Лекции (15) (1157128)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 13. СЕДИМЕНТАЦИЯ И ДИФФУЗИЯ В ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМАХЗаконы диффузииРассмотрим движение броуновской частицы. Примем, что за некоторый интервал времени частица смещается на расстояние l в случайно выбранном направлении. Обозначим через liединичный вектор, в направлении которого смещается частица на i-м шаге. Тогда, еслиположение частицы в начальный момент времени было r0 , то через N шагов частица будетN  r  r0 liнаходиться в точке(1)i 1Квадрат смещения частицы за N шагов равенN N 2222rN  (r  r0 )  ( li ) l (li  lk ) .(2)i 1i 1i ,k 1;i  kN22l  Nl . Далее, поскольку векторы liДля первого слагаемого получаемi 1ориентированы в пространстве случайным образом, то второе слагаемое в (2) в среднем равно нулю:  (li  l j )  li l j  cos ij  0.Отсюда мы получаем для среднего квадрата смещения формулуrN2  Nl 2 .2(3)lВводя коэффициент диффузии D =, приходим к выражению6r = 6Dt,2(4)где мы ввели время t = N и опустили индекс N у вектора смещения r .

Дляодномерного движения по координате x эта формула принимает вид(4а)x 2  2 Dt .Соотношения (4) и (4а) представляют формулу Эйнштейна для среднего квадрата смещенияброуновской частицы.Если мы имеем дело с ансамблем частиц с концентрациейn,то их поведениеописывается двумя уравнениями Фика. Первое уравнение Фика говорит, что плотностьпотока частиц пропорциональна коэффициенту диффузии и градиенту концентрацииn n nj   D grad n   D( i  j  k ),x yz(5)Если концентрация изменяется только по одному направлению, тоdnj  D .dx(5а)Второй закон Фика описывает изменение во времени концентрации диффундирующихчастиц222n n  n  n  div( j)  div( D grad n)  Dn  D( 2  2  2 ),tx y zn n D 2 .tx(6)2Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью BПусть частица находится в некотором потенциале внешних сил U (x)На частицу действует силаdU ( x)F .dxПод действием силы частицы двигаются со скоростьюu  BF .(7)(8)Соответствующая плотность потока частицdU ( x).j f  un  nBF  nBdx(9)Поле концентрации частиц, находящихся во внешнем потенциале, дается распределениемБольцманаn( x)  n0 exp( U ( x) / k BT ) .(10)Это – неоднородное распределение, с ним связан поток частицdndjd   D  D [n0 exp( U ( x) / k BT )] dxdxd U ( x) Dn0dDn0 exp( U ( x) / k BT )exp( U ( x) / k BT ) U ( x).dx k BTk BTdx(11)Примем, что достигнуто равновесное состояние.

Тогдаj f   jd ,или(12)dU ( x)DdU ( x)DdU ( x) .nBn0 exp( U ( x) / k BT )ndxk BTdxk BTdxОтсюда получаем соотношение ЭйнштейнаДля сферических частиц (закон Стокса)D.Bk BT1B.6r(13)(14)Отсюда (соотношение Стокса-Эйнштейна)k BTD.6r(15)Важно: D от массы частиц не зависит.Седиментационно-диффузионное равновесиеЕсли частицы находятся в поле сил гравитации то на них действует сила4 3F  r ( p  l ) g .3(16)Скорость оседания при этом равна2r ( p  l ) gF.us 6r92(17)В случае мелких частиц седиментация может быть скомпенсирована броуновскойдиффузией. Тогда распределение частиц в поле сил гравитации следует распределениюБольцмана (барометрическая формула)4 3n( x)  n0 exp[  r ( p  l ) gx / k BT ].3(18)Из этой формулы можно найти высоту, на которой концентрация частиц изменяется вeраз.4 3r ( p  l ) gH e / k BT  1,33k BTHe .34r g ( p  l )(19)Формула (18) была проверена Перреном, который нашел постоянную Больцманазатем и число Авогадро NA по газовой постояннойkB,аkB N A  R .Для частиц золота (плотность 7.1 г/см3) размером 1 нм в водеHe 3 м.

Для частицкремния (2.3. г/см3) размером 0.5 мкм He  0,1 мм.Методы дисперсионного анализаВажную характеристику представляет распределение частиц по размерам. Плотностьf(r) характеризует долю частиц N, размер которых лежит вr+r. Функция распределения определяет все характеристикифункции распределенияинтервале от r додисперсий. Например, средний размер частиц дается выражениемr   rf (r )dr ,0Условие нормировки плотности распределения f (r )dr  1.0.(20)Помимо плотности распределения вводят и функцию распределениясоотношение:rQ(r )   f (r )dr .0Q(r)– доля частиц с размером меньшеr.

Q(r ) r   1.dQ(r )f (r ) .drНаиболее распространенные распределения: нормальное21(r  r )f (r ) exp( ),222логарифмически нормальное1(ln r  ln r ) 2f (r ) exp( ).2r 2 ln 2 ln Q(R)через(21)Экспериментальные методы1. Ситовой метод. Меш – число отверстий на квадратный дюйм в сите.Ситовой метод применим для частиц размером более 30 мкм.2. Электронная (сканирующая и просвечивающая) и оптическая микроскопия.3. Рентгеноструктурный анализ.рад)2rp  (формулаШерера,  ширина рефлекса вСедиментационный анализВажно: Применим для частиц, размер которых достаточно большой и броуновскаядиффузиянесказываетсянаседиментациичастиц.НарастаниеdP P4r  n( p  l )gu p s p dt t3nm p (r )u p gs pвесаосадка3(22)s p - площадь чашечки, m p (r ) - масса частицы размером r,u p-скорость ее седиментации112r 2up Fp mp g ( p  l ) g ,6r6r9(23)Постоянное нарастание скорости имеет место до момента времениHs9H sts  2,u p 2r ( p  l ) g9H sr (t s ) .2t s ( p  l ) g(24)Этому времени отвечает полное оседание частиц размеромr (t s ) .4rgs p H s .Отсюда вес осадка на чашечке Pmax  n( p   l )3P(t ) tВ любой другой момент времени доля осадка составляет величину .Pmax ts3При t(25)(26) ts осадок не накапливается и на кривой появляется излом.Пусть имеются несколько фракций, тогда, очевидно, имеем ломанную линию.Точки излома позволяют определить размер частиц,которые заканчивают седиментацию при t9H s.r (tsi ) 2tsi ( p  l ) g tsi(27)Важно: до времени t s1оседают все фракции и идет линейное нарастание веса, затем, послеt s1, также линейно нарастает вес за счет оседания более мелких фракций.

То есть, еслифракции не осели полностью, то их седиментация обеспечивает линейное нарастание веса.Если изломы появляются, тогда какая-либо фракция полностью осела.Пусть теперь имеется распределение частиц по размерам, характеризуемое плотностьювероятности f (r ) , нормированной на единицу f (r )dr  1. Тогда (см. рис.) можно считать, что вес0в момент времени t s складывается из двух частей.Первая – это вес полностью осевших фракций P(rs ) ,вторая – вес оседающей фракции, который нарасталлинейно со временем, как было показано выше.

Онравен tdP . Вес полностью осевших фракцийdt t t s4rP(rs )  s p nH s  m p (r )gf (r )dr  s p ngH s ( p  l ) f (r )dr (28)rsrs 33Если мы введем интегральную функцию распределения для массы частицrdQmm p (r ) f (r ) , Qm (r )  m p (r ) f (r ), m p (r ) f (r )  Qm () dr00ТоP(rs )  s p ngH s ( M p  Qm (rs )) ,M p  Qm (rs ) - «масса», приходящаяся на осевшую фракцию.Заметим, чтоs p ngH s M p  Pmax .M p , (29)(30)поскольку(31)Это позволяет написать соотношениеdPPmaxP(t )  t P(rs )  Pmax  s p ngH sQm (rs )  Pmax Qm (rs ) . (32)dtMpMpdP{Pmax  [ P(t )  t ]}.

Отсюда ясна схема определенияТо есть Qm ( rs ) Pmaxdtфункции распределения по массам (рисунок). Мы по графику определяем Qm ( rs ) , а затемdQmнаходим плотность распределения массы m p ( r ) f ( r ) (графически), а затем иdrf (r )..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций