Д.А. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский - Квантовая информатика и квантовый компьютер (1156791), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèìåíåíèÿ2QFT è ôàçîâîãî ñäâèãà íà −p /2m ïðè ðåàëèçàöèèïîñëåäîâàòåëüíîñòè (1.16) äàþò òðåáóåìîå ïðèáëèæåíèå.Ïðèìåíåííîå â äàííîì ìåòîäå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüåîñóùåñòâëÿåòñÿ ïî êàæäîé èç êîîðäèíàò îòäåëüíî, è åñëèó íàñ íåñêîëüêî ÷àñòèö - òî ïî êàæäîé èç êîîðäèíàòêàæäîé÷àñòèöûòåõíè÷åñêóþêâàíòîâîìîòäåëüíî.ïðîáëåìóêîìïüþòåðåñîîòâåòñòâóþùåãîÍåêîòîðóþïðåäñòàâëÿåòóíèòàðíîãîïîòåíöèàëüíîéïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðîñòî ðàâíà35ñîâåðøåííîðåàëèçàöèÿíàe−iHx ,îïåðàòîðàýíåðãèè.p,Åñëèòî ðåàëèçàöèÿòàêîãîäèàãîíàëüíîãîîïåðàòîðàìîæåòáûòüñäåëàíà,åñëè ìû ïðîñòî ñîâåðøàåì ïîñëåäîâàòåëüíûå ïîâîðîòûiφôàçû âèäà |0i −→ |0i, |1i −→ e |1i, â çàâèñèìîñòè îòìåñòà î÷åðåäíîãî êóáèòà â ðåãèñòðå, ñîäåðæàùåì çíà÷åíèåêîîðäèíàòû.
 ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî âèäà ïîòåíöèàëüíîéýíåðãèè, ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî åå ìîæíî ðàçëîæèòüâ ðÿä Òåéëîðà ñ êîýôôèöèåíòàìè, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿñïîìîùüäîñòàòî÷íîáûñòðîãîàëãîðèòìà.Íàïðèìåð,åñëè ýòîò ïîòåíöèàë ïîëó÷àåòñÿ êàê ñóììà êóëîíîâñêèõn ðàçíûõ ÷àñòèö, òî òàêîé àëãîðèòì áóäåòñëîæíîñòü ëèíåéíóþ â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà nïîòåíöèàëîâ îòèìåòüïðè óñëîâèè, ÷òî êîîðäèíàòû ÷àñòèö òàêæå âûäàþòñÿíåêîòîðûì ôèêñèðîâàííûì àëãîðèòìîì (êîòîðûé ìîæíî−ihHxìîæíîðàññìàòðèâàòü êàê îðàêóë). Òîãäà îïåðàòîð eïðåäñòàâèòü â âèäå ñõåìû êâàíòîâûõ âåíòèëåé (quantumgate array) ðàçìåðà, ëèíåéíî çàâèñÿùåãî îòtn.Ñëîæíîñòü äàííîãî ìåòîäà â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíèðåàëüíîéôèçè÷åñêîéñèñòåìûáóäåòO(t2 ).
Ýòîíåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî òî÷íîñòü ôîðìóëûÒðîòòåðà èìååò âòîðîé ïîðÿäîê, ïîñêîëüêó îíà âûòåêàåòèçòåéëîðîâñêîãîðàçëîæåíèÿýêñïîíåíòûäî÷ëåíà. Ìîæíî ïîíèçèòü ñëîæíîñòü äî çíåà÷åíèÿäëÿëþáîãî > 0,èñïîëüçîâàòüïîðÿäêîâìîæíîåñëèòåéëîðîâñêîå(ñì.[65]).ìîäåëèðîâàòüâìåñòîôîðìóëûðàçëîæåíèåÈòàê,íàóíèòàðíûåO(t)Òðîòòåðàáîëååêâàíòîâîìïåðâîãî1+âûñîêèõêîìïüþòåðåýâîëþöèè-ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ïî÷òè â ðåàëüíîì âðåìåíè, è ñïàìÿòüþ,ïðîïîðöèîíàëüíîéñèñòåìû. òî âðåìÿ êàê íà îáû÷íîì êîìïüþòåðå ýòî3ðàçìåðóðàññìàòðèâàåìîéïîòðåáîâàëî áû ýêñïîíåíöèàëüíûõ ðåñóðñîâ. Îäíàêî âêâàíòîâîìñîñòîÿíèå,êîìïüþòåðåìûÿâëÿþùååñÿïîëó÷àåì3 Ïðåäñêàçûâàòü ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â ìîìåíò0t <tëèøüêóáèòîâûìêâàíòîâîåïðèáëèæåíèåìtçà ìåíüøåå âðåìÿìîæíî òîëüêî â ñïåöèàëüíûõ ñëó÷àÿõ, ñì., íàïðèìåð, [32].36ðåàëüíîãî,âòîâðåìÿêàêêëàññè÷åñêîåâû÷èñëåíèåäàåò íàì çíà÷åíèå àìïëèòóä êàê òàêîâûõ.Çàìåòèìòàêæå,ïðîèçâîäèòüäèíàìèêè÷àñòèöâñèñòåìûÄëÿýòîãîïîëÿíàäîàíàëîãè÷íîóíèòàðíîéäâèæóùèõñÿíåðåëÿðèâèñòñêîìýëåêòðîìàãíèòíîãîA.ñîâåðøåííîìîäåëèðîâàíèåñâåêòîðíûìèìïóëüñàâûøåèçëîæåííûåóâèäèì,÷òîýòîíèêàêíåïîòåíöèàëîìcñâåòà.eó÷åòîìåå çàðÿä,p − ec A,ãäåñîïåðàòîðëþáîé ÷àñòèöû íàÏðîñëåäèâçàðÿæåííûõïðèáëèæåíèè,çàìåíèòüìîæíîêâàíòîâîéðàññóæäåíèÿ,îòðàçèòñÿíàp- ñêîðîñòüìûêîíå÷íîìðåçóëüòàòå.
Îòìåòèì, ÷òî ýòî íå ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèåìêâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, à ëèøü íåðåëÿòèâèñòñêèìïðèáëèæåíèåì,äëÿêîòîðîãîìîæíîó÷åñòüýôôåêòûïîëÿ, ââîäÿ óêàçàííóþ ïîïðàâêó â ãèìèëüòîíèàí. Òî åñòüçäåñü ìû ñ÷èòàåì ïîëå êëàññè÷åñêèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþîçíà÷àåò, ÷òî åãî ìîæíî âêëþ÷èòü â ãàìèëüòîíèàí â âèäåïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè èëè äîáàâêè ê íåé, èëè â âèäåóêàçàííîé äîáàâêè ê èìïóëüñó.37Ãëàâà 2Çàäà÷è1).ñÄîêàçàòü,÷òîåñòåñòâåííûìïðîñòðàíñòâîñêàëÿðíûìêâàíòîâûõïðîèçâåäåíèåìñîñòîíèé(÷òîýòî?)ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì (äîêàçàòü ëèíåéíîñòü ñêàëÿðíîãîïðîèçâåäåíèÿ, íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà).2). Êàê îïðåäåëèòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ñëó÷àåíåïðåðûâíûõ ôóíêöèé|Ψi? Äîêàçàòü, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèåïåðåõîäèò â åñòåñòâåííîå íà êîíå÷íîìåðíîì ãèëüáåðòîâîìïðîñòðàíñòâå.3).
Ýêñïîíåíòà îò ìàòðèöûA: exp(A) îïðåäåëÿåòñÿ êàêñóììà ðÿäà Ìàêëîðåíà äëÿ ýêñïîíåíòû (÷òî ýòî òàêîå?).exp(A + B) = exp(A)exp(B)êîììóòèðóþùèõ ìàòðèö A è B (÷òî ýòîà) Ïîêàçàòü, ÷òî ðàâåíñòâîèìååò ìåñòî äëÿòàêîå?) è ìîæåò íàðóøàòüñÿ äëÿ íåêîììóòèðóþùèõ.á). Ïîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâîäíóþ ìàòðè÷íîé ôóíêöèèexp(A t) ìîæíî íàéòè ïî îáû÷íîìó ïðàâèëó (exp(A t))0 =A exp(A t).3).Ýðìèòîâôîðìóëîéëèíåéíûé(Hf, g)=(f, Hg)ïðîñòðàíñòâàñîñòîÿíèé.îïðåäåëåíèþåñòüäëèíûâñåõîïåðàòîðëèíåéíûéâåêòîðîâ.äëÿÓíèòàðíûé÷òîîïðåäåëÿåòñÿëþáûõâåêòîðîâîïåðàòîðîïåðàòîð,Äîêàçàòü,38Hà)UïîñîõðàíÿþùèéäëÿëþáîãîýðìèòîâàHîïåðàòîðàóíèòàðíûì,á)äëÿëþáîãîñóùåñòâóåò ýðìèòîâ îïåðàòîð(Óêàçàíèå:ê1)óíèòàðíîãîH,âîñïîëüçîâàòüñÿäèàãîíàëüíîìóexp(iH)îïåðàòîðâèäó,2)ÿâëÿåòñÿUU = exp(iH).îïåðàòîðàòàêîé ÷òîòåîðåìîéîèñïîëüçîâàòüïðèâåäåíèèîïðåäåëåíèåìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû).hψ|H|φi ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíîé òîëüêîýðìèòîâîñòè îïåðàòîðà H ?4). Ïî÷åìó çàïèñüâ ñëó÷àå5).Âêâàíòîâîéñîîòâåòñòâóþòïîàíàëîãèèìåõàíèêå.ìåõàíèêåýðìèòîâûñîïåðàòîðû,îáû÷íûìèÅñëèñîáñòâåííûì äëÿ îïåðàòîðà|ΨiîïåðàòîðóîïðåäåëåííîåA.âðàâíîåñòðîÿòñÿêëàññè÷åñêîé|ΨiñîñòîÿíèåÿâëÿåòñÿA, òî ãîâîðÿò, ÷òîA ïðèíèìàåò âçíà÷åíèå,ñîáñòâåííîìó ÷èñëóâåëè÷èíàìêîòîðûåâåëè÷èíàìèíåêîòîðîåñîîòâåòñòâóþùàÿèçìåðÿåìûìâåëè÷èíà,ñîñòîÿíèèñîîòâåòñòâóþùåìóÊàêèå èç ñëåäóþùèõ îïåðàòîðîâáóäóò ýðìèòîâûìè:à) îïåðàòîð ãðàäèåíòà (÷òî ýòî òàêîå?),h∇ ãäå h ≈á) îïåðàòîð èìïóëüñà p =iïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà,â) îïåðàòîð êîîðäèíàòû10−27 ýðãx : ψ(x) −→ xψ(x)ñåê -?ã) îïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè (âûïèñàòü åãî)?ä) îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè (âûïèñàòü åãî äëÿ÷àñòèöû â êóëîíîâñêîì ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà)?6).Ïîàíàëîãèèìåõàíè÷åñêèåòðåõìåðíîãîñçàäà÷åéîïåðàòîðû:íàáîðà5)ïîñòðîèòüêèíåòè÷åñêîéêîîðäèíàòr,êâàíòîâîýíåðãèè,ìîìåíòàèìïóëüñà.Êàêèå èõ ýòèõ îïåðàòîðîâ áóäóò ýðìèòîâûìè?7).íàäêÊàêîïðåäåëèòüíåïðåðûâíûìèêóáèòîâîìóïðîñòðàíñòâà).äèàãîíàëüíûéôóíêöèÿìè?ïðåäñòàâëåíèþÊàêèåèçâèäîïåðàòîðîâ(Óêàçàíèå:ïåðåéòèêîíôèãóðàöèîííîãîîïåðàòîðîâçàäà÷5)è6)èìåþò äèàãîíàëüíûé âèä?8).
Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû39îïåðàòîðîâ Ïàóëèσx =è0110ïðèâåñòèýòè, σy =èõêîïåðàòîðû−i00i10, σz =äèàãîíàëüíîìóýðìèòîâûìè?âèäó.ßâëÿþòñÿóíèòàðíûìè?êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ âèäà0−1ëèÏîëó÷èòü[A, B] = CãäåA, B- ìàòðèöû Ïàóëè.
Íàéòè ýêñïîíåíòû îò ýòèõ îïåðàòîðîâ.H9). Îïåðàòîðâ óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà íàçûâàåòñÿÃàìèëüòîíèàíîì è ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ýíåðãèè.à). Íàïèñàòü åãî ÿâíûé âèä äëÿ îäíîìåðíîé ÷àñòèöû.(Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàòû çàäà÷ 5) è 6), à òàêæå2êëàññè÷åñêóþ ôîðìóëó äëÿ ïîëíîé ýíåðãèè E = p /2m+Vp-ãäåèìïóëüñ,V- ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ.á). Íàïèñàòü åãî ÿâíûé âèä äëÿ òðåõìåðíîé ÷àñòèöû.â). Íàïèñàòü åãî ÿâíûé âèä äëÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èçýëåêòðîíà è ïðîòîíà (àòîì âîäîðîäà áåç ó÷åòà ñïèíîâ).ã).
Íàïèñàòü åãî ÿâíûé âèä äëÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èçäâóõ ïðîòîíîâ è äâóõ ýëåêòðîíîâ (ìîëåêóëà âîäîðîäà áåçó÷åòà ñïèíîâ).10).âèäÑòàöèîíàðíîåçàäà÷èíàóðàâíåíèåíàõîæäåíåØðåäèíãåðàñîáñòâåííûõèìååòçíà÷åíèéèñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ Ãàìèëüòîíèàíà. Ñôîðìóëèðîâàòüåå â âèäå çàäà÷è ïîèñêà ðåøåíèé íåêîòîðîãî óðàâíåíèÿ(Óêàçàíèå:Ej-ýòîóðàâíåíèåíàçûâàþòñÿèìååòâèäýíåðãåòè÷åñêèìèñîîòâåòñòâóþùèìèH|Ψij =j |Ψij .óðîâíÿìè,|Ψijñòàöèîíàðíûìèñîñòîÿíèÿìè.Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ñòàöèîíðàíûå ñîñòîÿíèÿ - ýòî òàêèå, âêîòîðûõ ñèñòåìà íå èçëó÷àåò ôîòîíîâ.)11).
Ðåøèòü ñòàöèîíàðíóþ çàäà÷ó äëÿà)ñâîáîäíîé÷àñòèöû(ýòî÷àñòèöàâíóëåâîìïîòåíöèàëå).á)îäíîìåðíîé÷àñòèöûïîòåíöèàëüíîé ÿìå.40âáåñêîíå÷íîãëóáîêîéâ) òðåõìåðíîé ñâîáîäíîé ÷àñòèöûã)***èòðåõìåðíîéçàðÿäîìeâçàðÿæåííîéêóëîíîâñêîì÷àñòèöûìàññîéïîòåíöèàëåmòî÷å÷íîãîíåïîäâèæíîãî çàðÿäà (Ýòî - òðóäíàÿ çàäà÷à. Óêàçàíèå:êàêîéôèçè÷åñêèéîáúåêòÿâëÿåòñÿïðîîáðàçîìäëÿäàííîé èäåàëèçàöèè? Ðåøåíèå ìîæíî íàéòè â ëþáîé êíèãåïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå, à òàêæå â âèêèïåäèè).ä)**ïóíêòàìîæíîã),ëèåñëèïðèìåíÿòüêóëîíîâñêîåèäåàëüíóþïîëåãðóáóþîöåíêóòî÷íîñòèèçäðóãîéM ≈ 2000m?÷àñòèöåé ñ òåì æå çàðÿäîì, íî ìàññîéÄàòüìîäåëüñîçäàåòñÿíàõîæäåíèÿýíåðãèéòàêîé äâóõ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû ïðè ïðèìåíåíèè èäåàëüíîéìîäåëè ïóíêòà ã).12).Íàïèñàòüóðàâíåíèåäëÿïîèñêàñîáñòâåíûõâåêòîðîâ è çíà÷åíèé îïåðàòîðà èìïóëüñà.à)Ðåøèòü(Óêàçàíèå:ýòóâîëíàäåçàäà÷óäëÿÁðîéëÿexp(ip̄r̄/h).ñâîáîäíîé÷àñòèöûÈñïîëüçîâàòüçàäà÷ó 5)).á) Êàê âûãëÿäèò ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿØðåäèíãåðà â ñëó÷àå ñâîáîäíîé ÷àñòèöû ñ îïðåäåëåííûìíà÷àëüíûì èìïóëüñîì? (Óêàçàíèå: áóäåò ëè îïðåäåëåííîéòàêæå è åå ýíåðãèÿ? Èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàò çàäà÷è 11à)).13).Ñôîðìóëèðîâàòüçàäà÷óÊîøèäëÿóðàâíåíèÿØðåäèíãåðà.
Êàê ðåøàòü ýòó çàäà÷ó, åñëè åñòü ôîðìóëàäëÿ îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà?14).Ïðåäïîëîæèì,÷òîñòàöèîíàðíàÿçàäà÷àäëÿóðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ðåøåíà. Íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿîáùåãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.15).îáùåãîÍàïèñàòüðåøåíèÿïðåäïîëîæèòü,÷òîôîðìóëóóðàâíåíèÿäëÿíàõîæäåíèÿØðåäèíãåðàÃàìèëüòîíèàí-ýòî(Óêàçàíèå:ïðîñòî÷èñëî,à çàòåì èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû èðåçóëüòàò ðåøåíèÿ çàäà÷è 3á).  êàêîì ñëó÷àå óäîáíîïîëüçîâàòüñÿ íàéäåííîé ôîðìóëîé? Ìîæíî ëè ïðèìåíÿòü41Våå, åñëè ïîòåíöèàëçàâèñèò îò âðåìåíè? Êàê íàäîïîíèìàòü ýêñïîíåíòó äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòó ôîðìóëó ìîæíîáûëî ïðèìåíÿòü â ñëó÷àå íåñòàöèîíàðíîãî ïîòåíöèàëà?***(Ýòî - òðóäíàÿ çàäà÷à. Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèåõðîíîëîãè÷åñêîé ýêñïîíåíòû (ñì.
[?]).16).Íàéòèñîáñòâåííûåñîñòîÿíèÿ(âåêòîðû)èñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà êîîðäèíàòû. Ðàññìîòðåòünñëó÷àé îäíîé ÷àñòèöû èçàäà÷óêñíà÷àëàâíåïðåðûâíîìóÄèðàêà.)Êàê÷àñòèö. (Óêàçàíèå: ðåøèòüêóáèòîâîéñëó÷àþ,âûãëÿäèòôîðìå.èñïîëüçóÿÇàòåìïåðåéòèäåëüòàðàçëîæåíèåôóíêöèèïðîèçâîëüíîãîñîñòîÿíèÿ â ðÿä ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðàêîîðäèíàòû? Ñîáñòâåííûå âåêòîðà îïåðàòîðà êîîðäèíàòûñîñòàâëÿþòòàêíàçûâàåìûéêîîðäèíàòíûéáàçèñãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé.17).ÊàêâûãëÿäèòïðåîáðàçîâàíèåÔóðüåâíåïðåðûâíîì ñëó÷àå?  äèñêðåòíîì? Íàïèñàòü îïåðàòîðÔóðüåâêóáèòîâîéôîðìå(Óêàçàíèå:âî÷òîêóáèòîâîåñîáñòâåííûé16)).erâåêòîðÊóáèòîâîåêâàíòîâûìïðåîáðàçîâàíèåîïåðàòîðà-QFT).ÔóðüåÔóðüåÔóðüåÂûïèñàòü,íàïèñàòü,ïåðåâîäèòêîîðäèíàòûïðåîáðàçîâàíèåïðåîáðàçîâàíèåìTranformÈñïîëüçóÿ|Ψi,êóáèòîâîå ïðèáëèæåíèå âîëíîâîé ôóíêöèèèç(Quantumâîçàäà÷èíàçûâàåòñÿ÷òîFouri-îáðàòíîåêâàíòîâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðåâîäèò ïðîèçâîëüíûéáàçèñíûé âåêòîð.
Âûïèñàòü ìàòðèöó ïðÿìîãî è îáðàòíîãîêâàíòîâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.18).Cîáñòâåííûåîáðàçóþòòàêïðîñòðàíñòâà12),íàçûâàåìûéñîñòîÿíèé.íàïèñàòüêîîðäèíàòíîãîîïåðàòîðà.ôóíêöèèâûðàæåíèåáàçèñàÁóäåòëèêîïåðàòîðàèìïóëüñíûéÈñïîëüçóÿäëÿðåçóëüòàòîïåðàòîðàèìïóëüñíîìóýòîòèìïóëüñàîïåðàòîðáàçèñçàäà÷èïåðåõîäàèîòîáðàòíîãîóíèòàðíûì?Ýðìèòîâûì? Êàêîâî êîðîòêîå íàçâàíèå ýòîãî îïåðàòîðà?42(Óêàçàíèå:Ðàññìîòðåòüêóáèòîâûéèíåïðåðûâíûéñëó÷àè.
Èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàò çàäà÷è 17)).19). Êàê âûãëÿäèò QFT è îáðàòíîå åìó â ñëó÷àå îäíîãîêóáèòà?20). Íàéòè áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé, â êîòîðîììàòðèöàîïåðàòîðàèñïîëüçîâàòüäâóìÿá)ñèìïóëüñàïðåîáðàçîâàíèåñïîñîáàìè:à)ñèñïîëüçîâàíèåìäèàãîíàëüíà.Ôóðüå.Ðåøèòüèñïîëüçîâàíèåìòîãîôàêòà,(Óêàçàíèå:÷òîçàäà÷èçàäà÷ó18)èíåïðåðûâíîåïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðåâîäèò äèôôåðåíöèðîâàíèå âóìíîæåíèå íà àðãóìåíò è ìíèìóþ åäèíèöó (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
