М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 166
Текст из файла (страница 166)
Доказательство обратного утверждения теоремы 12.15 получается путем рассуждений в обратном порядке. Пусть Ла -с Л„, так что р/, -с р, и, согласно теореме 12.13, существуют вероятности р и такие унитарные операторы У/, что ра = '), р/1//р Ц. Теперь предположим, что рэ обратимо (от этого ) предположения легко отказаться; см. упр. 12.20) и зададим операторы М для системы Алисы следующим образом: 12.5. Запутанность как физический ресурс 701 состояние ~у)~с), применяя локальные операции и классическую коммуникацию; после завершения преобразования Алиса и Боб вернут катализатор ~с) в банк.
Упражнение 12.22 (преобразование запутанности без классической связи). Предположим, что Алиса и Боб пытаются преобразовать чистое состояние )ей) в чистое состояние )у), используя только локальные операции (без классической коммуникации). Покажите, что это возможно тогда и только тогда, когда Ле Ы Л,р Э х, где х — некоторый действительный вектор с неотрицательными компонентами, в сумме дающими 1, а знак «ой» означает, что векторы слева и справа от него имеют одинаковые ненулевые компоненты. 12.5.2 Очищение и разбавление запутанности Предпол)ожим, что вместо одного состояния ф) Алиса и Боб имеют большое количество копий этого состояния.
Какие типы преобразования запутанности Алиса и Боб могут выполнить со всеми этими копиями? Мы уделим особое внимание двум специальным типам преобразования запутанности: очищению эапутанмоспзи и раэбавленпю запутанности. Идея очищения запутанности состоит в том, что Алиса и Боб должны преобразовать некоторое большое число копий какого-либо извеспюго чистого состояния ~ 9) в как можно большее количество копий состояния Белла ()00) + )11) )/з/2, используя локальные сзперации и классическую коммуникацию.
При этом требуется, чтобы они это сделали с большой степенью совпадения. Разбавление запутанности представляет собой обратный процесс, т. е. преобразование большого количества копий состояния Белла ООО) + )11))/тГ2 в копии состояния (зр) с использованием ЛОКК.
Что является причиной изучения очищения и разбавления запутанности? Предположим, что мы рассматриваем запутанность как физический ресурс. Тогда можно количественно определить запутанность подобно тому, как мы это делаем с другими физическими ресурсаыи, такими как энергия или энтропия. Пусть мы выбрали состояние Белла ()00) + )11))/з/2 в качестве стандартной единицы запутанности — основной меры, такой, квк стандартный килограмм или стандартный метр. Мы можем связать меру запутанности с квантовым состоянием )зр) так же, как мы связываем массу с предметом.
Предположим, например, что мы берем 15 шоколадных печений определенного сорта, вест которых равен стандартному килограмму; мы утверждаем, что одно шоколадное печенье весит 1/15 килограмма. Строго говоря, если одно шоколадное печенье весит 1/14,8 килограмма, мы были бы в некотором затруднении, поскольку нет такого целого числа шоколадных печений, которыми можно было бы уравновесить стандартный килограмм, и совсем не очевидно, как определить нецелое число шоколадных печений.
К счастью, мы замечаем, что 148 шоколадных печений точно уравновешивают 10 стандартных килограммов, так что вес одного шоколад«ого печенья равен 10/148 килограмма. Но что, если реальный здавее речь идет, на самом деле, о массе печенья, хотя используется более распростре пенное в быту слово «вес» — Прим ред 702 Глава 12. Квантовая теория информации )ф) = ~~' 1/Р7~)(ХА))ХВ).
(12.167) Мы обозначили возведенные в квадрат коэффициенты Шмидта через р(х), поскольку они имеют свойства распределений вероятностей (неотрицательны и сумма равна единице) и понятия теории вероятностей оказываются полезными для понимания очищения и разбавления запутанности. Можно записать ткратное тензорное произведение ~ 11р) ~ в виде ~Х1АХ2А...
ХпрА) ~Х1ВХ2В... ХпрВ) ° нр нр рн (12.168) Предположим, что мы определили новое квантовое состояние ~у ), пренебреГаа ВСЕМИ ЧЛЕНаМИ Х1,..., Хпр, КОТОРЫЕ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ Е-тнПНЧНЫМИ В тОМ СМЦСЛЕ, как определено в подразд. 12.2.1: М-) =- (Х1АХ2А. ХпрА)(Х1ВХ2В...ХпрВ) нн-ннпнчнан (12.169) Состояние ~упр) не является нормированным квантовым состоянием. Чтобы р , ррр ~р' ) = ~р )~р'~р ~~~. н.. . р р, типичных последовательностях степень совпадения Щр1р)В ,~рр )) р 1 при ш -р оо. Более того, из части 2 теоремы о типичных последовательностях количество членов в сумме (12.169) не превышает 2пР1В1п1нй+'> = 2 1ВопИ+'1, где р,р, — результат фиксирования Бобом его части состояния ~чар).
вес равен не 1/14,8 килограмма, а более экзотической величине, как, например, 1/14,7982... килограмма? Тогда мы просто приближаемся к пределу, при котором большое количество пч шоколадного печенья уравновешивает другое большое количество п стандартных килограммов, и утверждаем, что масса одного шоколадного печенья должна быть предельным отношением и/гп, когда и т, и п становятся очень большими. Аналогично, возможный подход к определению количества запутанности в чистом состоянии ф) состоит в следующем: задано большое число и состояний Белла ()00) + (11))/1/2 и нам предложено сделать как можно больше копий (с большой степенью совпадения), ~11р), используя локальные операции и классическую коммуникацию. Боли число копий ~р)р), которое можно произвести, равно та, то мы определяем предельное отношение и/п2 как запдшанность приготоеленил состояния ~ф). Предположив, что процесс при использовании ЛОКК протекает в противоположном направлении — от п2 копий ~р1р) к и копиям состояния Белла ц00) + )11) )/1/2, мы определим предельное отношение и/т как очпрцаемая запутпанность состояния р)р).
Совсем не очевидно, что эти два определения дают одно и то же число для количества запутанности; тем не менее, мы увидим, что для чистых состояний ~6р) запутанность приготовления и очищаемая запутанность — это фактически одно и то же! Рассмотрим простые протоколы для разбавления и очищения запутанности. Пусть запутанное состояние ф) имеет разложение Шмидта 12.5. Запутанность как физический ресурс 703 (8(р~)- ) <2 ". 1 — б (12.170) Вектор собственных значений р„ мажоризуется вектором (2 ", 2 ",..., 2 ") и, следовательно, согласно теореме 12.5, состояние ~~р' ) может быть преобразовано в и состояний Белла путем использования локальных операций и классической коммуникации.
Из формулы (12.170) видно, что это возможно при условии п = тЯ(р,ь), и, следовательно, запутанность очищения не меньше ~(рэ). Мы представили стратегию очищения рг) в Я(рЭ) состояний Белла и разбавления Я(рэ) состояний Белла в копию ~ф). В самом деле, нетрудно увидеть, что описанные нами процедуры действительно позволяют оптимально осуществить разбавление и очищение запутанности! Предположим, например, что существует более эффективный протокол разбавления запутанности, позволяющий разбавить |ф) в Я > Я(рЭ) состояний Белла. Начиная с Я(рЭ) состояний Белла, Алиса и Боб могли бы сделать копию рг) с помощью уже описанного протокола, а затем использовать гипотетический протокол для приготовления Я состояний Белла. Таким образом, используя локальные операции и классическую коммуникацию, Алиса и Боб могли бы преобразовать Я(рэ) состояний Белла в Я ) Я(рЭ) состояний Белла! Нетрудно убедиться (см.
упр. 12,24), что, используя локальные операции и классическую коммуникацию, невозможно Теперь предположим, что Алиса и Боб разделяют и = т(Я(рф) + е) состояний Белла. Алиса локально приготавливает «обе части» ~у,'„), а затем использует состояния Белла, которые она разделяет с Бобом, для телепортации Бобу принадлежащей ему половины состояния ~~р' ).
Таким образом, Алиса и Боб могут разбавить свои п состояний Белла, чтобы получить |у,'„), которое является очень хорошей аппроксимацией )э')э"'. Эта процедура разбавления запутанности дает и = го(Я(ре) + с), так что отношение и/т стремится к Я(рэ) + ю Мы можем выбрать е сколь угодно малым, поэтому делаем вывод, что запутанность приготовления состонния )ф) не больше, чем Я(рэ), поскольку мы только что показали, что Я(ре) состояний Белла могут быть (асимптотически) преобразованы в одну копию ~ф).
Протокол очищения запутанности для преобразования копий ф) в состояния Белла строится аналогичным образом. Предположим, что Алиса и Боб разделяют т копий ~ф). Производя измерение, проектирующее на е-типичное подпространство для рэ, Алиса может с большой степенью совпадения преобразовать состояние ~ф)8™ в состояние ~у' ). Наибольший коэффициент Шмидтав ~<р ), не превышает 2 еЦз~~'> '~, в соответствиисопределением типичных последовательностей. В нормированном состоянии )<р'„,) коэффициенты Шмидта больше (но не более, чем в 1/~/à — 6 рэз), поскольку, согласно теореме о типичных последовательностях, величина 1 — б является нижней границей вероятности того, что последовательность э-типичная, и может быть сколь угодно близка к 1 для достаточно больших т. Таким образом, наибольшее собственное значение матрицы состояния рг не превышает 2 ~а<ЩР~> '/(1 — б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
