М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 165
Текст из файла (страница 165)
Тогда Ру = (хг, Уз, ° , Уз-г~(1 г)Уг + 1уу, Уз+г ° ° ~ Уи+г). (12.166) 12.5. Запутанность как физический ресурс 697 Пусть х':— (хг,...,хе+1) и у' = (уг,...,у м(1 — $)у1 + 1у,у+ы...,уз+1). В упр. 12.19 предлагается показать, что х' -~ у'. Из предположения индукции х' = ~г р, 'Р'у' для вероятностей ру и перестановочных матриц Р', откуда х = (~ р,'Р')Ру, где Р,' расширены до размерности д+1 (они действуют тривиально на первый элемент).
Поскольку Р = (Ф1+ (1 — 8)Т) и произведение перестановочных матриц есть перестановочная матрица, получаем искомый результат. ЪГпражнение 12.19. Проверьте, что х' -С у'. Наоборот, предположим, что х = ч, р, Р у. Ясно, что Рзу ~ у, и из упр. 12.18 следует, что х = ),.р.Р у -С у. Матрицы, которые являются выпуклыми комбинациями перестановочных матриц, обладают многими интересными свойствами. Заметим, например, что элементы такой матрицы должны быть неотрицательными, а каждая строка и каждый столбец матрицы должны в сумме давать единицу.
Матрица с такими свойствами называется дважды стохастической матрицей. Согласно теореме Биркгофа, дважды стохастические матрицы в точности соответствуют матрицам, которые можно представить как выпуклые комбинации перестановочных матриц. Мы не будем здесь доказывать теорему Биркгофа (см.
равд. «История и дополнительная литература» в конце главы), ограничимся лишь ее формулировкой. Теорема 12.12 (теорема Биркгофа). Матрица Р размерности д х д является дважды стохастической (т. е. имеет неотрицательные элементы и сумма элементов каждой строки и сумма элементов каждого столбца равны 1) тогда и только тогда, когда Р можно представить в виде выпуклой комбинации перестановочных матриц Р = '),. руРу. Из теоремы Биркгофа и утверждения 12.11 следует, что х -с у тогда и только тогда, когда х = Ру для некоторой дважды стохастической матрицы Р. Этот результат позволяет доказать замечательноеи полезное операторное обобщение утверждения 12.11. Пусть Н и К вЂ” два эрмитовых оператора.
Мы говорим, что Н .с К, если Л(Н) -с Л(К), где Л(Н) — вектор собственных значений эрмнтова оператора Н. Теорема 12.13. Пусть Н и К вЂ” эрмитовы операторы. Н -с К тогда и только тогда, когда существует распределение вероятностей ру и унитарные матрицы Уу такие, что Н=~ резаки~ (12.156) Л(Н) = ~ рзРуЛ(К)Р,.'. (12.157) Доказательство. Пусть Н -С К. Тогда из утверждения 12.11 следует, что Л(Н) = ~), р, Р Л(К). Пусть Л(Н) обозначает диагональную матрицу, элементы которой являются собственными значениями Н. Тогда векторное уравнение Л(Н) = 2; руР, Л(К) может быть записано в виде 698 Глава 12.
Квантовая теория информации Но Н = Ъ~А(Н)У1 и Л(К) = И'КИг1 для некоторьгх унитарных матриц У и И', так что Н = 2,. р Р,.НуК0~, где У ы ИР И' — унитарная матрица. Наоборот, предположим, что Н = 2', руУ~КУ . Также как и раньше, это эквивалентно Л(Н) =,> р~Ъ" А(К)У для некоторых унитарных матриц Ъ~. Записывая элементы матриц (у в виде Ъ",м, имеем Л(Н)„='~ рР,мЛ(К) Р",.',„= ~ р,У,,„('Л(К)ь (12.188) Введем матрицу П с элементами Рм = — 2., руЯ,м~~, так что Л(Н) = 0Л(К). Элементы матрицы Р неотрицательны по определению, и сумма элементов каждой строки и сумма элементов каждого столбца равна единице, поскольку строки и столбцы унитарной матрицы являются единичными векторами, т.
е. Ю вЂ” дважды стохастическая матрица и, следовательно, Л(Н) -с Л(К). ° Теперь мы располагаем всеми фактами, касающимися мажоризации, которые необходимы при изучении ЛОКК-преобразований запутанности чистого состояния системы из двух компонент. Прежде всего сведем проблему изучения общих протоколов с двусторонней классической связью к протоколам с односторонней классической связью. згтверждение 12.14.
Пусть |ф) может быть преобразовано в ~~р) посредством ЛОКК. Тогда это преобразование можно выполнить по протоколу, который включает только следующие этапы: Алиса проводит единственное измерение, которое описывается операторами измерения М, посылает полученный результат у Бобу, который применяет унитарный оператор У к своей системе.
Нз = х~~ Мяь!~АА)((А~. (12.159) м Предположим, что Боб выполняет измерение, описываемое операторами измерения М . Тогда состояние после измерения (ф ) М ~ф) Домазагпельсгпво. Без потери общности мы можем предложить протокол, который включает следующие этапы: Алиса проводит измерение, посылает полученный результат Бобу.
Выполнив измерение (которое может зависеть от информации, полученной от Алисы), Боб отправляет полученный результат Алисе, которая проводит измерение... и т. д. Идея доказательства — показать, что эффект любого измерения, которое выполняет Боб, может воспроизвести Алиса (с одним небольшим уточнением), так что все действия Боба могут быть на самом деле заменены действиями Алисы! Чтобы убедиться в этом, допустим, что Воб выполняет измерение, описываемое операторами Мз, над чистым состоянием ~4). Предположим, что это чистое состояние имеет разложение Шмидта ф) = С~ ~/Лц1л)~1в). Введем операторы Ю~, действующие на систему Алисы, которые имеют такие же матричные элементы в базисе (~(л)1, что и операторы Боба М в базисе Ц1в)), т.
е., если Мз = 2 и Мхм(йл) ((в ~, то 12.5. Запутанность как физический ресурс 699 Еы М~,м~/Л01л))йв) с вероятностью 2 ы Л~(М и(з. С другой стороны, если Алиса делает измерение, описываемое операторами И~, то состояние после измерения )у~) Ауф) = ~ы М,ы~/Х~~йд))1з) с вероятностью ,'Сы Л~(Мяы(з. Отметим, что состояния )61) и )<ру) переходят друг в друга при отображении )/сл) +-~ ~йп), и, следовательно, должны иметь одни и те же компоненты Шмидта. Из упр.
2.80 следует, что существуют унитарный оператор Уу, действующий на систему Алисы, и оператор Р', действующий на систему Боба, такие, что фу) = (Уз З Ъ~) ~~Р1). Следовательно, измерение, описываемое операторами Му, которое выполняет Боб, эквивалентно измерению Алисы, описываемому операторами У~Фу, с последующим выполнением Бобом унитарного преобразования $'. Таким образом, измерение Боба над известным чистым состоянием может быть промоделировано с помощью измерения, выполняемого Алисой, и унитарного преобразования, которое производит Боб.
Пусть Алиса и Боб выполняют протокол из нескольких циклов, преобразующий )у) в ~ф). Без потери общности можно предположить, что первый цикл протокола состоит в выполнении Алисой измерения и посылке полученного результата Бобу. Второй цикл включает выполнение Бобом измерения (возможно, зависящего от результата измерения Алисы) и посылку полученного результата Алисе. Вместо етого, однако, мы можем предположить, что это измерение моделируется посредством измерения, которое выполняет Алиса, и унитарного преобразования, производимого Бобом. Действительно, мы можем заменить все измерения, производимые Бобом, и передачу информации от Боба к Алисе измерениями, выполняемыми Алисой, и унитарными преобразованиями, которые должен произвести Боб в зависимости от результатов измерений Алисы.
Наконец, все измерения, выполненные Алисой, могут быть объединены в одно измерение (упр. 2.67), результат которого определяет унитарное преобразование, выполняемое Бобом. Этот протокол обеспечивает точно такой же результат, как и исходный протокол с двусторонней связью. Теорема 12.16. Чистое состояние )ф) системы из двух компонент может быть преобразовано в другое чистое состояние ~ ~Р) при помощи ЛОКК тогда и только тогда, когда Ле -с Ля. Доказательство.
Предположим, что ~ф) может быть преобразовано в другое чистое состояние ~~Р) при помощи ЛОКК. Согласно утверждению 12.14, можно предположить, что это преобразование осуществляется посредством выполняемого Алисой измерения, описываемого с операторами М~, с последующей передачей полученного результата Бобу, который выполняет унитарное преобразование У . Алиса начинает с состояния рй и заканчивает состоянием р, независимо от результатов измерения, так что, мы должны иметь М1РФМ1 = р'Р (12.160) где рз — вероятность результата ~.
Из полярного разложения М /р,~ следует, что существует такое унитарное преобразование 1'", что (12.161) 700 Глава 12. Квантовая теория информации Умножение этого уравнения на сопряженное ему дает ,/р,,М,.М,,/р, = р,У/ р„1//. (12.162) Суммируя по у' и используя соотношение полноты 2, М М = 1, получаем (12.163) Му ГЯ =— %К~,'" (12.164) Чтобы убедиться, что эти операторы описывают измерение, нужно проверить соотношение полноты. Мы имеем М/ — — /р ррУ р~ и, следовательно, — 1/з М)М р- / ~'/~р Цр 1/) р~, / р- / р~р- / 1 (12.165) что является соотношением полноты. Предположим, что Алиса выполняет измерение, описываемое операторами М, получает при этом результат у и соответствующее состояние р/у) М.~ф).
Пусть р — приведенная матрица плотности, оютветствующая состоянию ~4~1), так что, используя (12.164), получаем (12.166) и, таким образом, ру = р, . Из упр. 2.81 следует, что Боб может преобразовать ~ф ) в ~ф, применяя подходящее унитарное преобразование Ъ'. 'Упражнение 12. 20. Покажите, что в доказательстве обратного утверждения теоремы 12.15 можно отказаться от предположения о том, что матрица ра обратима.
Упражнение 12.21 (катализ запутанности). Предположим, что Алиса и Боб разделяют пару четырехуровневых систем в состоянии )ф) = ~Я4~00) + ~ЛЩ11) + ~/0,Ц22) + ~/0,1~33). Покажите, что Алиса и Боб, применяя ЛОКК, не могут преобразовать это состояние в состояние (~р) = ~/0,5(00) + ~/О,Б~11) + ~/О,Я~22). Однако предположим, что сочувствующий банк хочет предложить им взаймы кашализаглор, запутанную пару кубитов в состоянии )с) = ~/0,6(00)+ ~/6Я~11). Покажите, что Алиса и Боб могут преобразовать состояние ~ф) ~с) в откуда ЛЭ -С Л„согласно теореме 12.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
