор координатных осей н элементарной ячейки в структуре с взаимяо перпенлнкулярными плоскостямн зеркальнопо отражения 2 — 15! 5 6 г Рис. 14. Различные случаи центрнровки решеток лом) называют примитивной. При наличии трансляций, совмещающих вершины ячеек с точками внутри или на гранях ячеек, решетка считается непримигивной (цеитрнрованиой). В рассмотренном примере ре~цетка цент. рирована в координатной плоскости ХУ (рис. 14, а).
Правила, определяющие выбор координатных систем в группах разных сингоний, по-разному ограничивают и способы центрировки их решеток. В триклинной сингонии в качестве осей можно выбрать любые некомпла. парные узловые ряды, лишь бы объем получаемой ячей. ки был минимален. Поэтому триклинная решетка всегда примитивна. В моноклиниой сингоиии жестко зафиксировано направление лишь одной из осей, и в зависи.
мости от размещения узлов решетки относительно этой оси она может оказаться либо прймитивной, либо боко. центрированной. В ромбической сингонии строго определены направления всех трех осей: решетка может быть как примитивной, так и базоцентрированной, объемно-центрированной нли гранецентрированной (рпс. 14, а, б, в). В группах тетрагональиой сиигонии оси Х н У всегда выбираются так, чтобы квадратное основание ячейки не содержало центрирующих узлов. Поэтому тетрагональная решетка может быть только примитивной или объемно-центрированной, но не базоцентрированной или гранецентрированной.
В группах гексагональной сингонии, содержащих оси шестого порядка, возможна лишь примитивная (гексагональная) решетка, а в группах, содержащих оси только третьего порядка (тригональная подсннгония), сверх того и ромбоэдрическая решетка (рис. 14, г). В кристаллах кубической сннгонии разрешены примитивная, объемно- и гранецентрированные решетки, Как видно из этого перечисления, с учетом сингонии и способа центрировки возможно всего 14 различных типов решеток. Их называют решетками Бравэ.
В ромбоэдрической решетке за осн выбираются три узловых ряда, равнонаклонные к оси симметрии третьего порядка, создающие примитивную элементарную ячейку в форме ромбоэдра а=б=с и а=й=у (рис. 14, г). Оси ромбоэдрической координатной системы обозначены на рисунке через Хю Ую Хю два независимых параметра решетки — через аа и аю Но ту же решетку можно описать и в гексагональной системе координат (оси Хн, Ун, Хн, параметры решетки ан, сн). Гексагональная элементарная ячейка в этом случае не- примитивна, она содержит два узла на телесной диагонали на высотах '/з и з/з по Х.
Поэтому ромбоэдрическую решетку часто называют и гексагональной дважды центрированной. Для различных случаев центрировки ячеек применяются соответствующие обозначения; !з — примитивная решетка; А, В, С вЂ” решетки, центрированные по координатным плоскостям (УЛ, ХЯ и ХУ соответственно); уз Рис. !5. Серии узловых сеток в примитивной (а) и центриро- ванной (й) решетках обычно их называют базо- или бокоцентрнрованнымн решетками; Р— гранецентрированная решетка; 1 — объемно-центрированная решетка; Й вЂ” ромбоэдрическая или дважды центрированная гексагональная решетка. Эти обозначения применительно к решеткам разных сингоний приведены в табл. 2.
Индексы узловых сеток в непрнмитивных решетках. По определению, индексы узловых сеток Ь, и и 1 равны числу чаетей, на которые данная серия сеток разбивает ребра элементарной ячейки: а, Ь и с. Выше (см. $2) было показано, что в примитивной решетке целые числа Ь, й, 1 не могут иметь общего множителя. В непримитивных решетках дело обстоит иначе. На рис. 15 изображены примитивная решетка и решетка, центрированная по плоскости ХУ (С-центрировка). Сетки (1!О) проходят одновременно и через узлы в вершинах ячеек, и через центрирующие узлы, поэтому они располагаются одинаково часто и в примитивной, и в С-решетке. Сетки (210), проведенные через узлы в вершинах, не пересекают центрирующих узлов. В С-решетке возникают дополнительные «вставные» сетки, так что ребра ячейки а и Ь делятся уже не на 2 и 1 части, а на 4 и 2 части соответственно.
По определению, индексы (210) здесь заменяются на (420). Нетрудно проверить, что в данном примере индексы (ИИ1) любой серии сеток должны удовлетворять условию 'и+И=2п и не содержать других общих множителей. Правила, фиксирующие значения индексов серий сеток в решетках разного типа, приведены во второй колонке табл. 3*. Т а б л и ц а 3. Индексы серий узловых сеток и днфракцнониые индексы в решетках разного типа Дифракпиоииые индексы ай( («правила погасаний ) Индексы серий узловых сеток (ЙЫ) Тип решетки И, И, 1 — любые це.
лые числа И+И+1=2п И, И, 1 не имеют общего множителя И-(-И+1=2пя Примитивная Р Объемно-центрнрованная т' Базоцентрнроианная В А Гранецентрироваиная г Я Других общих множителей нет. я' Все трн индекса четные илн все три нечетные. $12. Графическое изображение пространственных групп симметрии Совокупность элементов симметрии, образующих пространственную группу, их ориентацию и взаимное смещение в пространстве, удобнее всего показать графически в виде проекции на одну из граней элементарной ячейки трансляционной группы. Понятно, что способ изображения каждо~о элемента симметрии зависит от того, располагается ли он пер- ' Доказательство существования этих правил см., например, в кнх Бокий Г.
Бо Порай-Кошин М. А. Рентгеноструктурный анализ. Т. 1. Изд-во МГУ, 1964, с. 266 — 269. И+ И =. 2пе И+1=2пе И + 1 = 2пя ! И+И=2пя И+ 1 =-2пя И+ 1 =2пя И+ И =-2п и+1=2 И+ 1 =2п с И+ и = 2п, И+1=2п илн ива. че '* И + 1 =.= 2п пендикулярно, параллельно или наклонно к плоскости проекции. На рис. 16 даны условные изображения осей симметрии разных порядков, как поворотных, так и инверсионных и винтовых: в верхнем ряду — оси, ориентированные перпендикулярно плоскости чертежа, в сред- Е Е Е Ю, Е ра Ез е еФФФ4Ф. У 3 зт Ф Ф Ф 4, ~..й, + яр+~+ 1Т ~Т ~~1 Рис. 16. Изображение осей симметрии иа чертежах с 1 1 — — — †.о- ~-- ! 71 7 ~+~ ~(~Я ~~~ ~аЯ Рис.
17. Изображение плоскостей симметрии на чертежах На рис. 17 аналогичным образом показано изображение плоскости зеркального и скользящего отражения. Плоскости, параллельные плоскости проекции (средний ряд на рисунке), изображаются в виде двух сходящих:я, взаимно перпендикулярных прямых, помещаемых нем — расположенные параллельно плоскости чертежа. В нижнем ряду приведены примеры изображения осей, наклоненных по отношению к плоскости проекции. Слева на рисунке (в виде маленького кружка) показано условное изображение центра инверсии.
обычно в правом верхнем углу рисунка. Стрелка ука- зывает направление скольжения. Отсутствие стрелки отличает плоскость зеркального отражения. В верхнем, ряду те же плоскости ориентированы перпендикулярно плоскости чертежа: сплошная жирная линия означает ~ зеркальное отражение; пунктирная — скользящее отра- жение со скольжением, перпендикулярным плоскости чертежа (на нас), штриховая — скольжение, параллель- ное плоскости чертежа: штрихпуиктирная линия — диа- гональное л-скольжение. Дополнительные значки-стрел- ки на штрихпунктирной линии означают диагональное г(-скольжение. В нижнем ряду приведены условные обо- значения плоскостей симметрии, расположенных косо по отношению к плоскости чертежа.
Центры инверсии, а также плоскости и оси симмет- рии, параллельные плоскости чертежа, могут находиться в пространстве на разных уровнях над этой плоскостью. Величина смещения над плоскостью чертежа (над ко- ординатной плоскостью элементарной ячейки) обозна- чается дробным числом, которое ставится рядом с изо- бражением элемента симметрии и означает величину смещения в долях периода повторяемости. Обычно пространственную группу принято показы- вать в проекции на координатную плоскость ХУ. Ось х направляется в проекции сверху вниз, ось у в слева направо; предполагается, что ось 2 направлена на нас (правая система координат).
На рис. 18 в верхнем ряду в качестве простых при- меров приведены изображения двух пространственных групп моноклииной сингонии. Чертежи нетрудно «прочесть», В левой части рисун- ка изображена группа с поворотными осями второго по- рядка, параллельными оси У, плоскостями зеркального отражения, перпендикулярными этой оси. В точках их пересечения находятся центры инверсии. В правой час- ти рисунка показана группа с винтовыми осями второго порядка, параллельными оси У, и плоскостями скользя- щего отражения, им перпендикулярными, со скольжени- ем вдоль оси 2. Центры инверсии размещаются (так же, как в пер- вой из показанных групп) в начале координат и в точ- ках '/з 00, 0'/з О, '/з '/ О, 00'/м 0'/з '/м '/зО'/ди '/з '/2 '/ь Винтовые оси смещены относительно центров инверсии на ')4 периода по оси с, а плоскости скольжения — иа Ч, периода по оси У, — 4 1 ф~ Р'г/Г , О- /х— Рг/т О- О О- ОО ' -О О ф~— , О /х +О Ое+ -О +О У О+ +О О+ О. О- ОР- ОР" /6 /го„- -а о !Вс ! О~О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
