М.А. Порай-Кошиц - Основы структурного анализа химических соединений (1157636), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

При этом безразлично, как ориентирована сама плоскость скольжения. Так, например, все три плоскости скользящего отражения, изображенные иа рис. 8, а, б, в, обозначаются как а-плоскости (скольжения вдоль оси Х). Величина смещения при осевом скольжении всегда составляет половину трансляции вдоль оси, при диагональном скольжении оиа равна либо половине диагонали ячейки (а-плоскость), либо одной четвертой ее (и'- плоскость) (рис. 9, а, б). й 6. Точечные и пространственные группы симметрии Совокупность операций симметрии, которые можно выполнить на одной и той же фигуре, называют группой симметрии. Группы симметрии, составленные нз одних закрытых операций, называются точечнаыое Точечные группы описывают все возможные случаи симметрии конечных фигур, в частности молекул.

Группы симметрии, составленные как из закрытых, так и открытых операций, действующих во всех трех измерениях пространства, называют пространственными. Именно эти группы описывают все возможные случаи симметрии кристаллических структур. Хотя специально мы ие останавливаемся на правилах сопряжения разных элементов симметрии, обратим все же внимание на три наиболее важных случая, касающихся точечных групп симметрии.

1, Поворотная ось симметрии любого порядка (на рис. 1О, а взята в качестве примера ось симметрии четвертого порядка) и перпендикулярная ей ось симметрии второго порядка порождают н другие оси симметрии второго порядка, также перпендикулярные главной оси; нх число равно порядку главной оси. 2, Поворотная ось симметрии любого порядка (на рис. 1О, б снова ось четвертого порядка) и параллельная ей плоскость зеркального отражения порождают и другие плоскости зеркального отражения, также параллельные главной оси; их число снова равно порядку главной оси.

(4н†. ') ШП "Ф .() = ю 4 ь4 „= 4((Н Рнс. 10. Неноторые точечные группы на основе поворотной осп четвертого порядка. Ось 4 (в центре рисунка) направлена перпенлнкулярно плоскости рисунка; двойные линии — плоское~и зеркального отражения, одинарные — поворотные оси второго оорядна. Кружки — фрагменты фигуры, расположенные над плоскостью проекции, крестики — фрагменты фигуры пад плоско.

стью проекции (на таком же расстоянии) 3. Поворотная ось симметрии ч е т н о г о порядка и перпендикулярная ей плоскость зеркального отражения порождают центр инверсии в точке их пересечения (рис. 1О, в). На рис. 10, г изображен случай, когда действуют одновременно все этн три правила.

В физической химии, в частности в молекулярной спектроскопии, для обозначения точечных групп применяется символика, введенная Шенфлисом. Точечные группы, содержащие операции только одной поворотной оси, обозначаются буквой С с индексом, показывающим порядок оси (напрнмер, С,-группа, включающая только повороты на 120, 240, 360'). Точечные группы с единственной зеркально-поворотной осью п-го порядка обозначаются через 5„. Группы с дополнительными осямн симметрии второго порядка, перпендикулярными главной оси, обозначаются буквой () с индексом, показывающим порядок главной осн.

Наличие плоскости зеркального отражения, перпендикулярной главной оси, передается индексом й; а плоскостей, параллельных главной оси,— индексом о и т. д, Например, В4 — группа с поворотной осью четвертого порядка и перпендикулярными ей осями второго порядка; С4, — группа с по- воротной осью четвертого порядка и параллельными ей плоскостями зеркального отражения; С я — группа с той же главной осью и перпендикулярной ей плоскостью зеркального отражения; Т14ь — группа с поворотной осью четвертого порядка, перпендикулярными ей осями второго порядка и перпендикулярной ей плоскостью зеркального отражения (и, как следствие, с плоскостями отражения, параллельными главной оси, и центром инверсии в общей точке пересечения остальных элементов симметрии).

В структурной кристаллографии принята совсем иная система обозначения точечных групп, основанная на приведенных выше обозначениях элементов симметрии, Точечные группы, содержащие операции только одной поворотной оси, обозначаются, как и сами элементы симметрии, цифрами 1, 2, 3, 4,...; группы с единственной инверсионной осью — цифрами с черточками 1, 2, 3, 4, .... Здесь 1 — группа только с центром инверсии; 2 — группа с единственной плоскостью симметрии; для нее предпочтительно обозначение гп. Группы с осями симметрии второго порядка, перпендикулярными главной оси, обозначаются цифрами, стоящими подряд (например, 422 соответствует В4). Добавление к главной оси плоскостей, ей параллельных, обозначается дополнением символа буквами т, стоящими подряд за цифрой (например, 4тт соответствует С4,), а добавление плоскости, перпендикулярной главной оси, обозначается буквой гп, стоящей за косой чертой (например, 4/гп соответствует Сзь).

Присутствие плоскостей симметрии как перпендикулярной оси, так и параллельных ей обозначается дополнением символа оси буквой и, стоящей за косой чертой, и буквами т, следующими вслед за ней (например, 4/тпггп соответствует Т1,~). Во всех случаях первая из букв, обозначающих плоскости, относится к плоскости, перпендикулярной главной оси.

Эта вторая система обозначений легко распространяется и на пространственные группы симметрии. Требуется лишь заменить (там, где это нужно) обозначение поворотных осей 2, 3, 4,... на обозначения винтовых осей 2ь 3, (или Зз), 4~ (или 4з, или 4з) и т. д., а плоскостей зеркального отражения т на обозначения плоскостей скользящего отражения а, Ь, с, п или Ы. Более детально эта символика рассматривается в одном из последующих разделов.

$7. Взаимодействие трансляций и других операций симметрии Хорошо известно, что требование групповой замкнутости операций симметрии приводит к определенным ограничениям в возможных комбинациях н взаимных ориентациях закрытых элементов симметрии конечных фигур. Это, в частности, было видно на только что рассмотренных примерах.

Рис. 11. К теореме о невозможности существования в крис- талле осей пятого и выше шестого порядков Те же ограничения действуют и по отношению к открытым элементам симметрии бесконечных фигур. Но помимо этого взаимодействие трансляций с другими операциями симметрии приводит к дополнительным огра- иичениям двух типов 1) трансляционная группа ограничивает возможный набор осей симметрии разных порядков; 2) любые операции симметрии, кроме простой инверсии, накладывают ограничения на г е о м е т р и ю (метрику) трансляционной группы, Рассмотрим эти ограничения более подробно.

Возможные оси симметрии пространственной группы. Поскольку трехмерная система переносов является обязательным свойством всякого кристалла, в кристалле возможны только такие (другие) элементы симметрии, которые не уничтожают его трансляциуп онные свойства. Можно показать, что этим свойством обладают только оси 1, 2, 3, 4 и 6-го порядков. Это означает, что пространственных групп с осями пятого порядка или с любымн осями выше шестого порядка существовать не может. Сказанное, естествен- геометрия ре но, относится к поворотсутствии осей второго ным, инверсионным и винто- порядка вым осям.

Теорема о невозможности существования в кристалле осей пя. того н выше шестого порядков доказывается довольно просто. Пусть два узловых ряда, пересекающихся в точке А, (рис. 11, а), определяются одним и тем же межузловым расстоянием, м и н и и а л ь н ы м для узловой сетки, в которой лежат оба ряда (А«А~=А«А«=амы). Тогда в треугольнике А,А,Л« сторона А,Аз не может быть меньше, чем Л«А, 1А,А»)аьо«), а следовательно, гх)60'.

Это озаачает, что перпендикулярно сетке нельзя расположить ось симметрии выше шестого порядка. Сказанное относится и к иаверсиопным осям, Доказательство легко распространить и на винтовые осн. Запрещенными оказываются н оси пятого порядка. Действительно, если повернуть исходный узловой ряд на угол 360)5= 72' и учесть, что всякий узловой ряд бесконечен в обоих направлениях, то окажется, что «трижды повернутый» ряд образует с исходным угол в 36 (рнс. 11, б), что приводит к соотношению А,А«<а»п .

Ось третьего порядка всем требованиям удовлстворяег (рнс. 11, в). Не встречают возражений и осн 2-го, 4-го и 6-го порядков (на рпс. !1, г приведена решетка с осямп четвертого порядка). Метрика решетки кристалла. На рис. 12 показана ось 2 и проведен некий узловой ряд решетки, образующий с осью угол а. Поворотная симметрия требует су- ществования эквивалентного ряда, повернутого относительно первого на 180'.

Второй ряд образует с осью такой же угол а. Проведя все узловые ряды, параллельные первому и все узловые ряды, параллельныс второму, мы легко убеждаемся, что в узловой сетке, построенной на этих двух рядах, должны также существовать ряды, перпендикулярные и параллельные оси симметрии. Этот результат — общий для любых осей симметрии, начиная с осей второго порядка. Оси симметрии высших порядков, начиная с третьего, приводят к фиксации не только угловых, но и размерных параметров решетки.

Действительно, самосовмещение фигуры при повороте на 120, 90 или 60' требует эквиналентности узловых рядов, повернутых относительно друг друга на указанный угол (см, рис. 11). Эквивалентность означает равенство кратчайших трансляций в таких рядах. $ 8. Классификационная схема пространственных групп симметрии Из сказанного выше следует, что операции симметрии, возможные в кристаллическом пространстне, образуют друг с другом лишь строго определенные комбинации, число которых конечно. С другой стороны, такие комбинации достаточно разнообразны, поскольку в сочетаниях могут участвовать как закрытые, так и открытые операции симметрии, Заслуга вывода всех возможных пространственных групп симметрии принадлежит акад.

Е. С. федорову. В 1890 г., задолго до первых работ по экспериментальному исследованию кристаллических структур, он показал, что существует всего 230 различных пространственных групп, и определил специфику каждой из них. При столь большом наборе различных групп симметрии их естественно разбить на определенные семейства групп, родственных по тому или иному признаку. В качестве определяющего признака принято использовать либо порядок оси (безразлично какой — поворотной, инвсрсионной или винтовой), либо метрику трансляционной группы.

Соответственно этому возникают два независимых потока классификационных подразделений, представленные ниже. На основе метрики транспяпионной группы На основе порядка оси симметрии Сверху вниз идет детализация признаков. Если двигаться снизу вверх, можно сказать, что каждый класс симметрии объединяет некоторое число пространственных групп, каждая сингония — определенное число классов, каждая категория — определенное число сингоний. То же относится, в принципе, и к правому потоку.

Характеристики

Список файлов книги