Г.Б. Бокий - Кристаллохимия (1157627), страница 31
Текст из файла (страница 31)
$4. Предварительные замечании е еиииетрии швревыи уивновон. Куеичеенвя илетивяшвя шаровая уивновна В слое плотно упакованных шаров (рис. 197) через центр каждого шара перпендикулярно к слою проходит ось шестого порядка и шесть 152 Рис. 197. Элементы симметрии влотвейше- го слоя шаров плоскостей симметрии. Через каждую пустоту проходят оси третьего порядка и по три плоскости симметрии. Если перейти ко второму, третьему и т.
д. слоям и помещать над пустотами шары новых слоев, то легко видеть, что ось шестого порядка, присутствующая в изолированном (первом) слое, превратится в ось третьего порядка в любой трехмерной плотнейшей упаковке. При атом исчезнут три плоскости симметрии из шести. Оси третьего порядка и плоскости симметрии, проходившие через пустоты в первом слое, никаких изменений не претерпят. Таким образом, в любой многослойной упаковке мы будем иметь три системы осей третьего порядка (проходящие через центры шаров н центры пустот обоих типов) с проходящими через ннх плоскостями симметрии. Каждая из плоскостей симметрии является общей для всех трех осей. Эти оси симметрпи в частных случаях могут быть шестсрными зеркально-поворотными, пнверсионными или шестерными впнтовыми осями, но при всех обстоятельствах они будут включать в себя поворотную ось третьего порндка и три плоскости симметрии, проходящпе через нее.
До сих пор рассматривались злементы симметрии, перпендикулярные к плоскости исходного слоя шаров. В действительности же, кроме этих элементов симметрии, разные плотнейшие упаковки будут иметь и другие элементы симметрии. Выше, говоря о типах пустот в плотнейших упаковках, мы указывали, что шары плотнейших упаковок могут быть двух типов — г и к. При этом симметрия их раэлична. В частности, шар типа г будет иметь только одну ось третьего порядка, а шар типа к — четыре оси третьего порядка.
Единственная поворотная ось высшего порядка в шаре тина г будет обязательно совпадать с главной осью упаковки, а вся упаковка будет иметь одну главную ось третьего порядка (точнее, три системы параллельных осей третьего порядка), воли в формуле, составленной буквами г и к, есть хотя бы одна буква г. Иэ сказанного следует, что только одна упаковка ...кккк... будет принадлежать к кубической сингонии. Федоровская пространственная группа ее — РтЗт. Остальные плотнейшие упаковки будут принадлежать к гексагональной сннгоннп.
Термин «твксагональная сингония» используется в широком смысле слова, т. е. под ним подраэумеваюгся обе подсингонии — собственно гексагональная и тригональная. Вывод всех случаев симметрии плотнейших шаровых упаковок впервые был сделан Н. В. Беловым. й $. «редореоепие груввы еиииетрвя геяевгоявпьяых ывроеых уиввевев Помня о том, что любая плотнейшая шаровая упаковка обяэательно имеет в качестве главной оси ось третьего порядка, через которую яроходят три плоскости симметрии, нетрудно выбрать иа 12 видов симметрии гексагональной сингонии пять, удовлетворяющих этому свойству. Такими видами симметрии будут следующие: Ь«67«7РС вЂ” 6/ттт, 7»БР= Бтт, 7.» 37» 4Р = 62т, ь»37»ЗРС=Зт, ЬаЗР=Зт.
Дальнейший вывод может быть сведен к выбору пространственных групп у этих пяти видов симметрии, что легко сделать, пользуясь табл. 7 (стр. 83 — 87). Очевидно, что симметрия групп должна удовлетворять тому же требованию. Ниже собраны все пространственные группы указанных видов симметрии. Подчеркнуты те группы, которые имеют эеркальные плоскости симметрии, проходящие через оси третьего порядка всех трех систем (см. рис.
118, 121, 123, 126, 128). Это и будут 7 пространственных групп плотнейших упаковок гексагональной сингонии: 1) Зт: РЗт1, РЗс1, Р31т, Р31«, ЯЗт, Лзс 2) Зт: РЗт1, РЗс1, РЗ1т, РЗ1 с, ВЪ~, )73с 3) 62т: РБт2, РБ»2, Р62т, Р62с 4) Бтт: РБтт, РБсс, РБ»тс, РБ»ст 5) 6(ттт:РБ/ттт, РБ(тсс, РБ»)тст, РБ»(т т с Остальные группы отпадают, так как некоторые иэ них имеют не эеркальныв плоскости симметрии, а плоскости скользящего отражения; затем, зеркальные плоскости проходят нв череа все оси третьего порядка, и, наконец, вследствие наличия поворотных осей шестого порядка, которых не может быть в плотнейших упаковках.
До 8-елейных упаковок включительно встречаются только 4 группы: Р зд — — РЬт1, Ц„=Рбз!тто, Р ззп =РВт2 и Я=РтЗт. ГРУппы Рзд=ВВт и С,',=РЗт1 встРечаютсЯ впервые в 9-елейных упаковках. Группа С',„= Рбзтс встречается впервые только в 12-слойных упаковках. Группа Сз»=ВЗт встречается первый раэ только среди 21-слойных упаковок. $ Ь. Элвиеаты еавветраи илетиейвгих вгвревых уиваевев Выше мы указали 8 федоровских (пространственных) групп симметрии, возможных в плотнейших упаковках. Поскольку к кубической сингонии принадлежит только одна упаковка — трехслойная ...АВСАВС...
или ...яккк..., имеющая пространственную группу РтЗт, то не представляет труда разобраться в том, где и какие элементы симметрии будут проходить в пространстве, заполненном шарами по этому закону. Переходя же к гексагональным упаковкам, мы встречаемся с тем обстоятельством, что в каждую группу попадает бесконечное множество упаковок с различными периодами идентичности. Вопрос, следовательно, сводится к тому, чтобы найти, в каких слоях нли между какими слоями располагаются дополнительные (к основному комплексу РЗ) элементы симметрии: плоскости, перпендикулярные к главной оси, и центры симметрии.
Производные двойные оси, конечно, легко могут быть найдены в результате сложения плоскостей симметрии. Обозначение плотнейшнх упаковок при помощи букв з и к позволяет без чертежа и модели находить этн дополнительные элементы симметрии. Так, через центры шаров каждого слоя, обозначенного буквой г и разбивающего всю упаковку на две симметричные части, проходит ллоскость симметрии, перпендикулярная к главной оси. Если буква и разбивает всю формулу упаковки на дзе симметричные части, то в центрах шаров этого слоя будут располагаться центры симметрии.
Центры симметрии будут находиться также н между слоями в тех случаях, когда пара одинаковых букв кк илн гг делит формулу упаковки на две зеркально равные части. В качестве примера приведем одну из 9-елейных и одну из 12-слойных упаковок: В ~АВАВСАВАВ ~А г ~гггкккггг ~г Х Х Х ВАВСАВСАСВАСВА ! ! кгкккккгкккккг Х ~~ Х Вертикальной чертой обоаначена граница периода, двойной чертой— плоскость симметрии, крестиком— центр симметрии.
$ г. Правильные еиетеаы тетив в и.«етаейвгах гавревых уиввевввх В упаковках двух- и трехслойных все шары располагаются по точкам одной федоровской правильной системы, т. е. они кристаллохимически тождественны. Однако для упаковок высоких порядков слойности эта особенность может не соблюдаться. Этот факт легко показать на примере пятислойной упаковки, имеющей федоровскую группу РЯ«в1. В примитивном параллелепипеде решетки этой упаковки содержатся 5 атомов, а кратность 5 невозможна ни в одной федоровской группе. В группе Р3т1 имеются кратности: 1, 2, 3, 6 и 12. Следовательно, шары плотнейшей пя.
тислойной упаковки кристаллохимически не могут быть тождественными, они рааличаются физически, в частности своей симметрией. Такие упаковки следует считать упаковками из двух (или более) типов шаров одного раамера. Условно станем считать такие шары окрашенными в разные цвета, а всю упаковку— упаковкой разноцветных шаров. Разноцветные шары не могут быть совмещены друг с другом никакими симметрическими преобразованиями, мыслимыми в данной пространственной группе.
Так как шары в и-слойных упаковках обязательно нескольких типов «цветов», то их, очевидно, можно распределить по местам упаковки разными способами и, в частности, так, что симметрия ее станет иной, например повысится до кубической. Высота слоя в шаровой упаковке равна Т6 А/3, где д — диаметр шара. Отношения длины трансляции вдоль пространственной диагонали куба к длине трансляции вдоль диагонали грани (т. е. в слое плотнейшей упаковки) для трех типов кубических решеток Р, / и г" равны соответственно: У6/2, )~6/4 и 1'6. Если в слое имеется трансляция между двумя ближайшими шарами, т. е.
ее длина равна д, то может осуществиться только одно иа трех выписанных выше отношений, именно, в трехслойной упаковке — 376/3. Отсюда можно сделать однозначный вывод, что из тождественных («одноцветных») шаров можно сложить одну плотнейшую упаковку — трехслойную (т. е. кубическую) с пространственной группой г"иг3ги. Однако если взять шары двух цветов и распределить их таким образом, чтобы они, чередуясь друг с другом, обеспечивали трансляцию в слое, равную 2д, то при трехслойной упаковке мы получим соотногпение )~6/2, удовлетворяющее примитивной решетке, и придем, следовательно, к новой пространственной группе для этой упаковки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
