Д.А. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский - Квантовая информатика и квантовый компьютер (1156791), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Îí èíâîëþòèâåí, òî åñòü Quf= I. Â28Ïðèëîæåíèèîïèñàíî,êàêñïîìîùüþýòîãîïðèåìàïîñòðîèòü áûñòðûé êâàíòîâûé àëãîðèòì ïåðåáîðà.1.3ÊàêÐîëü çàïóòàííîñòèìûçíàåì,S1ñèñòåìçàïóòàííîåS2 ,èïðåäñòàâèòüââíåâîçìîæíîñòè÷àñòåéâS1S2 .ðàçëè÷íûìèNäâóõêîòîðîå|ΨS2 i.îáû÷íîéêâàíòîâûõíåâîçìîæíîÝòîâòî÷íîñòèàíàëèòè÷åñêîéïðåäñòàâëåíèÿâèäåèñîñòîÿíèåñîñòîÿíèå,|ΨS1 iâèäåñîîòâåòñòâóåò,ñèñòåìûýòîâîëíîâîéïðîèçâåäåíèÿçàïèñèôóíêöèèâîëíîâûõâñåéôóíêöèéååÌîæíî ââåñòè ìåðó òàêîé çàïóòàííîñòèïóòÿìè.Íàïðèìåð,ñèñïîëüçîâàíèåìρS1 . Îïðåäåëèì ìåðóçàïóòàííîñòè êàê êâàíòîâóþ ýíòðîïèþ H = tr(ρS1 ln ρS1 ),êîòîðàÿ ðàâíà òîìó æå âûðàæåíèþ, âçÿòîìó äëÿ S2 .îòíîñèòåëüíîé ìàòðèöû ïëîòíîñòèÒàêàÿ ìåðà çàïóòàííîñòè ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ â òåîðèèêâàíòîâîé èíôîðìàöèè.Íåòðóäíîñèñòåìû,ïîíÿòü,êîòîðàÿ÷òîêâàíòîâàÿìîæåòáûòüýâîëþöèÿëþáîéïðåäñòàâëåíàêàêýâîëþöèÿ íåçàïóòàííîãî ñîñòîÿíèÿ (òî åñòü òåíçîðíîãîïðîèçâåäåíèÿîäíî÷àñòè÷íûõìîäåëèðîâàíàíàðåàëüíîãîñîñòîÿíèé)êëàññè÷åñêîìâðåìåíè,òîåñòüìîæåòêîìïüþòåðåñáûòüâðåæèìåñëîæíîñòüþ,ðàâíîéôèçè÷åñêîìó âðåìåíè.
Èç ýòîãî âûòåêàåò, ÷òî ðåàëèçàöèÿáûñòðûõêâàíòîâûõàëãîðèòìîâíàíåçàïóòàííûõñîñòîÿíèÿõ íåâîçìîæíà, òî åñòü êâàíòîâûé êîìïüþòåðïîñòðîåí êàê ðàç íà çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèÿõ, è áåç íèõ îíñâåëñÿ áû ïðîñòî ê ñîáñòâåííîé êëàññè÷åñêîé ÷àñòè.Íîáûëîáûîøèáî÷íîîòîæäåñòâèòüìíîæåñòâîâñåõ çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé ñ ñîñòîÿíèÿìè, èìåþùèìèìàêñèìàëüíóþ ýíòðîïèþ çàïóòàííîñòèïîëó÷åíèÿìíîãî÷àñòè÷íûõ29H.Âîçìîæíîñòüçàïóòàííûõñîñòîÿíèéäàæåñìàêñèìàëüíîéñòåïåíüþçàïóòàííîñòèñîâñåìíå îçíà÷àåò, ÷òî ìû ñîçäàëè êâàíòîâûé êîìïüþòåð. Âêà÷åñòâåïðèìåðàðàññìîòðèìäâàêëàññàçàïóòàííûõêâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, êîòîðûå ðåàëüíî äåòåêòèðóþòñÿ âýêñïåðèìåíòàõ íà èîíàõ â ëîâóøêå Ïàóëÿ. ÝòîGHZèWñîñòîÿíèÿ, èìåþùèå âèäGHZ : λ1 |11 .
. . 1i + λ2 |22 . . . 2i + . . . + λk |kk . . . ki,W : λ1 |100 . . . 0i + λ2 |010 . . . 0i + . . . + λk |00 . . . 1i.(1.14)Ìûâèäèì,÷òîäëÿõðàíåíèÿòàêèõñîñòîÿíèéïàìÿòè êîìïüþòåðà äîñòàòî÷íî âûäåëèòü ïîðÿäêàïàìÿòè, ãäånân ÿ÷ååê- ÷èñëî êóáèòîâ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáûåâû÷èñëåíèÿ ñ òàêèìè ñîñòîÿíèÿìè ìîæíî âîñïðîèçâîäèòüíàêëàññè÷åñêèõêîìïüþòåðàõ,èèìåÿòîëüêîòàêèåêâàíòâîûå ñîñòîÿíèÿ íåâîçìîæíî ðåàëèçîâàòü áûñòðûåêâàíòîâûå àëãîðèòìû. äåéñòâèòåëüíîñòè, ñîñòîÿíèÿ òèïàGHZèWìîæíîñâåñòè ê îäíî÷àñòè÷íûì ñîñòîÿíèÿì.
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëàñîñòîÿíèåGHZ .Åãî àíàëîãîì äëÿn = 2ÿâëÿåòñÿ òàêíàçûâàåìîå øìèäòîâñêîå ñîñòîÿíèå äâóõ ÷àñòèö, òî åñòüñîñòîÿíèå äâóõ ÷àñòèö âèäàXOλj |ψj1 i|ψj2 i(1.15)jãäåâ{|ψj1 }{|ψj2 }èïðîñòðàíñòâàõñîîòâåòñòâåííî.N÷èñëàìè,ãäååñòüîðòîíîðìèðîâàííûåñîñòîÿíèéïåðâîéÑîñòîÿíèåNåñòü(1.15èâòîðîéáàçèñû÷àñòèöõàðàêòåðèçóåòñÿðàçìåðíîñòüãèëüáåðòîâûõïðîñòðàíñòâ ñîñòîÿíèé îäíîé ÷àñòèöû.
Òàêèì îáðàçîì,äëÿ õðàíåíèÿ òàêîãî äâóõ÷àñòèöíîãî ñîñòîÿíèÿ íåîáõîäèìòîò æå îáúåì ïàìÿòè, ÷òî è äëÿ õðàíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ îäíîé÷àñòèöû.30ÑîñòîÿíèåäëÿGHZíåñêîëüêèõåñòü ôîðìà øìèäòîâñêîãî ñîñòîÿíèÿ÷àñòèö.Òàêîåñîñòîÿíèåîçíà÷àåòñëåäóþùåå. Ó íàñ ðåàëüíî èìååòñÿ òîëüêî îäíà ÷àñòèöà,íî îíà ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ÷àñòåé, âåäóùèõ ñåáÿ ïðîñòîêàê îäíî öåëîå. Ðàññìîòðèì|Ψi = |00i + |11i.GHZk = 2:ñîñòîÿíèå ïðèÁóäåì òðàêòîâàòü0è1êàê ïîëîæåíèÿîäíîé ÷àñòèöû â äâóõ ðàçëè÷íûõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷êàõ.Òîãäà èçìåðåíèå â ñòàíäàðòíîì áàçèñå îäíîé èç ÷àñòèöïîâëå÷åò íàõîæäåíèå îáåèõ ÷àñòèö â îäíîé è òîé æåòî÷êå.
Åñëè æå ìû çàõîòèì èçìåðèòü èìïóëüñ ÷àñòèöû,íàìïðèäåòñÿïðèìåíèòüïðåîáðàçîâàíèåêêâàíòîâîåñîîòâåòñòâóþùåìóïðåîáðàçîâàíèåêóáèòóÔóðüå,÷òîâ ñëó÷àå îäíîãî êóáèòà åñòü ñ òî÷íîñòüþ äî óñëîâíîãîïîâîðîòà ôàçû, îïåðàòîð Àäàìàðà. Ïðèìåíèâ ê îáîèìêóáèòàì òàêîé îïåðàòîð ìû ïåðåéäåì â áàçèñ, â êîòîðîìçíà÷åíèÿìè÷àñòèöû.êóáèòîâÏðîñòîéáóäåò òîò æå:áóäóòèìïóëüñûïîäñ÷åò|00i + |11i.ñîîòâåòñòâóþùåéïîêàçûâàåò,÷òîðåçóëüòàòÝòî îçíà÷àåò, ÷òî è èìïóëüñó îáåèõ ÷àñòèö áóäåò îäíèì è òåì æå ïðè èçìåðåíèèåãîóëþáîéèçíèõ.Ýòîèîáúÿñíÿåòòî,÷òîòàêîåñîñòîÿíèå åñòü ñîñòîÿíèå ïî-ñóùåñòâó, îäíîé ÷àñòèöû.
Äëÿäåòåêòèðîâàíèÿ òàêîãî ñîñòîÿíèÿ äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòüèíòåðôåðåíöèîííûåñâîéñòâàîáúåêòà,ñîñòîÿùåãîèçíåñêîëüêèõ ÷àñòåé, íàïðèìåð, èíòåðôåðåíöèþ ìîëåêóëûâîäîðîäà íà äâóõ ùåëÿõ. Íàëè÷èå èíòåðôåðåíöèîííîéêàðòèíûÒàêèìèáóäåòîáðàçîì,îçíà÷àòüäàííûéçàïóòàííîñòüòèïGHZçàïóòàííîñòèòèïà.ÿâëÿåòñÿäîñòàòî÷íî øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííûì. Áîëåå èíòåðåñíîäåòåêòèðîâàíèå òàêîãî òèïà çàïóòàííîñòè íà áîëüøèõðàññòîÿíèÿõ. Äëÿ èîíîâ â ëîâóøêàõ Ïàóëÿ îíî ñîñòàâëÿåòíåñêîëüêî ìèëëèìåòðîâ, äëÿ ôîòîíîâ - äî íåñêîëüêèõêèëîìåòðîâ.Íåçàâèñèìîïðîñòðàíñòâàîò(ëèøü÷èñëàáûòî÷åêîíî31áûëîêîíôèãóðàöèîííîãîíåìåíüøåäâóõ)ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:1) Âñÿêîå êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå äâóõ ÷àñòèö ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäå øìèäòîâñêîãî ðàçëîæåíèÿ.2) Ñóùåñòâóþò ñîñòîÿíèÿ òðåõ ÷àñòèö, êîòîðûå íåëüçÿïðåäñòàâèòü â âèäå øìèäòîâñêîãî ðàçëîæåíèÿ.Ïðîñòåéøèéäëÿñëó÷àÿ|100i + |010i + |001i,ñîñòîÿíèåðàçíûìèïðèìåð,àìïëèòûäàìè,÷òîïðèìåðîì ñîñòîÿíèÿ òèïàñâîäèìîñòèñWè3êóáèòîâ,èëèåãîÿâëÿåòñÿäàåòàíàëîãñïðîñòåéøèì(è óíèâåðñàëüíûì â ñìûñëåïðèìåíåíèåìîäíî÷àñòè÷íûõóíèòàðíûõîïåðàòîðîâ, çàïóòûâàíèé îòäåëüíûõ êóáèòîâ ñ àíöèëëàìèè èçìåðåíèé, ò.í.
LOCC- ñâîäèìîñòè).Òåïåðüòèïà.ÝòîñîñòîÿíèþåãîìîæíîåñëèîáðàòèìñÿñîñòîÿíèåêîáùåìóíåíèêàêèìèLOCCòðàêòîâàòüðàññìàòðèâàòüêîíôèãóðàöèîííîãîìîæåòêàêâèäóáûòü-îïåðàöèÿìè.îäíî÷àñòè÷íîåêàæäûéêóáèòïðîñòðàíñòâà.ïðèêóáèòîâîìïðåäñòàâëåíèèìûäîãîâàðèâàëèñüêîíôèãóðàöèîííîãîêÎäíàêîñîñòîÿíèå,êàêýëåìåíòÍàïîìíèì,âîëíîâîéêîäèðîâàòüïðîñòðàíñòâàWGHZñîñòîÿíèÿñâåäåíîêóáèòàìèâòîì÷òîôóíêöèèòî÷êèñìûñëå,÷òîêàæäûé ñëåäóþùèé êóáèò áûë óòî÷íåíèåì â äâà ðàçàïîëîæåíèÿÀòåïåðüòî÷êèìûêîíôèãóðàöèîííîãîâðåìåííîïðèìåìïðîñòðàíñòâà.èíîåñîãëàøåíèå:êàæäûé êóáèò áóäåì îòîæäåñòâëÿòü èìåííî ñ òî÷êîéêîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà, âçÿòîé ñ ïðåäåëüíîéâîçìîæíîé òî÷íîñòüþ.
Ýòî ñîãëàøåíèå áóäåò ñîâåðøåííîèíûì. Íî òîãäà, ñêàæåì, áàçèñíîå ñîñòîÿíèåîçíà÷àòü íàõîæäåíèå ÷àñòèöû â òî÷êåñâîáîäíû), ñîñòîÿíèå|010i1|100iáóäåò(à òî÷êè 2 è 3îçíà÷àåò íàõîæäåíèå ÷àñòèöûâ òî÷êå 2 (à òî÷êè 1 è 3 ñâîáîäíû), è ò.ä. Òîãäà ñîñòîÿíèåGHZòèïà âèäà (1.14) áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü âîëíîâîékPôóíêöèè îäíîé ÷àñòèöû âèäàλj |ji.j=132Çàïóòàííûå ñîñòîÿíèÿ èãðàþò öåíòðàëüíóþ ðîëü âêâàíòîâîé òåîðèè ìíîãèõ ÷àñòèö.
Íàïðèìåð, áåç íèõ íåâîçìîæíî äàòü îïèñàíèå õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé.1.3.1Ìîäåëèðîâàíèå êâàíòîâûõ ñèñòåìÒåïåðü îáðàòèìñÿ ê çàäà÷å êâàíòîâîãî ìîäåëèðîâàíèÿôèçè÷åñêèõ ñèñòåì. Ýòî êàê ðàç è åñòü òà çàäà÷à, êîòîðóþèìåëââèäóÐ.Ôåéíìàí,âûäâèãàÿèäåþêâàíòîâîãîêîìïüþòåðà. Ñîñòîÿíèå ìíîãî÷àñòè÷íîé ñèñòåìû ìîæåòáûòüîïèñàíîôèçè÷åñêèõñêîðîñòè,íàáîðîìâåëè÷èí,âðåìÿ÷èñåë,òàêèõèò.ä.âûðàæàþùèõêàêÝòèìàññû,÷èñëàçíà÷åíèåêîîðäèíàòû,(âîòëè÷èåîòàìïëèòóä) âåùåñòâåííûå.
Áîëåå òîãî, ïðè íàäëåæàùåìîãðàíè÷åíèèèçìåðÿþùåãîîáëàñòèðàññìîòðåíèÿèðàçðåøèìîñòèïðèáîðàìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå îíèl, ãäå n ðàçóìíîé âåëè÷èíûïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå2n÷èñëî.Òîãäàáàçèñíîåñîñòîÿíèåðàññìàòðèâàåìîéìíîãî÷àñòè÷íîéñèñòåìûìîæíîïðåäñòàâèòüêàêáàçèñíûé æå âåêòîð â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé êâàíòîâîéïàìÿòè èçn êóáèò. Ñîîòâåòñòâåííî, ëèíåéíîé êîìáèíàöèèáàçèñíûõ ñîñòîÿíèé èçó÷àåìîé ñèñòåìû áóäåò îòâå÷àòüñîñòîÿíèåêâàíòîâîãîàìïëèòóäàìè.äëÿêîìïüþòåðàÊóáèòûìîäåëèðóåìîéõàðàêòåð,ò.å.åñòåñòâåííîãîêâàíòîâîììûíàøåãîñèñòåìûíåìîæåìôèçè÷åñêîãîêîìïüþòåðå,ñòî÷íîêâàíòîâîãîíîñÿòêîòîðûéæåâèðòóàëüíûéïðèïèñàòüñìûñëà.òàêèìèêîìïüþòåðàèìÎäíàêîáóäåòíèêàêîãîâíàøåììîäåëèðîâàòüèçó÷àåìóþ ñèñòåìó, ýòî ðåàëüíûå, ôèçè÷åñêèå êóáèòû.Òàêîéïîäõîäêîïèñàíèþôèçè÷åñêèõñèñòåììîæíîíàçâàòü êóáèòîâûì.
Ìû óâèäèì, ÷òî òàêîé ïîäõîä êîïèñàíèþôèçèêè÷åìòðàäèöèîííûéïðè÷èñëåííîìïðèíöèïèàëüíîáèòîâûéïîäõîä,ìîäåëèðîâàíèè33áîëååýôôåêòèâåí,èñïîëüçóåìûéìíîãî÷àñòè÷íûõïðîöåññîâíàêëàññè÷åñêèõêîìïüþòåðàõ.Äëÿýòîãîïîïðîáóåì ðåøèòü íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå óðàâíåíèåØðåäèíãåðà. Çäåñü ñíîâà êëþ÷åâóþ ðîëü áóäåò èãðàòüáûñòðîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, íî èñïîëüçîâàòüñÿ áóäåòíåìíîãî èíîå åãî ñâîéñòâî, ÷åì ðàíüøå. Ýòî ñâîéñòâîñîñòîèòâòîì,îïåðàöèþ÷òîïðåîáðàçîâàíèåäèôôåðåíöèðîâàíèÿâÔóðüåîïåðàöèþïåðåâîäèòóìíîæåíèÿíà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ ñ ìíèìûì êîýôôèöèåíòîì.Òàêèì îáðàçîì, åñëè ïðèìåíèòü åãî ê âîëíîâîé ôóíêöèè,ïîëó÷èòñÿ, ÷òî îïåðàòîð äâîéíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ,âõîäÿùèéîáðàçàêâàäðàòñâôóíêöèèíåçàâèñèìîéíåêèì÷òîÃàìèëüòîíèàí,âîëíîâîéêàêôèçèêàì,èìïóëüñ.âðó÷íóþðàáîòàåòÍàäîóáåäèòüñÿ,ëèøüîáëàäàåòàýòàÝòàèäëÿ÷òîýòîãîÔóðüåíàÔóðüå-îáðàçàõîðîøîâîëíîâîåêâàíòîâîãîêâàíòîâîåàíàëîãè÷íûìäëÿóìíîæåíèÿïåðåìåííàÿèäåÿ,ðåøàþùèìâåëèêîëåïíîÔóðüåîïåðàòîðïåðåìåííîéêîýôôèöèåíòîì,èíîåïðåâðàòèòñÿâåñòüíåèçâåñòíàÿóðàâíåíèå,êîìïüþòåðà.ïðåîáðàçîâàíèåñâîéñòâîì,ñâÿçàííûìñîïåðàöèåé äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (äëÿ íàøåãî êâàíòîâîãîñèìóëÿòîðàðîëüñîîòâåòñòâóþùàÿèçòîãî,÷òîíàñòîÿùåãîQFTäèôôåðåíöèðîâàíèÿêîíå÷íàÿÿâëÿåòñÿïðåîáðàçîâàíèÿðàçíîñòü).áóäåòèãðàòüÝòîñëåäóåòïðèáëèæåíèåìÔóðüåïðèîïåðàòîðàïåðåõîäåêêóáèòîâîìó ïðåäñòàâëåíèþ âîëíîâîé ôóíêöèè.Íàøåéêâàíòîâîãîöåëüþáóäåòêîìïüþòåðà,ïîëó÷åíèåñîñòîÿíèÿñîîòâåòñòâóþùåãîíàøåãîñîñòîÿíèþèçó÷àåìîé ñèñòåìû â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíèt.Íàìíóæíî ñ ïîìîùüþ ðàáî÷èõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèáëèçèòüäåéñòâèåîïåðàòîðàýâîëþöèèe−iHt/h íà âîëíîâóþp2, Hx = V (x), p =ôóíêöèþ ψ0 , ãäå H = Hp + Hx , Hp =2mh ∂è ïîòåíöèàë V (x) åñòü âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ.
Äëÿi ∂xïðîñòîòû âîçüìåì âðåìÿ t ðàâíûì åäèíèöå. Ðåàëèçîâàòüíà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå äåéñòâèå34Hxïðîñòî. Ïîñêîëüêóìàòðèöà ýòîãî îïåðàòîðà (à çíà÷èò èeiHx )äèàãîíàëüíà,äëÿ ýòîãî íàäî âñåãî ëèøü èçìåíèòü ôàçû â çàâèñèìîñòèîò âèäà áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé, - à ýòî äåëàåòñÿ ïðèìåðíîòàê æå, êàê èíâåðñèÿ íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ â àëãîðèòìåÃðîâåðà. Îäíàêî ñî âòîðûì ñëàãàåìûì Ãàìèëüòîíèàíà ýòîíå ïðîéäåò. Òðóäíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îïåðàòîðHpíå áóäåò äèàãîíàëüíûì â âûáðàííîì íàìè êîîðäèíàòíîìáàçèñå. Îäíàêî ìû óæå çíàåì, êàê ñâåñòè äåëî ê ïðîñòîìóäèàãîíàëüíîìóñëó÷àþ:íàäîïåðåéòèêèìïóëüñíîìóáàçèñó, èíûìè ñëîâàìè, ñîâåðøèòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå- à ýòî ó íàñ î÷åíü õîðîøî ïîëó÷àåòñÿ. Äëÿ ýòîãî âûáåðåììàëåíüêèé èíòåðâàë âðåìåíè∆t ïðåäñòàâèì ïðèáëèæåííîíàø ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð ÷åðåç ôîðìóëó Òðîòòåðà:e−iH ≈ (e−iHx ∆t e−iHp ∆t )1/∆t .Âñïðàâåäëèâîñòèðàñêëàäûâàÿýòîéôîðìóëûýêñïîíåíòóâêîîðäèíàòíûé áàçèñ, òàê ÷òîëåãêîðÿä.Hx(1.16)óáåäèòüñÿ,Ìûâûáðàëèèìååò äèàãîíàëüíûéâèä.ÏðèìåíÿÿêâàíòîâîåïðåîáðàçîâàíèåÔóðüå:R +∞ −ipxQFT : f −→ −∞ ef (x) dx è åãî ñâîéñòâî ïåðåâîäèòüäèôôåðåíöèðîâàíèå ∂/∂x â óìíîæåíèå íà ip, ìû ìîæåìïðåäñòàâèòü äåéñòâèå èìïóëüñíîé ÷àñòè îïåðàòîðà êàê2e−iHp = FT−1 e−ip ∆t/2m FT, ãäå ñðåäíèé îïåðàòîð èìååòäèàãîíàëüíûé âèä.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
