Д.А. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский - Квантовая информатика и квантовый компьютер (1156791), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

.........3...(1.8)â òî âðåìÿ êàê ìàòðèöà îïåðàòîðà èìïóëüñà äëÿ òîé æåêîîðäèíàòíîé îñè èìååò âèä−h2 12 /2m00...DF T0−h2 22 /2m0.........−h2 32 /2m...00......!DF T −1(1.9)ãäåDF Tîáîçíà÷àåòÔóðüå (ñì. Ïðèëîæåíèå çäåñüäëÿïðèìåðà.êîîðäèíàòûèëèÄåéñòâèòåëüíî,îïðåäåëåíèéÝòîèìïóëüñàïåðâîåäèñêðåòíîåQF T ).ïðîñòîâïðåîáðàçîâàíèå×èñëà÷èñëîâûåäâîè÷íîìóòâåðæäåíèåíåïîñðåäñòâåííî,à1, 2, . . .âçÿòûçíà÷åíèÿïðåäñòàâëåíèè.âûòåêàåòäëÿèçäîêàçàòåëüñòâàâòîðîãî çàìåòèì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðåâîäèòäèôôåðåíöèðîâàíèå â óìíîæåíèå íà ìíèìóþ åäèíèöó èàðãóìåíò ðåçóëüòàòà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ýòî ñâîéñòâîçäåñü è èñïîëüçîâàíî äëÿ òîãî, ÷òîáû äèàãîíàëèçîâàòüìàòðèöó,Ýòàñîîòâåòñòâóþùóþìàòðèöàïîëó÷àåòñÿáóäåòîïåðàòîðóäèàãîíàëüíîéïðåîáðàçîâàíèåìÔóðüåâáàçèñå,èçèìïóëüñà.êîòîðûéèñõîäíîãî,òàê÷òî ó îïåðàòîðîâ êîîðäèíàòû è èìïóëüñà äåéñòâèòåüíîíåòîáùèõðàññìîòðåòü,ñîáñòâåííûõíàïðèìåð,âåêòîðîâ.Ðàçóìååòñÿ,êîîðäèíàòóèìïóëüñà âäîëü äðóãîé îñè, íàïðèìåð,16åñëèx è îïåðàòîðpy , òî ó òàêèõîïåðàòîðîâ áóäåò îáùàÿ ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, èèõ ìîæíî èçìåðèòü îäíîâðåìåííî.Îäíîâðåìåííîåèçìåðåíèåçäåñüòðàêòóåòñÿêàêèçìåðåíèå îáîèõ âåëè÷èí ñ îäèíàêîâîé òî÷íîñòüþ.

Òîåñòü âîçìîæíîñòü ñêîëü óãîäíî òî÷íî çíàòü îäíîâðåìåííîçíà÷åíèÿ è îäíîé è äðóãîé âåëè÷èíû. Åñëè æå îòêàçàòüñÿîòòðåáîâàíèÿèçìåðèòüàáñîëþòíîéìîæíîëþáûåòî÷íîñòè,äâåòî,âåëè÷èíû.êîíå÷íî,Ïðèýòîì,åñëè îäíà èç íèõ ïðèíÿëà îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå (òî åñòüíàø âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ñîâïàë ñ ñîáñòâåííûì âåêòîðîìñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîé âåëè÷èíå îïåðàòîðà), òî äðóãàÿ,âîîáùåãîâîðÿ,ðàñïðåäåëåíèåáóäåòèìåòüçíà÷åíèéâíåêîòîðîåâåðîÿòíîñòíîåñîîòâåòñòâèèñïðàâèëîìÁîðíà.

Ðàññìîòðèì, äëÿ ïðèìåðà, äâóìåðíîå ãèëüáåðòîâîïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì èçìåðÿåòñÿ ¾êîîðäèíàòà¿, à çàòåì¾èìïóëüñ¿ ÷àñòèöû. ß çàêëþ÷àþ íàçâàíèå ôèçè÷åñêèõâåëè÷èí÷òîâêàâû÷êèäëÿðàññìàòðèâàþòñÿíåòîãî,÷òîáûíàñòîÿùàÿïîä÷åðêíóòü,êîîðäèíàòàèëèèìïóëüñ, à èõ ñàìûå ãðóáûå ïðèáëèæåíèÿ, âûòåêàþùèåèçòîãî,÷òî÷àñòèöàïðîñòðàíñòâåííûõìîæåòïîëîæåíèÿ,çàíèìàòüàíåòîëüêîäâàêîíòèíóàëüíûéíàáîð, êàê â ñòàíäàðòíûõ êóðñàõ ïî ôèçèêå. Ïîñêîëüêóïðè èçìåðåíèè ¾êîîðäèíàòû¿ ìû ïîïàäàåì â îäíî èç äâóõñîñòîÿíèé|1i, |2i,à ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå â äâóìåðíîìñëó÷àå èìååò ìàòðèöó Àäàìàðà (ñ òî÷íîñòüþ äî ôàçîâîãîñäâèãà√√21/√2 1/ √1/ 2 −1/ 2òî âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü êàæäûé èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèéèìïóëüñà1èëè2,áóäåò ðàâåí1/2.Èìïóëüñ ÷àñòèöûïðè óñëîâèè, ÷òî ýòà ÷àñòèöà ñïîñîáíà çàíèìàòü òîëüêîäâà ïðîñòðàíñòâåííûõ ïîëîæåíèÿ:÷òîýòà÷àñòèöàëèáîñîâåðøàåò|0ièëè|1i,ïðûæîêîçíà÷àåò,èçîäíîãîïîëîæåíèÿ â äðóãîå, ëèáî ñòîèò íà ìåñòå.

Ôèçè÷åñêàÿ17èíòóèöèÿäàåòâíåîáû÷íîéòàêîéïðèïèñàòüíàìâåðíîåñèòóàöèè.ïîíÿòèþîïðåäåëåííîåïîíèìàíèåÊàêèìïóëüñàïîíèìàíèå,ýòîãîâèäèì,÷àñòèöûïóñòüèïîíÿòèÿíåìîæíîñîâåðøåííîñâîäÿùååñÿêîäíîìó ÷èñëó, íî òåì íå ìåíåå ñòðîãîå è êîððåêòíîå âòîì ñìûñëå, ÷òî ñ ýòèì ïîíèìàíèåì ìîæíî ðàáîòàòüäàëüøå.Ìûôîðìàëèçì,ïðèåì.2ñäåëàëèòîåñòüÊóáèòîâûéíàäåæåí,÷åìôóíêöèé.Îíòàêèì÷åìòàêêàêÿâíîíåêîåïðîñòðàíñòâà.èçúÿíâîëíîâûõòðàêòîâàòüýðìèòîâûáîëååòàêðàçðåøåíèÿáîëååâûðàçèòåëüíûìèèñïîëüçîâàòüàíàëèòè÷åñêàÿ,Ëþáîéâèäèì,ïîçâîëÿåòòåõíèêàçåðíîìàòåìàòè÷åñêèéìûáîëüøèìèêîíêðåòíûåòðàäèöèîííàÿñîäåðæèòêàêêóáèòîâûéôîðìàëèçìêàêÊóáèòîâàÿíàñïåöèàëüíûéôîðìàëèçì,îáëàäàåòîáðàçîì,ïðèåìû.íàîïèðàÿñüñòàíäàðòíûéâîçìîæíîñòÿìè,îïåðàòîðûýòî,ìàòðèöû,èàëãåáðàè÷åñêèåòðåáîâàòåëüíà,êàêîíàÿâíîêîíôèãóðàöèîííîãîôîðìàëèçìà,êîòîðûéìîæíî ëåãêî ñêðûòü, èñïîëüçóÿ àíàëèòè÷åêóþ òåõíèêó,ñòàíîâèòñÿ ÿâíûì ïðè èñïîëüçîâàíèè òåõíèêè êóáèòîâ,â÷åììûóáåäèìñÿäàëååíàïðèìåðåêâàíòîâîéýëåêòðîäèíàìèêè. Êðîìå òîãî, ïðåäïîëîæåíèå î íàëè÷èèçåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ ãîðàçäî áëèæå êðåàëüíîñòè, ÷åì ïðåäïîëîæåíèå î áåñêîíå÷íîé äåëèìîñòèïðîñòðàíñòâà.

Ââèäó ýòîãî, ÿ áóäó â äàëüíåéøåì ñòàðàòüñÿïðèìåíÿòü èìåííî êóáèòîâóþ çàïèñü êâàíòîâûõ îáúåêòîâ,íåîãîâàðèâàÿñèòóàöèÿêîðîòêèìïðîñòàÿýòîãîâîîáùåïóòåìñïåöèàëüíî.òèïè÷íàêâòîì÷èñëåííîìóìàíèïóëÿöèÿñÐàññìîòðåííàÿñìûñëå,÷òîðåçóëüòàòóìàòåìàòè÷åñêèìíàìèñàìûìÿâëÿåòñÿîáúåêòîì;2 ß ïðåäëàãàÿ ÷èòàòåëþ ðàññìîòðåòü âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿäëÿ òàêîé çàäà÷è ýâðèñòèêó ñòàíäàðòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà(òî åñòü òîãî, ÷òî ïðèíÿòî ïîíèìàòü ïîä ôèçè÷åñêîé èíòóèöèåé),êîãäà ñêîðîñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïðåäåë18∆s/∆t,è ò.ä.âñåòî,÷òîîáÿçàòåëüíîïîíèìàþòäîëæíîÑàìîñòîÿòåëüíîåïîäôèçè÷åñêîéñâîäèòüñÿêòàêîéñóùåñòâîâàíèåèíòóèöèåé,ìàíèïóëÿöèè.íåêîéôèçè÷åñêîéèíòóèöèè, íå îôîðìëåííîé êàê òàêàÿ ìàíèïóëÿöèÿ, åñòüâåðíûé ïðèçíàê îòñòàëîñòè èñïîëüçóåìîé ìàòåìàòèêè.Èòàêêîïåíãàãåíñêàÿïîëíûìàðñåíàëîì÷àñòèö,òàêâûáèðàÿîáùèéîíàêàêäëÿäâåâêà÷åñòâåöåíòðìàññ.íåìåõàíèêàðàññìîòðåíèÿ÷àñòèöûíà÷àëàÎäíàêîïðèìåíèìà.ôîðìàëüíîêâàíòîâàÿâìîæíîáîëååèëèñâåñòèñèñòåìûÒðóäíîñòèîäíî÷àñòè÷íûõîäíîéîáëàäàåòêîäíîé,êîîðäèíàòñëîæíûõíà÷èíàþòñÿçàäà÷àõ,äâóõíîèõçàäà÷àõóæåâñîäåðæàùèõèçìåðåíèÿ, ñì.

Ïðèìåð 2 èç 2.4.2. Ôèçè÷åñêè èçìåðåíèåîçíà÷àåòâçàèìîäåéòñâèåðàññìàòðèâàåìîé÷àñòèöûñîêðóæåíèåì, ñîñòîÿùèì èç î÷åíü áîëøîãî ÷èñëà ÷àñòèö,è ïîòîìó ïðîÿâëÿþùåãî êëàññè÷åñêèå ñâîéñòâà. Òî åñòüôàêòè÷åñêè,çàäà÷àîäíî÷àñòè÷íîéîáèçìåðåíèèçàäà÷åé.Ýòîíåÿâëÿåòñÿïðîÿâëÿåòñÿââèäåóæåòàêíàçûâàåìîé äåêîãåðåíòíîñòè, òî åñòü ðàñïàäå êâàíòîâîãîñîñòîÿíèÿ ïðè êîíòàêòå åãî ñ îêðóæàþùèìè ÷àñòèöàìè,íå âõîäÿùèìè â ðàññìàòðèâàåìûé àíñàìáëü.1.1.2Òåíçîðíûå ïðîèçâåäåíèÿÌû ïîäîøëè ê ÿäðó ãèëüáåðòîâà ôîðìàëèçìà êâàíòîâîéìåõàíèêè - îïèñàíèþ ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì ñ ïîìîùüþòåíçîðíûõïðîèçâåäåíèéêîíñòðóêöèÿìàòåìàòèêè,ÿâëåíèå,ññèìâîëèçèðóåòïîñêîëüêóêîòîðîåïîìîùüþïðîñòðàíñòâóæåäàåòâñþìîùüïîäõîäà:Ýòàêëàññè÷åñêîéâîçìîæíîñòüíåâîçìîæíîñòàíäàðòíîãîñîñòîÿíèé.ïðåäñêàçàòüñòðîãîîïèñàòüñóùåñòâîâàíèåçàïóòàííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé.

Ìû äîëæíû òùàòåëüíîèçó÷èòü ôîðìàëèçì òåíçîðíûõ ïðîèçâåäåíèé òàê êàê îíÿâëÿåòñÿîñíîâîéäàëüíåéøåãî19èçó÷åíèÿêâàíòîâûõêîìïüþòåðîâ.Êëþ÷åâîéýëåìåíòñòàíäàðòíîãîôîðìàëèçìàìíîãî÷àñòè÷íîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè - âçÿòèå òåíçîðíîãîïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòðàíñòâ ñîñòîÿíèé îòäåëüíûõ ÷àñòèö.Ñîñòîÿíèåàíñàìáëÿíåñêîëüêèõ÷àñòèöâêâàíòîâîéòåîðèè íå ñâîäèòñÿ ê íàáîðó èõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé,àïðèíàäëåæèòòåíçîðíîìóñîñòîÿíèéîòäåëüíûõàíñàìáëü.Âýòîìïðîèçâåäåíèþ÷àñòèö,ñîñòîèòïðîñòðàíñòâñîñòàâëÿþùèõäàííûéôóíäàìåíòàëüíîåîòëè÷èåH1 , H2 , .

. . , Hn÷àñòèö 1, 2, . . . , nêâàíòîâîé òåîðèè îò êëàññè÷åñêîé. Ïóñòü-ïðîñòðàíñòâàêâàíòîâûõñîîòâåòñòâåííî.ÒîãäàñîñòîÿíèéêâàíòîâûåñîñòîÿíèåàíñàìáëÿäàííûõòåíçîðíîåïðîèçâåäåíèåN÷àñòèöN ñîñòàâëÿþòNH = H1 H2 . . . Hn , êîòîðîå ìû ñåé÷àñ îïðåäåëèì.j jjÏóñòü b1 , b2 , . . . , bk åñòü íåêîòîðûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâàjHj , j = 1, 2, .

. . , n. Òîãäà áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà H, ïîîïðåäåëåíèþ, áóäåò íàáîð âñåõ ôîðìàëüíûõ ïðîèçâåäåíèéâèäàb1i1ãäåçíàêòåíçîðíîãîÍàïðèìåð,èîáàOåñëèób2i2O...Obnin ,ïðîèçâåäåíèÿíàñïðåäñòàâëÿþòòîëüêîñîáîé÷àñòîäâàîïóñêàåòñÿ.ïðîñòðàíñòâà,ñîñòîÿíèÿêóáèòîâ-ïåðâîãî è âòîðîãî, òî â èõ ïðîèçâåäåíèè áàçèñ áóäåò|0i|0i, |0i|1i, |1i|0i, |1i|1i. ×àñòî âîáîçíà÷åíèÿõ i| òàêæå îïóñêàåòñÿ è ïèøóòòàêèì:äèðàêîâñêèõïðîñòî|00ièò.ä.

Òåïåðü ìû ìîæåì îòîæäåñòâèòü âîëíîâóþ ôóíêöèþΨ(rN. , rn ) Nñ âåêòîðîì â òåíçîðíîì ïðîñòðàíñòâå1 , r2 , . .NH = H1 H2 . . . Hn ãäå âñåâîçìîæíûå çíà÷åíèÿ r1ïðèíàäëåæàò áàçèñó H1 , è ò.ä. Åñëè ó íàñ åñòü ñîñòîÿíèÿ|ψj i N∈ Hj Nj = 1,N2, . . . , n, òî èõ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå|ψ1 i |ψ2 i . . . |ψn iîïðåäåëÿåòñÿòàê.Íàäîâèäàðàçëîæèòü êàæäîå ñîñòîÿíèå ïî áàçèñó, è ïåðåìíîæèòüýòè çàïèñè, ñ÷èòàÿ ÷òî çíàê òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿNîáëàäàåòâñåìèñâîéñòâàìè20ïðîèçâåäåíèÿ,êðîìåêîììóòàòèâíîñòè, òî åñòü äèñòðèáóòèâåí ïî îòíîøåíèþ êñëîæåíèþ, è äîïóñêàåò âûíåñåíèå ÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ.Òàêîå ïðîèçâåäåíèå ñîñòîÿíèé ïðèíàäëåæèò òåíçîðíîìóïðîèçâåäåíèþ ïðîñòðàíñòâ.jÅñëè A: Hj −→ HjìûN îïðåäåëèìN N12AAèõn...åñòü ëèíåéíûå îïåðàòîðû,òåíçîðíîåAòàê.AïðîèçâåäåíèåÑíà÷àëàîïðåäåëèì=ýòîòîïåðàòîð åñòåñòâåííûì îáðàçîì íà áàçèñíûõ âåêòîðàõH : A(b1i1= A1 (b1i1 )OOOb2i2A2 (b2i2 )...OO...bnin ) =OAn (bnin ),à çàòåì ðàñïðîñòðàíèì ýòîò îïåðàòîð ïî ëèíåéíîñòè íàâñå ïðîñòðàíñòâîÍåâñÿêèéïðîèçâåäåíèÿÍàïðèìåð,H.âåêòîðâñëó÷àåHèçâåêòîðîâèçäâóõèìååòâèäîòäåëüíûõêóáèòîâòåíçîðíîãîïðîñòðàíñòâ.âåêòîð|00i + |11iïðåäñòàâèòü â òàêîì âèäå íåâîçìîæíî.

Òàêèå ñîñòîÿíèåíàçûâàþòñÿ çàïóòàííûìè, â çíàê òîãî, ÷òî èõ íåëüçÿñâåñòèêêîìáèíàöèèñîñòîÿíèé.Èìåííî(ïðîèçâåäåíèþ)íàëè÷èåîòäåëüíûõçàïóòàííûõñîñòîÿíèéäåëàåò êâàíòîâóþ ôèçèêó ìíîãèõ ÷àñòèö ïðèíöèïèàëüíîáîëåå ñëîæíîé, ÷åì êëàññè÷åñêàÿ, ãäå íåò òàêîãî ïîíÿòèÿêàêíåçàïóòàííîñòü.èìåëàáûÑíèêàêîãîäðóãîéñòîðîíû,îñîáîãîñìûñëà,çàïóòàííîñòüåñëèáûìûïðåäñòàâëÿëè ÷àñòèöó êàê òî÷å÷íóþ, òî åñòü êëàññè÷åñêè.Òàêèì îáðàçîì, çàïóòàííîñòü åñòü óäèâèòåëüíîå, ÷èñòîêâàíòîâîåÿâëåíèå.ïðèâîäèòêÂãëàâå6ìûìàêðîñêîïè÷åñêèìóâèäèì,÷òîñëåäñòâèÿì.îíîÒàêèìîáðàçîì, êâàíòîâóþ ìåõàíèêó íåëüçÿ ñâåñòè ê ïîïðàâêàìê êëàññè÷åñêîé.

Îíà îäíà äàåò íàì êëþ÷ ê ïîíèìàíèþíàáëþäàåìîé êàðòèíû ìèðà.ÅñëèôóíêöèéìûðàáîòàåìΨ(r1 , . . . , rn ),ñîáû÷íîéòåíçîðíîå21çàïèñüþâîëíîâûõïðîèçâåäåíèåíàäîòðàêòîâàòü êàê îáû÷íîå ïðîèçâåäåíèåψ1 (r1 )ψ2 (r2 ) . . . ψn (rn ).îïðåäåëåíèÿ,Ñìûñëäàííîãîíàìèìàòåìàòè÷åñêîãîñîñòîèòâòîì,÷òîîíîäåéñòâóåò â êóáèòîâîì ôîðìàëèçìå, êîòîðûé ïîëíîñòüþàäåêâàòåí êâàíòîâîé òåîðèè, ïîñêîëüêó âêëþ÷àåò â ñåáÿçåðíîïðîñòðàíñòâåííîãîðàçðåøåíèÿ: ìû èñïîëüçóåìjýòî çåðíî äëÿ âûáîðà áàçèñà b1 , . . . äëÿ êàæäîé ÷àñòèöû.1Íàïðèìåð, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî b1 îçíà÷àåò íàõîæäåíèå1ïåðâîé ÷àñòèöû â òî÷êå 1, b2 - íàõîæäåíèå åå â òî÷êå 2è ò.ä.

Характеристики

Список файлов книги