М.А. Порай-Кошиц - Основы структурного анализа химических соединений (1157636), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В теории симметрии решетка — это совокупность трансляций; узлы решетки — математические точки, а не материальяые частицы. В описательной кристаллохимии и особен- * Впрочем, для тех, кто хочет ознакомиться лишь с общими основами современного реятгеноструктурного анализа н не слишном интересуется символикой н обозначениями операций симметрии, связыванхцнх атомы в кристаллах, можно рекомендовать полностью пропустить весь раздел Б первой главы, посвященный пространственным группам симметрии.
ю в кристаллофнзнке тот же термин часто используется для пояс«еаия способа размещения всех или части атомов кристалла. Во гзбежание путаницы можно рекомендовать применение термина «решетка кристалла» нлп «кристаллическая решетка» только в рамсах теории симметрии и «атомная решетка» (или «атомная подрепетка», если имеется в виду лишь часть атомов) — при описании «азмещения атомов в кристаллической структуре. Такое термнноюгическое разграничение важно, в частности, потому, что пекото»ые поясняющие термины (такие, как объемноцентрированная или .ранецеитрироваиная решетка) могут не совпасть применительно < симметрии н к размещению атомов определенного сорта в одной « той же кристаллической структуре. Х д д д Рис.
1. Изображение трансляционной группы (решетки) крис. талла (а и б); параллелепипед повторяемости (а) В соответствии с соотношением (1) для задания решетки кристалла в общем случае необходимо указать гри векторных параметра а, Ь, с или шесть скалярных: эазмеры трансляций а, Ь, с и углы между их направлениями а, р, у (а — угол между осями У и Х; р — между Х и Х; у — между Х и У, рис. 1, в).
Эти шесть величин чазываются параметрами решетки, а построенный на чих параллелепипед — параллелепипедом повторяемо"ти. Если оси Х, У, Х выбраны в соответствии с опредетенными принятыми в кристаллографии правилами (см. чиже гл. 1, ~ 10), то параллелепипед повторяемости называют элементарной ячейкой кристалла. $2. Индексы узлов, узловых рядов и узловых сеток решетки кристалла Трансляционная система кристалла играет опреде~яющую роль в геометрии дифракционного эффекта, юзникающего при прохождении рентгеновских лучей через кристалл.
Параметры и другие характеристики решетки входят во все основные формулы рентгеноструктурного анализа. Поэтому следует познакомиться с некоторыми вспомогательными понятиями и обозначениями «решетчатой кристаллографии». К таковым относятся понятия узловых рядов и узловых сеток и вспомогательный образ — обратная решетка. Индексы узлов. При описании решетки кристалла один из ее узлов выбирают за начало координат. Все узлы решетки нумеруют по порядку вдоль координатных осей, Каждый узел характеризуется, следовательно, тремя целыми числами т, п и р, называемыми индексами узла.
Их совокупность, записанная в форме тпр, называется символом узла. Любую трансляцию можно записать с помощью вектора, проведенного из начала координат в соответствующий узел тир, в виде Гмар = жа + пЬ + Рс. Аналогичным образом вектор, проведенный из начала координат элементарной ячейки в любую ее точку,можно представить как г = ха+ уЬ+ лс, (2) где х, у, г — числа, меньшие единицы, имеют смысл координат некоторой точки ячейки, выраженных в долях ребер ячейки а, Ь и с соответственно (относительные координаты точки). Индексы узловых рядов.
В решетке можно провести множество узловых рядов разной ориентации (рис. 2, а). Семейству (серии) параллельных друг другу узловых рядов приписывают в качестве символа индексы ближайшего к началу координат узла, через который проходит узловой ряд, непосредственно пересекающий начало координат. Серия узловых рядов обозначается [лзлр).
В решетке, изображенной на рис. 2, а, показаны узловые ряды четырех разных серий. Их символы: 12101, (010), (110) и (120] *. Индексы узловых сеток. В любой решетке можно провести множество серий узловых сеток разной ориентации (рис. 2, б). Каждая серия характеризуется своим наклоном к координатным осям и своим межплоскостным расстоянием. * Подразумевается, что изображенные ряды лежат в плоскости ХУ кристалла.
Поэтому третий индекс всюду равен нулю. Наклон серии сеток передается ее символом (ЬЬ!). Индексами серии сеток Ь, Ь и ! называют число частей, 6 на которое разбиваются ребра элементарной ячейки (, и с соответственно) данной серией сеток. Так, на рйс. йки (а, 2, б приведены сетки с индексами (100), (110), (320)'. Будем, как и ранее, считать, что оси Х, У и Л выбраны так, что параллелепипед, построенныи на параметрах а, 6, с, остается «пустым» вЂ” не содержит дополнительных узлов ни в своем объеме, ни на гранях. Такую решетку называют примитивной.
1О] а у Рнс. 2. Серии узловых рядов уа) и серии узловых сеток ре- шетки (б) Докажем следующее важное положение: в примитивной решетке индексы любой серии сеток (ЬЬ!) суть числа, не имеющие общего множителя. С етка, относящаяся к серии (ЬЬ!) и ближайшая кначалу координат, отсекает на осях отрезки а/Ь, 6/Ь и с/1. Уравнение этой сетки л у .т и л а)а б/й + ! =- 1 или а +а +! 1 е! а б е Сетка является узловой, т. е.
проходит через некоторые точки с координатами х=та, у=пЬ, —, у=п, а=рс, где вт, и, р — целые числа. Следовательно, должн олжно удовлетво- * Предполагается, что показанные сетки параллельны т етьей оси 2 кристалла, т. е. не пересекают еб о е, П ьны третьей деке всюду равен нулю. ре ро е, Поэтому третий нн- ряться равенство пчй+пй+р1=1 с целочисленными ж, и, р и й, й, 1. Это возможно лишь при условии, что тй, пй, р1 и, следовательно, й, й, 1 не имеют общего множителя.
Межплоскостные расстояния. Вторая характеристика серии узловых сеток — межплоскостное расстояние е(еы — зависит как от индексов этой серии сеток, так и от параметров решетки. В общем случае эта зависимость имеет вид" ! ! (( Ьо)па;)2 ( Аяпр )2 ( 1нпу )2 йй )а + 2 — (соз а соз е — соз у) + 2 — (соз у соз а — соз 3) + аЬ еа ЬЕ + 2 — (соз 3 сов у — соз а)~, (3) 'Ье где з=1 — соз' а — созе б — соз'у+2 сов асов р сову. Она, естественно, упрощается при повышении симметрии кристалла. Так, например, если координатная система ортогональна, т. е.
а=р=-у=90' (ромбическая симметрия), то ! Ьз Аз Ьв — — + + а2 Ь2 ° е2 Если, кроме того, а=Ь (тетрагональная симметрия), то ! Ьа+ Ьв (2 + Мвве а2 е2 в случае а=Ь=с (кубическая симметрия) ! 1 = — (62+ ха + (2). аее! Эти формулы имеют практическое значение. Они позволяют определять индексы узловых сеток и параметры решеток по межплоскостным расстояниям, найденным из рентгенограмм (см. $7 гл. 11).
5 3. Обратная решетка В физике часто приходится иметь дело со скалярными произведениями векторов; (гН) =гй1 соз ф, где се— угол между векторами. Как известно, при использова' Вывод формулы-см, $3. аин ортогональной системы координат с одинаковыми единичными векторами выражение скалярного произведения через компоненты векторов г», гг, г» и Н», Н„Н» имеет очень простой вид: (гН) = г»Н» + г»Н» + г»Н».
(4) Если, однако, система неортогональна н(или) единицы измерения по осям различны, то представление (гН) через компоненты значительно усложняется. Чтобы сохранить запись в форме (4), помимо основной координатной системы вводится вторая, так называемая взаимная или обратная система координат, и один из векторов выражается через компоненты в основной системе, другой — через свои компоненты в обратной системе. В частности, к этому средству приходится прибегать и в структурной кристаллографии. Осевые орты взаимной системы а, Ь', с' определяются через осевые векторы кристаллографической системы а, Ь, с единичной матрицей скалярных произведений: М 010 т.
е. соотношениями (а*Ь) = (а~с) =- О, (а"'а) =- М, (Ь~и) =. (Ь*с) = О, (6) и (Ь~Ь) = М, (6) (с*а) =- (сиЬ) = О, (с*с) =- М. Если теперь вектор г представить в кристаллографической системе г=г»а+г»Ь+г»с, а вектор Н вЂ” во взаимной системе Н=Н»а*-(-Н»Ь "+Нас', то„учитывая соотношения (5) и (б), снова получим (гН) =г»Н»+ +г»Н»+г»Н», если М=1, и (гН) = М (г»Н» + г~ Нг + г»Н») (т) в общем случае. Геометрический смысл соотношений (5) и (6) очень прост. Соотношения (а*Ь) = (а*с) =0 означают, что вектор а' перпендикулярен и вектору Ь и вектору с, т. е. плоскости УХ. Аналогично, вектор Ь* перпендикулярен плоскости ХЛ, а вектор с' — плоскости ХУ. Соотношение (а*а) =М означает, что а'асов (аа') = =М. Но а сов(аа*) — это межплоскостное расстояние между параллельными гранями уЛ элементарной ячейки, т. е.
межплоскостное расстояние Авв (рис. 3, а). Следовательно, длина осевого вектора обратной решетки равна ае =- Лчуо'но, и аналогично И" =- М/Лдо, а =-м(лес~. Пс своей длине осевые орты а", Ь', с' обратны межплоскостным расстояниям серии плоскостей (100), (010) и (001) соответственно (с масштабным коэффициентом М). Рис. 3. Направление осей обратной координатной системы (а); построение обратной решетки (б) Используем осевые орты а', Ь', с' для построения второй решетки, т. е.
введем систему точек ЙИ( ", удовлетворяющих условию Нлаг =- Иае + Иьа+ (с*, (9) где И, И, 1 — любые целые числа (рис. 3, б). Решетку, построенную таким образом, называют обратной по отношению к кристаллографической. Этот вспомогательный геометрический образ широко используется в рентгеноструктурном анализе для интерпретации рентгенограмм. На рис. 4, а изображены прямая и обратная решет- ки (условно взяты двумерные решетки; третий индекс Рис. 4. Взаимные ориентации узловых рядов овратной решетки и узловых сеток решетки кристалла: о — сетки (11О) и узловой рвд н10н; б — сетки (3!01 и узловой рвд (310]" В общем виде справедливо следующее соотношение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
