Д.А. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский - Квантовая информатика и квантовый компьютер (1156791), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

[?]), è òîãî,÷òî QFT ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíîé âåðñèåé ïðåîáðàçîâàíèÿÔóðüå).21). Íàéòè áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé, â êîòîðîéîïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè äèàãîíàëåí. (Óêàçàíèå:èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 20).Ðàññìîòðèì ñèñòåìó 2 êóáèòîâ. Èçìåðåíèå êàæäîãîèç íèõ ìîæåò äàòü 0 èëè 1. Ïîýòîìó ó ñèñòåìû åñòü 4êëàññè÷åñêèõ ñîñòîÿíèÿ: 00, 01, 10 è 11. Àíàëîãè÷íûå èìáàçîâûå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ:|00i, |01i, |10i, |11i.È íàêîíåö, îáùåå êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû èìååò âèä|Ψi = a|00i + b|01i + c|10i + d|11i.|a|2 âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü â ðåçóëüòàòå2222èçìåðåíèÿ |00i, è ò.ä. Îòìåòèì, ÷òî |a| +|b| +|c| +|d| = 1Òåïåðüêàê ïîëíàÿ âåðîÿòíîñòü.Åñëè ìû èçìåðèì òîëüêî ïåðâûé êóáèò êâàíòîâîéñèñòåìû, íàõîäÿùåéñÿ â ñîñòîÿíèè |Ψi, ó íàñ ïîëó÷èòñÿ:221) ñ âåðîÿòíîñòüþ p0 = |a| +|b| ïåðâûé êóáèò ïåðåéäåòâ ñîñòîÿíèå|0ià âòîðîé - â ñîñòîÿíèå1p(a|0i + b|1i),2|a| + |b|2432) ñ âåðîÿòíîñòüþâ ñîñòîÿíèå|1ip1 = |c|2 +|d|2 ïåðâûé êóáèò ïåðåéäåòà âòîðîé - â ñîñòîÿíèå1p(c|0i + d|1i).|c|2 + |d|2 ïåðâîì ñëó÷àå èçìåðåíèå äàñò ñîñòîÿíèå|Ψ0 i = |0i1p(a|0i + b|1i),|a|2 + |b|2Oâî âòîðîì - ñîñòîÿíèå|Ψ1 i = |1iÌûñíîâàíåâîçìîæíîâèäèì,÷òîíàðåçóëüòàòêàêñîñòîÿíèé.íàøåïîëó÷èòñÿ1p(c|0i + d|1i)|c|2 + |d|2çàïèñàòüïðîñòðàíñòâåó÷àñòâóåòOÒàêîåíåçíàíèåïåðâîìòàêîãîâåêòîðîèçìåðåíèÿãèëüáåðòîâîìñîñòîÿíèå,òîì,êóáèòå,âêàêîéâæåíàçûâàþòêîòîðîìðåçóëüòàòñìåøàííûìñîñòîÿíèåì.

 íàøåì ñëó÷àå òàêîå ñìåøàííîå ñîñòîÿíèåíàçûâàþò ïðîåêöèåé èñõîäíîãî ñîñòîÿíèÿ|Ψiíà âòîðîéêóáèò, è çàïèñûâàþò â âèäå ìàòðèöû ïëîòíîñòè âèäàρ2 = p0 ρΨ0 + p1 ρΨ1 ãäå ìàòðèöà|ψihψ|.ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèÿ|ψiîïðåäåëÿåòñÿ êàêÐàññìîòðèìñëåäóþùóþñèòóàöèþ.ÓíàñèìååòñÿA, ïðî êîòîðîå ìû çíàåì, ÷òî äëÿ êàæäîãîj = 1, 2, . .

. , k ñ âåðîÿòíîñòüþ pj îíî ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåì|Ψij äëÿ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ñïèñêà ñîñòîÿíèé{|Ψij , j = 1, 2, . . . , k}. Òàêîå ñîñòîÿíèå ìîæíîñîñòîÿíèåïðåäñòàâèòü ñåáå êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ïðèíèìàþùóþçíà÷åíèÿ|Ψijñ âåðîÿòíîñòÿìèpj .Òàêèì îáðàçîì,Aíåÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé.Òàêîåñîñòîÿíèåíàçûâàþòñìåøàííûì,âîòëè÷èåîò÷èñòûõ ñîñòîÿíèé - ýëåìåíòîâ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà.44Èìåÿèìååìñìåøàííîåñîñòîÿíèå,íåêîòîðîå÷èñòîåìû,âäåéñòâèòåëüíîñòè,ñîñòîÿíèå,ïðîñòîìûíåçíàåì, êàêîå èìåííî, è ñìåøàííîñòü ñîñòîÿíèÿ ìîæíîòðàêòîâàòüïëîòíîñòèêàêìåðóñìåøàííîãîíàøåãîíåçíàíèÿ.AñîñòîÿíèÿïîÌàòðèöàîïðåäåëåíèþðàâíàXpj ρ Ψ j .jÌàòðèöûêâàíòîâóþïëîòíîñòèìåõàíèêóáûëèâïåðâûåË.Ä.Ëàíäàóââåäåíû(ïîçæåòàêæåâÄæ.ôîí Íåéìàíîì). Èõ ðîëü ñîñòîèò â òîì, ÷òî âñå âûâîäûêâàíòîâîéòåîðèèìîæíîñôîðìóëèðîâàòüòîëüêîíàÿçûêå ìàòðèö ïëîòíîñòåé.22). Íàïèñàòü îáùèé âèä ìàòðèöû ïëîòíîñòè|ΨhiΨ|ñîñòîÿíèÿ|Ψi nρΨ =êóáèòîâ.

Êàêîé ñìûñë èìåþòäèàãîòàëüíûå ýëåìåíòû ýòîé ìàòðèöû?23). Ïóñòü ñîñòîÿíèåÿâëÿåòñÿðåøåíèåìóðàâíåíèå,ïëîòíîñòèóðàâíåíèÿêîòîðîìóρΨ (t).|Ψ(t)içàâèñèò îò âðåìåíè, èØðåäèíãåðà.ïîä÷èíÿåòñÿ(Óêàçàíèå:Íàïèñàòüåãîäîêàçàòü,÷òîìàòðèöàôîðìóëàäèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íàìàòðèöû è èñïîëüçîâàòü åå äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ íàìàòðèöó ïëîòíîñòè.)24). Âåðíî ëè, ÷òî åñëè äâà (ñìåøàííûõ) ñîñòîÿíèÿèìåþò îäèíàêîâûå ìàòðèöû ïëîòíîñòè, òî ìû íå ìîæåìíèêàêèìè ýêñïåðèìåíòàìè îòëè÷èòü èõ äðóã îò äðóãà?Ïîä ýêñïåðèìåíòîì ïîíèìàåòñÿ âûäà÷à ýêñïåðèìåíòàòîðóðåàëüíîé ñèñòåìû, íàõîäÿùåéñÿ â çàäàííîì ñîñòîÿíèè,è ïîñëåäóþùèå äåéñòâèÿ ýêñïåðèìåíòàòîðà íàä äàííîéñèñòåìîé.(Óêàçàíèå:äàòüðàçëè÷íûåóòî÷íåíèÿýòîéîáùåé ôîðìóëèðîâêè, è ðàññìîòðåòü óíèòàðíûå ýâîëþöèè- ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, è èçìåðåíèÿ.)25).

Äîêàçàòü, ÷òî îáùèé ôàçîâûé ìíîæèòåëüexp(iφ)äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ êâàíòîâîé ñóïåðïîçèöèè íå èìååò45ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà. (Èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàò çàäà÷è 24).26).Åñòüëèôèçè÷åñêèéñìûñëâïðèáàâëåíèèêîíñòàíòû ê ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè? ×òî ýòà îïåðàöèÿîçíà÷àåòíàóðîâíåìàòðè÷íîéçàïèñèóðàâíåíèÿØðåäèíãåðà?27). ÐàññìîòðèìN-ìåðíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâîñîñòîÿíèé. Êàê çàïèñàòü áàçèñíîå ñîñòîÿíèåïðîñòðàíñòâà, ãäåêîîðäèíàò?Êàêj ∈ {0, 1, . . .

, N − 1}çàïèñàòüâ(Óêàçàíèå: íàäî, ÷òîáû âûðàæåíèåáûñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèåñîñòîÿíèéèç ýòîãîâ âèäå ñòîëáöàìàòðè÷íîéhj|?|jiôîðìåîáúåêòhj|ki îáîçíà÷àëî|ji è |ki; íàäîïðèìåíèòü îïðåäåëåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèèÿ - ñì.çàäà÷è 1 è 2). Êàê çàïèñàòü â äèðàêîâñêèõ îáîçíà÷åíèÿõìàòðèöó ïëîòíîñòè ÷èñòîãî ñîñòîÿíèÿ|Ψi?28). Âåðíî ëè, ÷òî ìàòðèöà ïëîòíîñòè âñåãäà ÿâëÿåòñÿýðìèòîâîé?ìàòðèöûÊàêîâêàíîíè÷åñêèéïëîòíîñòè÷èñòîãî(äèàãîíàëüíûé)ñîñòîÿíèÿ?âèäÑìåøàííîãîñîñòîÿíèÿ? Ïðèâåñòè àëãîðèòì, ðàñïîçíàþùèé ÷èñòîòóñîñòîÿíèÿ ïî çàäàííîé åãî ìàòðèöå ïëîòíîñòè.29).

×åìó ðàâåí ñëåä ìàòðèöû ïëîòíîñòè? Îáîñíîâàòüîòâåò. (Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü ïðàâèëî Áîðíà è àêñèîìûâåðîÿòíîñòè).30). Äîêàçàòü ôîðìóëótrace |ΨihΦ| = hΦ|Ψi.31). Íàáëþäàåìîé íàçûâàåòñÿ ëþáîé ýðìèòîâ îïåðàòîðH.ÊàêîïðåäåëèòüíàáëþäàåìîéHïîíÿòèåâ ñîñòîÿíèèhHiΨñðåäíååçíà÷åíèÿ|Ψi? (Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòüíàáîð ñîáñòâåííûõ ÷èñåë).32).Äîêàçàòütrace (HρΨ ).ôîðìóëóhHi=trace (ρΨ H)=(Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 31). Êàêâû÷èñëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå íàáëþäàåìîé â ñìåøàííîìñîñòîÿíèè?33). Âåðíî ëè, ÷òî ïî ìàòðèöå ïëîòíîñòè ñìåøàííîãîñîñòîÿíèÿîäíîçíà÷íîêîìïîíåíòû?âîññòàíàâëèâàþòñÿÎáîñíîâàòüîòâåò.46Êàêîååãî÷èñòûåóñëîâèåíàäîíàëîæèòüíà÷èñòûåêîìïîíåíòû,÷òîáûèõìîæíîáûëî âîññòàíîâèòü îäíîçíà÷íî? (Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòüòåîðåìóîïðèâåäåíèèëþáîéýðìèòîâîéìàòðèöûêêàíîíè÷åñêîìó âèäó).Ðàññìîðèì äâà ïðîñòðàíñòâàâíèõîðòîíîðìèðîâàííûåAB,èè çàôèêñèðóåìa1 , a2 , .

. . , aNáàçèñûèb1 ,Nb2 , . . . , bM . Òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì ýòèõ ïðîñòðàíñòâA B íàçûâàåòñÿëèíåéíàÿîáîëî÷êàôîðìàëüíûõNâûðàæåíèé aibj , i = 1, 2, . . . , N, j = 1, 2, . . . , M ,êîòîðûåñ÷èòàþòñÿîðòîíîðìèðîâàííûìòåíçîðíîì ïðîèçâåäåíèè. Óñëîâèìñÿ, ÷òî çíàêáàçèñîìNâîáëàäàåòñâîéñòâàìè àññîöèàòèâíîñòè, è ïî îòíîøåíèþ ê ñëîæåíèþäèñòðèáóòèâíîñòüþ.ñîñòîÿíèéÒîãäàā ∈ A è b̄ ∈ BòåíçîðíûìíàçûâàåòñÿNāïðîèçâåäåíèåìb̄ ∈ ANB . Òàêîåñîñòîÿíèå íàçûâàåòñÿ íå çàïóòàííûì.îïåðàòîðîâA è BNA NB , äåéñòâóþùèéíà áàçèñíûåNNïðàâèëó: ABai bj = A(ai ) B(bj ).Òåíçîðíûìïðîèçâåäåíèåìíàçûâàåòñÿ îïåðàòîðâåêòîðàÝòèïîîïðåäåëåíèÿåñòåñòâåííîïåðåíîñÿòñÿíàñëó÷àéíåñêîëüêèõ ïðîñòðàíñòâ.Ïðèèñïîëüçîâàíèèäèðàêîâñêèõîáîçíà÷åíèéçíàêòåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ÷àñòî îïóñêàåòñÿ.34).Ñóùåñòâóþòëèçàïóòàííûåñîñòîÿíèÿ?Îáîñíîâàòü îòâåò.35).

Ïóñòüîáùèéâèä.ïëîòíîñòèρ1|Ψi- ñîñòîÿíèå 2 êóáèòîâ. Íàïèñàòü åãîÍàïèñàòü,êàêáóäåòâûãëÿäåòüìàòðèöàñìåøàííîãî ñîñòîÿíèÿ ïåðâîãî êóáèòà ïîñëåèçìåðåíèÿ âòîðîãî. Äîêàçàòü, ÷òîρ1ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåéïëîòíîñòè ÷èñòîãî ñîñòîÿíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàñîñòîÿíèå36).|Ψiáûëî íå çàïóòàííûì.Îïåðàòîðíàçûâàåòñÿíåçàïóòûâàþùèì,åñëèîí ïåðåâîäèò íå çàïóòàííûå ñîñòîÿíèÿ äâóõ êóáèòíîéñèñòåìûíåâíåçàïóòàííûå.çàïóòûâàþùèéîïåðàòîð47Âåðíîäëÿ2ëè,÷òîêóáèòîâëþáîéÿâëÿåòñÿòåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì?36).Îïåðàòîð|x yi −→ |x xLCNOT(controlyi, x, y ∈ {0, 1},not)Läåéñòâóåòòàê:åñòü ñëîæåíèå ïîìîäóëþ 2.

Áóäåò ëè ýòîò îïåðàòîð çàïóòûâàþùèì? Áóäåòëè îí òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì? Íàïèñàòü åãî ìàòðèöó.Àíàëîãè÷íûå âîïðîñû ïðî îïåðàòîð Òîôôîëè íà òðåõêóáèòàõ:L|x y zi −→ |x y z xyi.36). Ïóñòü |Ψi - íå çàïóòàííîå ñîñòîÿíèå äâóõ êóáèòîâ,îäèí èç êîòîðûõ íàõîäèòñÿ â ðàñïîðÿæåíèè Àëèñû, àäðóãîé - ó Áîáà. Ìîæåò ëè Áîá áåç îáìåíà èíôîðìàöèåé ñÀëèñîé îïðåäåëèòü, êàêèå äåéòñâèÿ (óíèòàðíûå îïåðàöèèè èçìåðåíèÿ) îíà äåëàåò íàä ñâîéì êóáèòîì? Èçìåíèòñÿëè âûâîä, åñëè ó Àëèñû è Áîáà åñòü åùå äîïîëíèòåëüíûåêóáèòû (êîòîðûìè îíè íå ìîãóò îáìåíèâàòüñÿ), êîòîðûåîíè ìîãóò çàïóòûâàòü ñ îñíîâíûìè?37).ÏóñòüAèBçàäàíûìàòðèöàìè.Íàïèñàòüêîðîòêóþ ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöûèõ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.

Îáîáùèòü ýòó ôîðìóëó íàñëó÷àé ìíîãèõ êóáèòîâ.38). Íàïèñàòü ìàòðèöó îïåðàòîðà Àäàìàðà H :√1 (|0i + |1i), |1i −→ √1 (|0i − |1i).2239)*. Îïåðàòîð Óîëøà Àäàìàðà Wåñòüòåíçîðíàÿ ñòåïåíüH|0i −→n-ÿ(÷òî ýòî òàêîå è ïî÷åìó ýòî ïîíÿòèåêîððåêòíî?). Âûïèñàòü êîðîòêóþ ôîðìóëó äëÿ ýëåìåíòîâìàòðèöûW.(Óêàçàíèå: Èñïîëüçóåì çàäà÷è 37) è 38) èðàññìîòðèì ýëåìåíòjwij .Íàïèñàòü ðàçëîæåíèå ÷èñåëièâ äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ è íàëîæèòü èõ äðóã íàäðóãà à ïîòîì ïîñ÷èòàòü ñêîëüêî ðàç åäèíèöà ïðèäåòñÿ íàåäèíèöó.)40). Ýêñïåðèìåíò íàä ñîñòîÿíèåì ñ íåêîòîðîé ìàòðèöåéïëîòíîñòè åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü øàãîâ, êàæäûé èçêîòîðûõïîëó÷àåòçàêëþ÷àåòñÿíîâóþâòîì,ñèñòåìó,48÷òîýêñïåðèìåíòàòîðíàõîäÿùóþñÿâäàííîìñîñòîÿíèè,àçàòåìïðîâîäèòíàäíåé(èíóëåâûìèàíöèëëàìè) íåêîòîðûå îïåðàöèè - óíèòàðíûå è èçìåðåíèÿ.Ïîñëåýòîãîìîæíîñòàòèñòè÷åñêèîáðàáîòàòüäàííûå,ïîëó÷åííûå íà âñåõ øàãàõ. Ìîæíî ëè îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêîîäíîêðàòíîéøàãå?âûäà÷åéÈíûìèäàííîãîñëîâàìè,áóäåòñîñòîÿíèÿëèòàêàÿ-íàïåðâîìîãðàíè÷åííàÿôîðìóëèðîâêà ýêâèâàëåíòíà ïåðâîíà÷àëüíîé? Îáîñíîâàòüîòâåò.41).Ñóùåñòâóåòëèîïåðàòîð U , òàêîéNN|Ψi U |Ψi |0i = |Ψi |Ψi?óíèòàðíûé÷òî äëÿ ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ(òåîðåìà î çàïðåòå êëîíèðîâàíèÿ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé).Ïðèìåíèòü ðåçóëüòàò ê çàäà÷å 40).Óïðîù¼ííàÿñõåìàâû÷èñëåíèÿêîìïüþòåðåâûãëÿäèòíàçàïèñûâàåòñÿêîòîðîéñîñòîÿíèåñèñòåìûïîñðåäñòâîìòàê:íà÷àëüíîåèëèáàçîâûõáåðåòñÿå¼íàêâàíòîâîìñèñòåìàñîñòîÿíèå.ïîäñèñòåìêâàíòîâûõêóáèòîâ,Çàòåìèçìåíÿåòñÿîïåðàöèé.Âêîíöåèçìåðÿåòñÿ çíà÷åíèå, è ýòî ðåçóëüòàò ðàáîòû êîìïüþòåðà.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ëþáîãî âû÷èñëåíèÿäîñòàòî÷íî äâóõ áàçîâûõ îïåðàöèé.

Характеристики

Список файлов книги