М.А. Порай-Кошиц - Основы структурного анализа химических соединений (1157636), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Двусторонняя стрелка между сингониями слева и координатными системами справа означает, что эти два понятия по содержанию очень близки, хотя и не полностью совпадают (см. ниже $ 9 и 1О). ф 9. Классы симметрии, сингонии и категории В теории симметрии кристаллического пространства существует понятие сходственных элементов симметрии. Таковыми являются поворотные и винтовые оси одного и того же порядка, плоскости зеркального и плоскости скользяшего отражения. Понятие сходственности можно распространить и на группы симметрии: сходственны все пространственные группы, различающиеся лишь частичной или полной заменой закрытых элементов симметрии на сходственные им открытые элементы.
Если во всех сходственных пространственных группах произвести полную замену всех открытых элементов симметрии на закрытые и перенести их в общую точку пересечения, то получим одну и ту же точечную группу симметрии. Полученная таким преобразованием группа называется классом симметрии нлн точечной группой симметрии кристалла. Класс симметрии можно рассматрнвать как подразделение, объединяющее все сходственные пространственные группы, Важность этого понятия связана с тем, что симметрия кристалла определиет и симметрию проявления самых разнообразных физических свойств. Но макрофизическне свойства, такие, как электрическая проводимость, упругость и др., относятся не к отдельным атомам нлн атомным рядам, а к крпсталлу а целом, и определяются не пространствеаной группой симметрии кристалла, а его классом симметрии — той точечной группой, которая получится, если все открытые элементы симметрии заменить сходственными закрытыми и перенести в общую точку пересечения.
Всего существует 32 класса сямметрнн. В левой частя табл. 1 указаны нх символы н колнчество пространственных групп, объединяемых в каждый класс снмметрнн. Дальнейшие классификационные объединения точечных групп в более крупные семейства строятся по сугубо формальному признаку. Сннгонпя кристалла определяется порядком н числом осей симметрии, прнсутствующнх в точечной группе. Если в точечной группе нмеется лишь поворотная нлн ннверснонная ось первого порядка, то кристалл относят к триклинной сингонии '. Если кроме осей первого порядка имеются только осн второго порядка, то точечные группы относятся либо к моноклинногт, либо к ромбическог! сннгонпн. Пря этом моноклнпная сннгоння объединяет классы с одной поворотной осью второго порядка, с одной ннверснонной осью второго порядка нлн с одной поворотной н одной ннверснонной осью прн совпадении нх по направленню "*, Ромбическая (нлн ортогональная э"э) сннгоння объединяет те классы, в которых присутствует несколь- * Фактически сюда относятся только две точечные группы: полностью асимметричная 1 и центросимметричная ! и соответственно только две пространственные группы: в одной отсутствуют какие-либо элементы симметрии, кроме трансляционных осей, в другой — присутствуют только центры инверсии и трансляционные оси.
" Поскольку инверсионная ась 2 адекватна перпендикулярнои ей плоскости зеркального отражения, последний случай означает комбинацию нз поворотной осн 2 и перпендикулярной ей плоскости пи равнодействующий элемент симметрии — центр инверсии ! в то гяе их пересечения. *** В западной литературе принят термин орторомбнческая сингоиня. Таблица 1. Распределение пространственных групп по классам симметрии, сингоиням н категориям Ф е и гл 2 2/т 2/т Низ- шая 74 тт2 222 ттт ттт . 59 4 4/т 4тт 422 42т 4/ттт Тетраго- нальная 41 ттт 120 б/ттте Сред- ина 6 6 б/т бтт 622 бт2 6/ттт б/ттт 27 23 тЗ 432 43т тЗт тЗт Кубиче- ская Выс- шая * Згл, если тригональную подсингонию выделить как самостоятельную сиигонию. 3 3 Зт 32 Зт в а я а" к ечб а х ах Ь а вд е к И о и а „ о 6 2 б 12 1О 12 20 5 7 8 б 10 Гексагональная (тригональная подсингоння) Гексагональная (гексагональная подсингоння) „"Е и за Ф о а 0 а 3 аа а ча кб а' ".
ко осей симметрии второго порядка, разных по ориентации (взаимно перпендикулярных — в соответствии с правилами взаимодействия элементов симметрии). В том случае, когда в состав точечной группы входит одна ось симметрии четвертого порядка (безразлично, поворотная или инверсионная), группу относят к тетрагональной сингонии. Если в состав группы входит одна ось третьего или шестого порядка, то группа относится к гексагональной сингонии. В последней выделяют две подсингонии: тригональную (главная ось симметрии— ось третьего порядка) и собственно гексагональную (главная ось симметрии шестого порядка). Наконец, если в составе точечной группы имеется несколько осей высшего порядка (выше второго порядка), то такие группы относят к кубической сингонии.
Распределение точечных групп по сингониям приведено в табл. 1. Все группы, относящиеся к одной и той же сингонии, являются подгруппами одной из них, В триклинной сингонии это группа 1, моноклинной 2/т, ромбической лгтт, тетрагональной 4/гптт, гексагональной б/ттгп, кубической тЗгл. Такая группа высшей симметрии в данной сингонии называется голоэдрической. В свою очередь сингонии объединяют в категории: низшую, среднюю и высшую. Здесь основным признаком является число осей высшего порядка. К н из ш ей категории относят триклинную, моноклинную и ромбическую сингонию (осей высшего порядка нет). К с р едней — тетрагональную и гексагональную сингонию (оси высшего порядка ориентированы лишь в одном направлении пространства), к в ы с ш е й — кубическую сингонию.
$ 10. Координатные системы и метрика решеток Как отмечалось выше, для задания решетки кристалла в общем случае необходимо указать три векторных параметра а, Ь, с или шесть скалярных: размеры трансляций а, Ь, с вдоль выбранных осей и углы между их направлениями а, р, Т. Любая ось симметрии (кроме оси первого порядка) вызывает, как известно, существование узловых рядов, параллельных и перпендикулярных этой оси. Обычно именно такие узловые ряды выбирают в качестве координатных осей кристаллической решетки (см. ниже), а это означает, что по крайней ме- ре два из трех угловых параметров а, (), у элементар.
ной ячейки должны быть равны 90'. Кроме того, оси высших порядков уравнивают по величине те из трех осевых параметров а, Ь, с, которые лежат в плоскости, перпендикулярной главной оси, или располагаются равнонаклонно к ней. Таким образом нетрансляционные элементы симметрии, фиксируя углы между осями и уравнивая размеры трансляций, уменьшают число независимых параметров решетки. Можно показать, что эти взаимосвязи между параметрами решетки имеют одинаковый характер для всех пространственных групп (и, соответственно, классов симметрии) одной и той же сингонии. Лишь в гексагональной сингонии замена оси симметрии шестого порядка на ось третьего порядка создает дополнительную возможность для кристаллов тригональной подсингонии (см.
9 П). Поэтому возникает всего семь разных по метрике решеток: по одной для каждой сингонии и дополнительно вторая для тригональных кристаллов. Для описания метрики этих решеток требуется условиться об общих правилах выбора координатных осей в кристаллах. Имеется довольно много разных формулировок этих правил, но, к сожалению, ни одна из них не охватывает все случаи в виде единого положения, а включает несколько соподчиненных правил и требует отдельных дополнительных оговорок для определенных случаев симметрии.
Поэтому предпочтительно не обсуждать этот вопрос, а оговорить способ проведения кристаллографических координатных осей для решеток каждой сингонии по отдельности. Соответствующие требования сформулированы в табл. 2 в колонке кВыбор осей». Так, например, в пространственных группах, относящихся к ромбической сингонии, всегда содержащих взаимно перпендикулярные поворотные, винтовые или инверсионные оси второго порядка, координатные оси направляются паралтельно этим элементам симметрии. Следовательно, в группах ромбической сингонни кристаллографнческая координатная система всегда ортогональна. То же относится„естественно, и к группам с более высокой симметрии — средней и высшей категории.
Наоборот, в группах моноклинной сингонии ось симметрии 2, 2~ или 2 (т. е, т) фиксирует направление только одной из кристаллографических осей. Две другие располагаются в узловой сетке решетки, перпендикулярной оси сим- й~ сэ О, л й ! й о с 2 о й а О й О о и м Ю» Я с а 1~ "!! 'И !! 6 8 со о. х й й О й о о 3 йс й У йй Б со З а 3 х з й й й сс О с с" и й о х й о о Н сс й й й о 3 'с Й о Ю з сс сс'с с'с е4 М сс ь. „со сс о .- с о ~ссс Ь х ой Ю й о х й с .о й о х о о й й о о о й й з » х с х о о ~ х о сс сс х о' х \ о х о Й й.
о с й с .с о о :с о с "с й й Ц о сс й о о о а ао ой»о й сй й Д о Сс и"х„ ой ссйоа *ай о ЕМ ~сс 3 д сс 'о с4 й й м .я й о' о ! ~сч Ь~ сйо с ос с сл й со Е -~ о »ос .сс ь< ,'! со с'с .да' со -Ч )оо оса ссх соЫ зь иЧ Ю ой. о цЧ ос~, » ~ 'Х сссс й й и л о о 1 б х 'х о о х с\ х » х с ,с й й о я, о х й с о, 4 '3 2 „"й 3 о,х й й х ,о о о. о хха о йой о.хд о с сс. хо й й ой о д сс й с х с, х дх й* с о ой" 'о о ой з ».о х Ф З1 метрии (параллельной плоскости симметрии). Выбор уз.
ловых рядов этой сетки, принимаемых за координатные оси, вообще говоря, неоднозначен. Требуется лишь, чтобы наименьшие трансляции вдоль этих рядов образовали пустой параллелограмм (параллелограмм, в площади которого нет дополнительных узлов). Для групп триклинной сингонии, где вообще нет осей симметрии (не считая 1 или 1), выставляется лишь одно требование: примитивности (пустотности) параллелепипеда, построенного на кратчайших трансляциях вдоль узловых рядов, выбранных за координатные оси ', Взаимосвязь между параметрами решетки а, Ь, с, а, й, у, возникающая в кристаллах, относящихся к кристаллам разных сиигоний, представлена в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
