М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 163
Текст из файла (страница 163)
Теоретико-информационное условие обратимости, а имени'ь' но р = р З р, в этом случае можно представить как рн~~' = рн З р~'. Таким образом, система Я. и подсистема !) и ошибки в которой могут быть исправлены, должны быть изначально некоррелированы, чтобы было возможно исправление ошибок! Упражнение 12.14. Покажите, что условие рн~' = ри З р"л также является доспшточн»«м для того, чтобы можно было исправлять ошибки в подсистеме Я«. Аргументы, использованные в доказательстве квантового неравенства обработки данных, можно применить для доказательства множества других неравенств. Например, пусть мы имеем квантовую систему !,! в состоянии р, которое подвергается квантовому преобразованию Е. Первая часть неравенства обработки данных получается, если применить неравенство субаддитивности для энтропии к системам В' и Е'.
Если вместо этого неравенство субаддитивности применить к системам Я' и Е', то получим Я(р) = Я(Я) = Я(В') = Я(Я', Е') < Я(ь)') + Я(Е') = Я(Е(р)) + Я(р, Е). (12.143) Следовательно, ЬЯ+ Я(р, Е) > О, (12.144) где ЬЯ ш Я(Е(р)) — Я(р) †изменен энтропии, вызванное преобразованием Е. Грубо говоря, это неравенство устанавливает,что сумма изменения энтропии системы и изменения энтропии среды должна быть неотрицательна.
Это соответствует второму началу термодинамики и будет использовано в подрэзд. 12.4.4 при проведении термодинамического анализа исправления квантовых ошибок! 'Упражнение 12.15. Используя все возможные комбинации свойств субаддитивности и сильной субаддитивности, получите другие неравенства для второй стадии квантового процесса р — » р' = Е«(р) -+ ра = (Еэ о Е~)(р), и выразите 690 Глава 12. Квантовая теория информации результаты, когда это возможно, в терминах обменной энтропии и энтропий я(р), я(р'), я(рв). Если в этих терминах невозможно выразить величину, появ- ляющуюся в одном из таких неравенств, представьте ее, используя только р и элементы преобразования (Еу) для Е~ и [гь) для Ез. [ВЯ) = — ~ [х)[х).
~/2" (12.145) Мы делим и кубитов системы Я на три отдельных блока, первый и второй из которых, Я~ и Яз, состоят из 4 — 1 кубитов каждый, а третий Чз содержит остальные и — 2(4 — 1) кубитов. Поскольку код имеет кодовое расстояние 4, любое множество из д — 1 ошибок можно исправить, и, следовательно, можно исправить ошибки либо в Ям либо в Яю Отсюда следует, что В и Ц~ должны быть некоррелированы, как В и Щз. Учитывая это наблюдение и субадцитивность энтропии, а также то, что состояние системы ВЯЩЩз чистое, получаем Е(В)+ЯЯ~) = З(В Я~) = п(Чз Яз) < Я'ез)+8(Чз) о(В) + ЯЯ2) = Я(В~ Юз) = ЕЯ1, Яз) ч й(Ю1) + Е(Яз).
(12.146) (12.147) Сложение этих двух неравенств дает 2Я(В) + Я(Я~) + Я(Яз) ~ (Я(Я1) + Я(Яз) + 2ЯЯз) (12.148) 12.4.3 Квантовая граница Синглтона Теоретико-информационный подход к исправлению квантовых ошибок может быть использован для доказательства замечательной границы для способности квантовых кодов исправлять ошибки, а именно кеантпоеоя границы Сикглтоиа. Напомним, что [п,к,о[-код использует и кубитов,чтобы закодировать й кубитов, и способен исправить ошибки (упр.
10.45) в 4 — 1 кубитах. Квантовая граница Синглтона выражается неравенством а — й > 2(4 — 1) в противоположность классической границе Синглтона (упр. 10.21), которая для классического [и, й, И[-кода имеет вид я — и > Ы вЂ” 1. Поскольку квантовый код для исправления ошибок в г кубитах должен иметь кодовое расстояние, по меньшей мере, 2г + 1, то и — и > 4$. Поэтому, например код для й = 1 кубита, способный исправлять ошибки в одном (4 = 1) яз кодируюпшх кубитов, должен удовлетворять условию п — 1 > 4, т.
е. и должно быть, по меньшей мере, равно 5, так что пятикубитовый код, описанный в гл. 10, является наименьшим возможным кодом для решения этой задачи. Доказательство квантовой границы Синглтона основывается на теоретико- информационных методах, которые мы использовали для анализа исправления квантовых ошибок. Предположим, что код — это 2"-мерное подпространство, связанное с системой Ц, с ортонормироваиным базисом, обозначенным через [х). Введем 2"-мерную вспомогательную систему В также с 2" ортонормированными базисными векторами, обозначенными через [х), и рассмотрим запутанное состояние системы Щ 12.4. Квантовая информация в квантовых каналах с шумом 691 Сокращая одинаковые слагаемые и подставляя Я(гг) = й, получаем й < Я(Яз). Однако, Яз имеет размер и — 2(4 — 1) кубитов, так что ЯЯз) < и — 2(Н вЂ” 1), следовательно, й < п — 2(д — 1), откуда 2(Н вЂ” 1) < и — й.
Это и есть квантовая граница Синглтона. В качестве примера использования границы Синглтона рассмотрим деполяризующий канал Е(р) = (1 — р)р+ р/3(ХрХ+ УрУ+ ЯрЯ). Предположим, что деполяризующий канал действует независимо на большое число п кубитов. Если р > ~~, то больше четверти этих кубитов будут ошибочны, так что любой код, способный восстанавливать кубиты, должен иметь 1 > п/4. Однако, из квантовой границы Синглтона видно, что п — й > 44 > и и поэтому й должно быть отрицательным, т.е. в этом случае невозможно закодировать никакие кубиты. Таким образом, квантовая граница Синглтона позволяет сделать вывод, что при р > 1~ пропускная способность деполяризующего канала для квантовой информации равна нулю! 12.4.4 Исправление квантовых ошибок, охлаждение и демон Максвелла Исправление квантовых ошибок можно рассматривать как процесс охлаждения, способный поддерживать энтропию квантовой системы постоянной, несмотря на влияние шумовых процессов, которые стремятся ее' изменить.
Действительно, с этой точки зрения исправление квантовых ошибок может показаться странным, поскольку оно позволяег уменьшать энтропию квантовой системы, что, очевидно, противоречит второму началу термодинамики! Чтобы понять, что второе начало термодинамики при этом все-таки не нарушается, мы анализируем исправление квантовых ошибок подобно тому, как проводили анализ демона Максвелла во вставке 3.5. Исправление квантовых ошибок по существу, особый тип демона Максвелла; мы можем представить себе «демона», осуществляющего измерения синдрома, а затем исправляющего ошибки в соответствии с полученным результатом.
Так же, как при анализе классического демона Максвелла, запоминание синдрома в памяти демона приводит к рассеянию энергии в соответствии с принципом Ландауэра. Поскольку любая память ограничена, демон должен, в конце концов, начать стирать информацию из своей памяти, чтобы освободить место для новых результатов измерений. Согласно принципу Ландауэра, стирание одного бита информации из памяти увеличивает общую энтропию квантовой системы, демона и среды, по меньшей мере, на один бит.
Можно рассмотреть вциклэ исправления ошибки, состоящий из четырех этапов,как показано на рис. 12.9. 1. Система, находящаяся изначально в состоянии р, подвергается воздействию квантового шума, что переводит ее в состояние р'. В типичных сценариях исправления ошибки рассматриваются случаи, когда энтропия системы возрастает, Я(р') > Я(р), хотя это и не обязательно. 2. Демон осуществляет измерение (синдрома) над состоянием р', которое 692 Глава 12. Квантовая теория информации описывается при помощи операторов измерения (М ), что дает резуль- тат тп с вероятностью р = сг(М РМ~1) и приводит к состоянию Р' Мт РМтп! Рто. 3. Демон, используя унитарную операцию ктп (операцию восстановления), создает конечное состояние системы М РтМА Ц рпт (12.149) 4. Цикл начинается заново. Чтобы это был действительно цикл и исправление ошибки было успешным, мы должны иметь р'„', = р для каждого результата юмерения тп.
ерение [тите 1Г(МнРМ) аатлейсте ирма "Демон — — Намять: т Возобновление Восстановление Р Р рll т Среда Рис. 12.9. Цикл исправления квантовой ошибки. Сейчас мы покажем, что любое уменьшение энтропии в течение второго и третьего этапов исправления ошибки сопровождается увеличением энтропии среды, при этом общая энтропия системы и среды может только увеличиваться. После третьего этапа только запись результата юмерения ш сохраняегся в памяти демона. Запуская следующий цикл, демон должен стереть свою запись результата измерения, что приводит к увеличению энтропии среды в соответствии с принципом Ландауэра. Число битов, которые должны быть стерты, определяется представлением, которое демон использует, чтобы сохранить результат измерения тп. Согласно теореме Шеннона о кодировании для канала без шума, в среднем требуется, по меньшей мере, Н(р,„) битов, чтобы запомнить результат измерения, и, следовательно, один цикл исправления ошибки приводит к увеличению энтропии среды, в среднем, на Н(ртп) битов, когда стирается запись измерения.
До исправления ошибки квантовая система находилась в состоянии р'. После исправления ошибки квантовая система находится в состоянии р, так что полное изменение энтропии системы из-за исправления ошибки ЬЯ = Я(р)— Я(р'). Прирост энтропии Н(р ) (в среднем) связан со стиранием записи измерения, так что полное изменение энтропии равно 1а(Я)+ Н(р,„). Наша задача— 12.5.
Запутанность квк физический ресурс 693 оценить эти термодинамические потери и продемонстрировать, что второе начало термодинамики никогда не нарушается. Чтобы сделать это, полезно ввести двэ понятия. Пусть Е представляет шум, который имеет место во время первого этапа цикла исправления ошибки, р — > р' = 8(р), и Я вЂ” квантовое преобразование исправления ошибки, %п) = — ~~,И М М'1' ). (12.150) Для входного состояния р' и-матрица этого процесса имеет элементы И~„,„= Фг(~' М,„р'МЩ), и, следовательно, каждый диагональный элемент И~ 1г(Ъ' М р'М~1Ц) = Фг(М рМ~1) является вероятностью р, с которой демон получает результат гп при измерении синдрома ошибки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
