М.А. Порай-Кошиц - Основы структурного анализа химических соединений (1157636), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Вектор Н(ы(, проведенный из начала координат в любой узел обратной решетки йИ *, ближайший к началу в данном узловом ряду, всегда перпендикулярен узловой сетке основной (кристаллографической) решетки, имеющей те же индексы, а длина этого вектора ) Най(( обратно пропорциональна межплоскостному расстоянию Ас(. Если обозначить единичный по длине вектор нормали к серии плоскостей (лИ) через (т(нй( (где ) Хай() = =1), то сформулированное свойство можно записать в виде соотношения ( Н(ы(маав+ йЬо+тсв =-М вЂ” (йал(. стаа1 (1О) каждого узла можно считать равным нулю). В обратной решетке проведен узловой ряд через точки 110 *, 220 ", 330.", т. е.
узловой ряд [1101*. На том же рисунке показана серия плоскостей основной решетки, имеющая те же индексы (! 10). Как видно, они взаимно перпендикулярны. На рис, 4, б то же построение относится к узловому ряду [3101и обратной решетки и серии узловых сеток (310) основной решетки. Узловой ряд [3101а снова перпендикулярен плоскости (310). Кроме того, легко видеть, что чем больше длина вектора Наты обратной решетки, тем меньше межплоскостное расстояние в соответствующей серии плоскостей (улл( основной регпетки. Так как узловой ряд (йИ]а далее содержит узлы 262й21, ЗЛЗй31. н т.
д., то в более общей форме Н „ш пйа" + пйЬа + пЕса = йу — Мыл, (П) Рчг алм где р=пй, г)=пй, г=п(. В скалярной форме 1 Н „1 =г)( †. Соотноше- г1ьм ния (8) можно рассматривать как частные случаи этого общего соотношения. Для доказательства справедливости формулы (11) умножим обе части этого равенства скалярно на один из осевых векторов решетки кристалла, например а, С учетом соотношений (5) и (5) в левой части имеем (Нлчга) = Мпй. (12) В правой части соотношения (11) Мыл по определению, есть единичныа вектор нормали к серии плоскостей (ййй, следоРис.
5. К доказатель- Л, ству соотношения вательно, (г)алга) =!асов ()лр аллХ). (11) На рис. 5 изображена ближайшая к началу координат сетка (йы) и проведена нормаль к ней Млы. На оси Х отмечен отрезок а)й, отсекаемый этой сеткой, а на нормали Млм — расстояние алы. Очевидно, Л, л гс что сов(йрлиХ) = = — й, а вся правая часть (11) арй а п а' М вЂ” а — й = Мпй. Повторив те же операции при скалярном а а перемножении обеих частей равенства (!1) на Ь и на с, убеждаемся, что все три компоненты (проекции на оси) векторов, представляющих левую и правую части равенства, совпадают.
Значит, оба и вектора Нрм и М вЂ” )Чаьг равны по длине и совпадают по аль! направлению. Соотношения (1О) и особенно (11) будут использованы в последующих разделах при выводе основных формул структурного анализа. Соотношение (10) дает также основу для вывода формулы (3), связывающей межплоскостное расстояние некоторой серии плоскостей (ЙИ) с параметрами решетки а, 6, с, а, )3, у. Положив М=1 и взяв скалярный квадрат от обеих частей равенства (1О), получим 1) аааг —.
йза*х + йхй*х + (хсчз + 2ййаай" соз а* + + 2!йа'аесоэ()ч + 2йх бас*сову*. (! 3) Далее требуется выразить параметры обратной решетки через параметры кристаллографической, воспользовавшись скалярным представлением соотношений (5) и (6) *. В частности, в случае ортогональной решетки (а=()=у=90' и соответственно а*=0"=уз=90') мы имеем просто а"=1/а, Ье=1/(г, с"=1/с и соотношение (13) упрощается до йз йа + + ат Ьз ез Б. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ СИММЕТРИИ й 4.
Обозначения элементов симметрии конечных фигур, принятые в структурной кристаллографии В фигурах и, телах конечных размеров симметрия проявляется в том, что равные части фигуры могут быть совмещены друг с другом либо путем поворота всей фигуры в целом, либо зеркальным отражением в плоскости, пересекающей фигуру, либо одновременным проведением обеих этих операций — поворота и отражения в плоскости, перпендикулярной оси поворота. В частности, поворот на 180', сопровождаемый отражением, приводит к инверсии фигуры. Обычно именно эти операции и соответствующие им геометрические образы — элементы симметрии — и берутся за основу при описании групп симметрии конечных фигур. Хорошо известны и их обозначения: поворотные оси С, (и — порядок оси), зеркальное отражение Сз, зеркально-поворотные оси 5„ и центр инверсии Ях или С;**.
Можно, однако, взять за основу не повороты, зеркальные отражения и повороты, сопровождаемые отражением, а несколько иную исходную систему: повороты, инверсию и повороты, сопровождаемые инверсией. В этом случае зеркальное отражение может рассматриваться как поворот на 180', совмещенный с инверсией, а зеркальные повороты по определенным правилам, относящимся к порядку оси поворота, сводятся * Смл Бокий Г.
Б., Порай-Кошин М. А. Рентгеноструктурный анализ. Т. !. Изд-во МГУ, 1964. С. 316 — 317. *' Заметим, что понятие элемента симметрии соответствует не одной, а ряду операций симметрии, производных от одной из ннх. Так, например, поворотная ось С, содержит представление о само. совмещении фигуры прн поворотах как на 120, так и на 240 и 360', к инверсионным поворотам, В структурной кристаллографии принята именно эта вторая система опорных операций симметрии; на ней основана номенклатура групп симметрии, характеризующих атомную структуру кристаллов. Применяется и совсем иной способ обозначения элементов симметрии; поворотные оси обозначаются цифрами 1, 2, 3 ..., отвечающими порядку оси, инверсионные оси обозначаются теми же цифрами с чертой 1, 2, 3,...
В частности, 1 — означает центр инверсии. Для плоскостей зеркального отражения принято обозначение пт (хотя в принципе можно использовать и 2). Соотношение между двумя системами и способами обозначений выглядит очень просто: С1 = 1, Сх = 2, Сэ = 3, Сч = 4, Сг = 6 С1=-1, Сз=2=т, Яэ=6, 54=4, Бе=3. Само понятие симметрии ивиболее просто и беэ внутренних противоречий можно ввести следующим образом.
Нам известны только три действия, которые пе изменяют взаимное расположение всех точек л ю б о й провэвольно выбранной фигуры (телэ): это перемещение фигуры как целого, ее инверсия (отрэжения в точке) и зеркальное отрэженпе. Но, кэк было скнээно, эеркэльное отражение может быть сведено к комбиинцин иэ перемещения и инверсии. Поэтому можно ограничиться лишь двумя действиями — движением и инверсией квк единственными простыми операциями, сохраняющими взаимное расположение (рвсстоя. ния, углы и т. д.) всех точек любой фигуры. Этв констатация и служит основой для введения понятия симметрии. Фигуру ннэывают симметричной, если в результате определенного движения, инверсии илн совместного проведения этих двух цействий все ее точки совпадут с точками, характеризующими первоначальное положение фигуры. Действия, приводящие к само- совмещению фигуры, называют операциями симметрии*.
й 5. Закрытые и открытые операции симметрии Перечисленные операции симметрии называют закрытыми, поскольку они могут быть применены к ограниченному участку пространства. Симметрические преобразования, свойственные только бесконечным по размерам фигурам, называют открытыми операциями симметрии. Таковыми являют- " Если фигура совмещается со своим первоначальным положением только при повороте на 360' или после совершения полного колебания, то ее можно считать асимметричной нли трнвиэльио симметричной. Такой симметрией обладает любое тело.
В теории групп симметрии соответствующая операция считается единичной операцией симметрии. ся: простые переносы (трансляции), скользящее отражение и винтовые повороты. Так, например, бесконечная (в одном измерении) фигура, показанная на рис. 6, а, может быть самосовмещена переносами на расстоя- Рис. б. Скользящее отражение (а) и винтовое вращение (б) ния 1 или 21, 31 и т. д. или скользящим отражением (переносом, сопровождаемым отражением в плоскости, параллельной направлению переноса) со скольжением, равным '4г, з/зг и т. д.
Фигура, изображенная на рис. б, б, может быть совмещена как переносами на ~, 2(, ..., так и винтовым вращением, например поворотом на 90', сопровождаемым смещением вдоль оси вращения на '/е(. Понятно, что винтовые осн, так же как н поворотные нлн янверснонные, могут иметь разный порядок и в со. ответствян со значением делителя окружности (360/и], отвечающего минимальному углу поворота в операции снмметрнн. ! ! ог ~ й 4 ! ! 7т Ез ! ! Рис. и Винтовые оси третьего, четвертого и шестога порядков Осн винтового вращения (коротко — винтовые осн) обозначаются цифрами, отвечающими порядку осн, с цифровыми индексами: 21 — винтовая ось второго порядка; 31 н Зв — винтовые осн третьего порядка (право- г' Рис.
8. Плоскости скользящего отражения с осевым сколь- жением: а, б, е — а-скольжение; е — Ь.скольжение; д — с-скольжение и~' х Рис. 9. Плоскости скользящего отражения с диаго- нальным скольжением: а — л-скольжение; б — а-скольжение и левовращающая); 4ь 4м 4з — оси четвертого порядка; б„б,, ..., бз — оси шестого порядка. Индивидуальные особенности этих осей показаны на рис. 7. Для плоскостей скользящего отражения, так же как и для плоскости зеркального отражения (т), применяются буквенные обозначения, разные в зависимости от направления скольжения: а означает скольжение вдоль оси Х; Ь вЂ” вдоль оси У; с — вдоль оси Л, п или д — по направлению диагонали в координатной плоскости элементарной ячейки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
