Д.А. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский - Квантовая информатика и квантовый компьютер (1156791)
Текст из файла
Êâàíòîâàÿ èíôîðìàòèêà èêâàíòîâûé êîìïüþòåðÓ÷åáíîå ïîñîáèåÄ.À.Êðîíáåðã, Þ.È.Îæèãîâ, À.Þ.×åðíÿâñêèéÌÃÓ èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, ôàêóëüòåò ÂÌÊ1Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòûñòóäåíòîâ, ñëóøàþùèõ êóðñ ¾Êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ¿ èëèëþáîé äðóãîé êóðñ ïî îñíîâàì êâàíòîâîé èíôîðìàòèêè.Ïðîðàáîòêà äàííîãî ïîñîáèÿ îçíà÷àåò îñâîåíèå îñíîâàìèêâàíòîâîéèíôîðìàòèêè,÷òîäàåòâîçìîæíîñòüäàëüíåéøåé ñïåöèàëèçàöèè â ýòîì íàïðàâëåíèè, âêëþ÷àÿïîñòóïëåíèå â àñïèðàíòóðó. Ðàáîòà ñ äàííûì ïîñîáèåìçàêëþ÷àåòñÿ â ñàìîñòîÿòåëüíîì ðåøåíèè ïðåäëàãàåìûõâ êîíöå çàäà÷ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâåäåíèé, èçëîæåííûõâ ðåãóëÿðíîì êóðñå.
 ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè â êà÷åñòâåèñòî÷íèêà òåîðåòè÷åñêèõ ñâåäåíèé ìîæíî âìåñòî êóðñàìîæíî òàêæå èñïîëüçîâàòü ïîñîáèå [65]. Âñå òåîðåòè÷åñêèåñâåäåíèÿ, ôîðìàëüíî íåîáõîäèìûå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷,êðàòêîçàäà÷èçëàãàþòñÿìîæíî,ââäàííîìñëó÷àåïîñîáèè.íåîáõîäèìîñòè,Ïðèðåøåíèèïîëüçîâàòüñÿóêàçàííîé ëèòåðàòóðîé êàê âñïîìîãàòåëüíûì ñðåäñòâîì,íî òîëüêî åñëè çàäà÷à óïîðíî íå ïîääàåòñÿ ðåøåíèþ, èëèäëÿ ñàìîêîíòðîëÿ - ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ. Ñàìàÿâàæíàÿ ÷àñòü ðàáîòû ñîñòîèò èìåííî â ïîïûòêàõ íàéòèñàìîñòîÿòåëüíîåðåøåíèåâñåõïðåäëàãàåìûõçàäà÷.Ðåøàòü èõ íàäî ïîñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçóÿ ïîìåùåííûåïîäñêàçêè.Ïîñëåðåøåíèÿâñåãîñïèñêàçàäà÷ìîæíîñäàâàòü ýêçàìåí ïî äèñöèïëèíå êâàíòîâàÿ èíôîðìàòèêàíà êàôåäðå è íà÷èíàòü íàó÷íûå èññëåäîâàíèÿ â äàííîéîáëàñòè.2Îãëàâëåíèå1Êâàíòîâûå ïðîöåññû1.1Îñíîâíûå4ïîëîæåíèÿîäíî÷àñòè÷íîéêâàíòîâîé ìåõàíèêè .
. . . . . . . . . . . . .1.21.1.1Êóáèòîâûé ôîðìàëèçì1.1.2Òåíçîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ. . . . . . . .19Óíèòàðíàÿ äèíàìèêà è èçìåðåíèÿ . . . . . .22Àáñòðàêòíàÿìîäåëüêâàíòîâîãîêîìïüþòåðà . . . . . . . . . . . . . . .226Ðîëü çàïóòàííîñòè . . . . . . . . . . . . . . .291.3.133Ìîäåëèðîâàíèå êâàíòîâûõ ñèñòåì . .Çàäà÷è2.112.
. . . . . .1.2.11.35Ôèçè÷åñêèåêîìïüþòåðîâ38ðåàëèçàöèèêâàíòîâûõ. . . . . . . . . . . . . . . . . .Ëèòåðàòóðà56593Ãëàâà 1Êâàíòîâûå ïðîöåññûÂäàííîìôèçèêèðàçäåëåñêóáèòîâîéçíàêîìûéñïåðåïèñàòüëþáóþâîïèñûâàåòñÿîñíîâàìèëèòåðàòóðåîáîçíà÷åíèÿòî÷êèïîèçååçðåíèÿ,òàêêâàíòîâîé÷àñòüôèçèêåòåîðèèôîðìàëèçìíàôóíêöèþ çàïèñûâàþò êàêñòóäåíò,ñìîæåòÿçûêå.Îáû÷íîèñïîëüçóåòñÿΨ(x),÷òîòåîðèè,ýòîìôóíêöèé,êâàíòîâîéòðàäèöèîííûåíàïðèìåð,âîëíîâóþ÷òî âûçûâàåò êîëëèçèþñî çíà÷åíèåì âîëíîâîé ôóíêöèè â êîíêðåòíîé òî÷êåx,èïîòîìó äëÿ íåãî èñïîëüçóåòñÿ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèåRΨ(y)δx (y) dy .Ýòè òðàäèöèîííûå îáîçíà÷åíèÿ óäîáíûäëÿ ðó÷íûõ âû÷èñëåíèé, ïðè êîòîðûõ ðàçðåøåíèå òàêèõêîëëèçèéíåñîçäàåòïðîáëåìûäëÿ÷åëîâåêà.Îäíàêîäëÿ êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåîáõîäèìà áîëüøàÿñòåïåíü ôîðìàëèçàöèè îñíîâíûõ ïîíÿòèé.
Áîëåå òîãî,ôîðìàëèçì äîëæåí áûòü ïðèñïîñîáëåí ê òîìó, ÷òî ìûáóäåì ðàáîòàòü òîëüêî ñ êîíå÷íûìè ÷èñëàìè äàæå åñëèâèñïîëüçóåìûõíàìèôîðìóëàõìîæíîïîäñòàâëÿòüáåñêîíå÷íûå âåëè÷èíû. Îñîáåííî ýòî êàñàåòñÿ êâàíòîâîéýëåêòðîäèíàìèêè,äëÿêîòîðîéçäåñüïðåäëàãàåòñÿôîðìàëüíàÿ ñèñòåìà îáîçíà÷åíèé êóáèòîâîãî òèïà.41.1Îñíîâíûåïîëîæåíèÿîäíî÷àñòè÷íîéêâàíòîâîéìåõàíèêèÃëàâíûé ïîñòóëàò êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñîñòîèò â òîì, ÷òîâñÿ äèíàìèêà ëþáîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ åå âîëíîâîéôóíêöèåé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé ôóíêöèåé îòêîîðäèíàò âñå ÷àñòèö, ñîñòàâëÿþùèõ ýòó ñèñòåìó:Ψ(t, r1 , r2 , .
. . , rn ).Çäåñürjjåñòü êîîðäèíàòû ÷àñòèöû(èìåþòñÿ â âèäó íåòîëüêî ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû ÷àñòèö, íî è èõñïèíîâûå êîîðäèíàòû). Ýòà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíàðàññìàòðèâàòüñÿ êàê âåêòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâånñîñòîÿíèéôóíêöèè÷àñòè÷íîéíàçûâàþòñÿñèñòåìû.àìïëèòóäàìè,Çíà÷åíèÿýòîéñîîòâåòñòâóþùèìèt â òàêîìj = 1, 2, . . . , nïðåáûâàíèþ ÷àñòèöû â äàííûé ìîìåíò âðåìåíèñîñòîÿíèè,÷àñòèöàïðèjêîòîðîìèìååòäëÿêàæäîãîêîîðäèíàòûrj .Òàêàÿòðàêòîâêàñîñòîÿíèÿ â âèäå âåêòîðà ñðàçó âåäåò ê íåòðèâèàëüíîìóñëåäñòâèþ: ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñîñòîÿíèé ñíîâàÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì âîçìîæíûì ôèçè÷åñêèì ñîñòîÿíèåìäàííîé ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèéîáëàäàåò ñâîéñòâîì ëèíåéíîñòè, è ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáîåóðàâíåíèå,êîòîðîìóïîä÷èíÿåòñÿâåêòîðΨ,äîëæíîáûòü ëèíåéíûì. Ýòîò ïðèíöèï íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîìñóïåðïîçèöèè, è èç íåãî âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå îñîáîãîïðîöåññà,êîòîðûéíàçûâàåìîãîíåèìååòèíòåðôåðåíöèåéïðÿìîãîàíàëîãàâàìïëèòóä,êëàññè÷åñêîéôèçèêå (íå ñ÷èòàÿ âîëíîâóþ ôèçèêó, ãäå èíòåðôåðåíöèÿïðîÿâëÿåòñÿêàêêîëëåêòèâíûéýôôåêò,ê÷åìóìûâåðíåìñÿ).Èíòåðôåðåíöèþàìïëèòóä5ïðîùåâñåãîïðîäåìîíñòðèðîâàòü,ïðèìåíÿÿìàòðèöû.Ïðåäñòàâèìñåáå, ÷òî ìû âûáðàëè áàçèñ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâåñîñòîÿíèé, è ïðåäñòàâëÿåì âñÿêèé âåêòîðΨ â âèäå íåêîåãîñòîëáöà êîîðäèíàò ýòîãî âåêòîðà â äàííîì áàçèñå.
Òîãäàèçïðèíöèïàñóïåðïîçèöèèâûòåêàåò,÷òîñîñòîÿíèåât + δt ìîæíî íàéòè, ïðèìåíèâê ñîñòîÿíèþ â ìîìåíò âðåìåíè t íåêèé ëèíåéíûé îïåðàòîðU , íàçûâàåìûé îïåðàòîðîì óíèòàðíîé ýâîëþöèè (äàëüøåñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíèìû óâèäèì, ÷òî îí äîëæåí áûòü íå òîëüêî ëèíåéíûì,íî è óíèòàðíûì). Ýòîò ôàêò ìîæíî âûðàçèòü íà ÿçûêåìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ òàê:u1,1u2,1...un,1u1,2u2,2...un,2............u1,nu2,n...un,n!ψ1 (t)ψ2 (t)...ψn (t)!ψ1 (t + δt)ψ2 (t + δt)...ψn (t + δt)=!(1.1)Òî åñòü ëþáàÿ àìëèòóäàψj (t + δt)ôîðìóëåψj (t + δt) =nXìîæåò áûòü íàéäåíà ïîψi (t)uj,i .(1.2)i=1Ôîðìóëà (1.2) îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ àìïëèòóäûâ íåêîòîðîé òî÷êå â ñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè íàäîïðîñóììèðîâàòüïðåäûäóùèéâñåàìïëèòóäûìîìåíò,âîïðåäâàðèòåëüíîâñåõòî÷êàõóìíîæèâèõâíàñîîòâåòñòâóþùèå àìïëèòóäû ïåðåõîäà èç ýòèõ òî÷åê âèñõîäíóþ.
Çíà÷èò, äâèæåíèå êâàíòîâîé ÷àñòèöû ìîæíîïðåäñòàâëÿòüñåáåàìïëèòóäàëþáîéêîòîðûåââíîñÿòâêàêäâèæåíèåòî÷êåýòóíåêîåéñêëàäûâàåòñÿòî÷êóäâèæåíèÿñðåäû,ãäåèçâêëàäîâ,ýòîé÷àñòèöûèç âñåõ äðóãèõ òî÷åê. Ïðè ýòîì êàæäûé âêëàä áåðåòñÿñêîìïëåêñíûìâåñîì,ñîîòâåòñòâóþùèìîïèñàííîìóïåðåõîäó èç òî÷êè â òî÷êó. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå êâàíòîâîé÷àñòèöû â âèäå ñðåäû ïîðîæäàåò àíàëîãèþ êâàíòîâîéôèçèêè ñ ãèäðîäèíàìèêîé.6À òåïåðü ðàññìîòðèì äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïåðåõîäà,êîòîðûå îñóùåñòâëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ òîãî æå îïåðàòîðàýâîëþöèèU:t äî ìîìåíòà t + 2δt. Òîãäà ó2Ψ(t + 2δt) =PU Ψ(t).
Âûïèñàâ ïîäðîáíåå,ψj (t + 2δt) = i,k ψi (t)ui,k uk,j . Ýòî îçíà÷àåò,îò ìîìåíòàíàñ ïîëó÷èòñÿ:ìû ïîëó÷èì÷òî êâàíòîâàÿ ÷àñòèöà ìîæåò äâèãàòüñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ,âäîëü ïðîèçâîëüíîé òðàåêòîðèè, à íå òîëüêî ïî ïðÿìîé, èåå àìïëèòóäà â ëþáîé òî÷êå åñòü ðåçóëüòàò ñóììèðîâàíèÿàìïëèòóäâïîäàííóþ.âñåìÏðèïóòÿì,ýòîìâåäóùèìâêëàäâèçñóììóêàæäîéòî÷êèêàæäîãîïóòèU,ïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ýâîëþöèèñîîòâåòñòâóþùèõ âñåì ïîñëåäîâàòåëüíûì ÷àñòÿì ýòîãîïóòè (ìû ïðåäñòàâëÿåì ïóòü â âèäå ëîìàíîé è ÷àñòè- ýòî åå çâåíüÿ).
Òàêèì îáðàçîì, àìïëèòóäà ñ÷èòàåòñÿêàêýòîñóììà-ïîâñåìïðîèçâåäåíèåïóòÿì,ààìïëèòóäâäîëüêàæäîãîïåðåõîäîâïîïóòèâñåìåãîïîñëåäîâàòåëüíûì ÷àñòÿì.Ýòîïðàâèëîñïðàâåäëèâîâåçäå,âòîì÷èñëåèâêâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå ãäå ïðîöåññû îïèñûâàþòñÿäèàãðàììàìè.äëÿïîëíîéÎíîâòî÷íîñòèâåðîÿòíîñòèâåðîÿòíîñòåé,ñòîéñîîòâåòñòâóåòñëîæíîãîëèøüôîðìóëåñîáûòèÿðàçíèöåé,÷òîâòåîðèèâòåîðèèâåðîÿòíîñòè âåëè÷èíû âåùåñòâåííûå è íåîòðèöàòåëüíûå,à ó íàñ çäåñü - êîìïëåêñíûå.
Òàêàÿ àíàëîãèÿ íàâîäèòíà ìûñëü î âîçìîæíîñòè ñòàòèñòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèèêâàíòîâîé òåîðèè, à òàêæå íà âîçìîæíîñòü îòêàçà îòêîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïðè åå îïèñàíèè, - ìû òàêæå âåðíåìñÿê ýòèì èäåÿì ïîçæå.Êëàññè÷åñêèìñîîòâåòñòâóþòâåëè÷èíàìîïåðàòîðû.âêâàíòîâîéÂåëè÷èíåòåîðèèêîîðäèíàòûxñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà ýòó êîîðäèíàòó:x : f (x) −→ xf (x), âåêòîðó r̄ = (x, y, z) - îïåðàòîðr̄ : f (x, y, z) −→ (xf (x, y, z), yf (x, y, z), zf (x, y, z)),èìïóëüñó px âäîëü êîîðäèíàòíîé îñè x - îïåðàòîð7∂px = hi ∂x, ïîëíîìó èìïóëüñó p̄ - îïåðàòîðp2∂∂∂p̄ = hi ( ∂x, ∂y, ∂z), ýíåðãèè - îïåðàòîð ýíåðãèè 2m+ V (x),ãäå V - ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû. Îïåðàòîð ýíåðãèèèìïóëüñàíàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì.
Ïðè ýòîì ìû ïðèíèìàåìîáû÷íûåïðàâèëàïåðåõîäàêîïåðàòîðêâàäðàòà2äåéñòâóåò êàê |r| : f (x, y, z) −→âåêòîðûìâåëè÷èíàì,ìîäóëÿ22êîîðäèíàòûz 2 )f (x, y, z),2íàïðèìåð(x + y +p2 : f −→ −h ∆fîïåðàòîð êâàäðàòà èìïóëüñà - êàê(òîåñòüêâàäðàòòðàêòóåòñÿr̄ × p̄êâàäðàò), ìîìåíòó èìïóëüñàêîîðäèíàòûêîòîðîãîíàìèïîëó÷àþòñÿêàêñêàëÿðíûé- îïåðàòîð ìîìåíòà,ïîïðàâèëóâçÿòèÿâåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ èç êîîðäèíàò åãî ñîìíîæèòåëåé- îïåðàòîðîâ, è ò.ä.ÏðåîáðàçîâàíèåíàçûâàåòñÿÔóðüåîòèìïóëüñíûìâîëíîâîéôóíêöèèïðåäñòàâëåíèåìâîëíîâîéôóíêöèè:Ze−Φ(p) =ipxhΨ(x)dx,(1.3)Rãäå îáðàòíûé îïåðàòîð âûãëÿäèò òàê:1Φ(x) =2πhZeipxhΦ(p)dp.RÏîëíûé ïåðåõîä ê èìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ è îáðàòíîâ òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå èìååò âèäΦ(p)=e−Rip·RhΨ(R)d3 R,R3Ψ(R) =Ïðèýòîìïåðåìåííûõ,åñëèîòäðóãèõ,ïîReip·Rhôóíêöèÿïåðåõîäèòüêàæäîéíàïðèìåð,èçìîæíî8Φ(p)d3 p,R3âîëíîâàÿìîæíîïðåäñòàâëåíèþ1(2πh)3êçàâèñèòååêîîðäèíàòîò3èìïóëüñíîìóíåçàâèñèìîîðàññìîòðåòüôóíêöèþâèäàΦ(x, py , z),èëèΦ(px , y, pz ),èò.ä.Ïîä÷åðêíåì,÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå ê ååèìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ - îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òîòæå ñàìûé âåêòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé.Èìïóëüñíîåïðåäñòàâëåíèååñòüïðîñòîçàïèñüýòîãîâåêòîðà â äðóãîì áàçèñå, â êîòîðîì áàçèñíûå âåêòîðû - ýòîíå äåëüòà ôóíêöèè, êàê ïðè êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè,à ôóíêöèè âèäàexp(ipR).Ìû ìîãëè áû âûáðàòü êàêîé-ëèáî èíîé áàçèñ, íàïðèìåð, ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûìâåêòîðàì ýðìèòîâà îïåðàòîðà ñóììûêîîðäèíàòà,èçàâåñòèR+pñîîòâåòñòâóþùååèìïóëüñ ïëþñïðåäñòàâëåíèåâîëíîâûõ ôóíêöèé, åñëè ýòî íåîáõîäèìî.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
