М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 162
Текст из файла (страница 162)
Существует квантовый аналог неравенства обработки данных, который можйо применить к «вантовому процессу, состоящему из двух стадий, которые можно описать квантовыми преобразованиями Е~ и Ею (12.117) Р +Р 'Р. Мы определяем квантовую когерентную ин4ормацию следующим образом: 1(р, Е) ге Я(Е(р)) — Я(р, Е). (12.118) Предполагается (но точно ие известно), что когерентная информация в квантовой теории информации играет роль, аналогичную той, которую играет взаимная информация Н(Х:У) в классической теории информации.
Это предположение основано в частности на том, что когереитная информация удовлетворяет квантовому неравенству обработки данных, аналогичному классическому неравенству обработки данных. 'Теорема 12.10 (квантовое неравенство обработки данных). Пусть р— квантовое состояние и Е~ и Ез — сохраняющие след квантовые преобразования. Тогда (12.119) Е(р) >?(Р,Е ) > 1(Р,Е оЕ ), причем равенство в первом неравенстве имеет место тогда и только тогда, когда возможно идеально обратить преобразование Ем т.
е. существует сохраняющее след квантовое преобразование )ь, такое, что Р(р, к. о Е) = 1. Сравнение с классическим неравенством обработки данных показывает, что когерентная информация в квантовом неравенстве обработки данных играет роль, идентичную той роли, которую играет взаимная информация в классическом неравенстве обработки данных. Конечно, эвристический аргумент такого рода нельзя рассматривать в качестве точного доказательства того, что когерентная информация является точным квантовым аналогом классической взаимной информации.
Чтобы это доказать, должно быть получено соотношение между когерентиой информацией и пропускной способностью квантового канала, подобное соотношению между классической взаимной информацией и классической пропускной способностью канала, однако, такое соотношение пока не установлено. (См.
ссылки на некоторые работы в этом иаправлеиии в равд. «История и дополнительная литература» в конце главы.) Как понятие идеальной обратимости, определенное в теореме 12.10, связано с более привычными понятиями, такими, которые используются, например, в контексте исправления квантовых ошибок? По определению, сохраняющее след квантовое преобразование Е является идеально обратиммм по входному состоянию р, если существует такое сохраняющее след квантовое преобразование?2., что г(р,иоЕ) = 1. (12.120) 686 Глава 12. Квантовая теория информации Однако, из пункта (4) (уравнения (9.143), (9.144)) следует, что квантовое пре- образование идеально обратимо тогда и только тогда, когда для каждого со- стояния РР) из носителя Р (7с о с)(рР)(ф) = РР)(ф!.
(12.121) 1(Р Й~) = Б(А(Р)) — Б(Р Бд = БЯ') — Б(Е,') = Б(В', Е() — Б(Е() < Б(В') + Б(Е,') — Б(Е,') = Б(В') = Б(В) = Б(Я) = Б(Р). (12.122) (12.123) (12.124) (12.126) (12.126) Доказательство второй части квантового неравенства обработки данных основано на применении неравенства сильной субаддятивности, Б(В",Е,",Ев) + Б(Е,") < Б(К',Е",) + Б(Е,",Езя). Поскольку состояние системы В" Я"Е,"Еэ' чистое, можно записать (12.127) Б(В", Е,", Езв) = Б(Яв). (12.128) Ни одна из систем В и Е~ не включена во вторую стадию динамического процесса, в котором Я и Ез взаимодействуют унитарно. Следовательно, их состояния не меняются в течение всей этой стадии: Рл к( = рл ~'.
Однако, поскольку после выполнения первой стадии динамического процесса состояние системы ВЯЕ~ чистое, имеем Б(В",Е,") = Б(КЕ',) = Б(Я'). (12.129) Это наблюдение связывает понятие идеальной обратимости с кодами, исправляющими квантовые ошибки. Напомним, что код, исправляющий квантовые ошибки, является подпространством некоторого большего гильбертова пространства, порожденным кодовыми словами. Для обеспечения устойчивости к шуму, вносимому квантовым преобразованием Б, необходимо, чтобы квантовое преобразование Б можно было обратить с помощью сохраняющего след обратного преобразования Я,, т. е. для всех состояний ~ф) в данном коде должно выполняться равенство (В о Б)()Ф)(ф) = РР)(ф!. Это условие эквивалентно критерию идеальной обратимости из теоремы 12.10, т.
е. Е(Р,Воб) = 1 для р, носителем которого является кодовое пространство. Д оказ агпельсгпво. Квантовое неравенство обработки данных можно доказать, используя конструкцию из четырех систем: В и ч' вводятся как и раньше, тогда как системы Е~ и Ез находятся изначально в чистых состояниях, выбранных таким образом, что унитарное взаимодействие Я и Е~ определяег динамику Бм а унитарное взаимодействие Я и Ез — динамику Бз. Доказательство первой части квантового неравенства обработки данных основано на применении неравенства субаддитивности Б(В', Е', ) < Б(В') + Б(Е(), что дает 12.4.
Квантовая информация в квэвтовых каналах с шумом 687 Два других члена в неравенстве сильной субадцитивности (12.127) представ- ляют обменные энтропии Я(Е(') = Б(Е,') = Я(Р,Е~); Я(Е,", Е~л) = Я(Р,Еэ о Е~). (12.130) Подставляя эти выражения в (12.127), получаем неравенство ЯЯл) + $(Р, Е,) < Я((2') + Б(Р, Ег о Е,), (12.131) которое можно переписать как вторую часть неравенства обработки данных, 1(Р, Е1 ) < 1(Р, Еэ о Е1 ) . Чтобы завершить доказательство, нужно показать, что Е идеально обратимо по входному состоянию р тогда и только тогда, когда первое неравенство в квантовом неравенстве обработки данных является равенством Я(Р) = 1(Р Е) = Б(Р') — Б(Р Е). (12.132) Чтобы доказать необходимость этого условия обратимости, предположим, что Е можно идеально обратить по входному состоянию р с помощью обратного преобразования Я..
Из второй части квантового неравенства обработки данных видно, что Б(Р ) — Я(Р Е) > Я(Р ) — Я(Р,'~ Е) (12.133) Из условия обратимости следует, что р" = р. Более того,из квантового неравенства Фане (12.112) и условия идеальной обратимости Р(р, ВоЕ) = 1 следует, что Я(р, В о Е) = О. Поэтому вторую часть квантового неравенства обработки данных для р — ~ Е(р) — ~ (7с о Е)(р) можно переписать в виде (12.134) Б(Р') - Я(Р Е) > $(Р). Используя первую часть квантового неравенства обработки данных, Я(р) > Я(Р') — Я(Р, Е), получаем Б(Р') — Я(Р, Е) > Б(Р) (12.135) для любого Е, которое идеально обратимо по входному состоянию р. Теперь приведем конструктивное доказательство того, что выполнение усло- вия Б(Р) = Я(Р') - Б(Р Е) (12 136) достаточно для того, чтобы квантовое преобразование Е было обратимо по входному состоянию р.
Заметив, что Я(р) = Я(с7) = Я(В) = Я(В'), Я(Р) = Я(Я') = Б(В',Е') и $(Р,Е) = $(Е'), мы убеждаемся, что Я(В') + Я(Е') = Я(В', Е') как показано в подразд. 11.3.4, последнее равенство эквивалентно условию р~~ = рл 9 р~ . Предположим, что начальное состояние системы Я имеет вид р =,1 р~~1)(г~ и что мы расширяем это состояние до чистого состояния Щ) = ~,1 /рф) р), где  — первая система, а Я вЂ” вторая система. 688 Глава 12.
Квантовая теория информации Заметим, что рл = рл = х„зр Я(1~. Кроме того, предположим, что ри 91)Я Ц для некоторого ортонормированного базиса ~Я, так что р = ~~~ р;Б(1)(1! ®)Я(Я. (12.137) Эта матрица имеет собственные векторы /1)/Я и поэтому при помощи разло- жения Шмидта можно записать состояние системы Ж~'Е' после примененвя квантового преобразования Е в виде МЯе) =~ ЛЮБИВ (12.138) Е = ~. У1РупР,У,'. (12.139) Проекторы Р .ортогональны, что следует из ортогональности состояний ~1,Я, однако их набор может быть не полным. Чтобы квантовое преобразование Я.
сохраняло след, необходимо в заданный набор проекторов добавить дополнительный проектор Р гя 1 — 2 Р,. Конечное состояние системы ЯЯЕ после применения обратного преобразования имеет вид У П РР.'О.'Е*)(Е'~'Е')Р П) =Е~ Лж9 М1э)ЗКЧ1,Я('.,Я ФЭ~ЯО~ ( у 6~2 ,/р;,р;,Дч~)(ьэ~ ® (1~)(1э) Зри, откуда видно, что рл ~ = р~С~, и, следовательно, Р(р,7с с Е) = 1, т. е, преобразование б идеально обратимо по входному состоянию р, что и требовалось доказать. Это завершает доказательство теоретико-информационных условий обратимости для квантовых преобразований, сохраняющих след.
Интуитивно можно понять этот результат, предположив, что Я вЂ” элемент памяти в квантовом компьютере,  — остальная часть квантового компьютера и Š— среда, взаимодействие которой с Я порождает шум. Более элегантно теоретико-информационное где ~1,Я вЂ” некоторый ортонормированный набор состояний для системы Я. Определим проекторы Р~ при помощи тождества Ру ы ~„. ~1, Я (1, Я. Процедура восстановления состоит в том, что сначала нужно произвести измерение, описываемое проекторами Р,, которое дает состояние (Я среды, а затем выполнить унитарную операцию Уз, зависящую от 1, которая возвращает состояние р, 1) в состояние ~г): У )1,Я = )г). Таким образом,,у — результат измерения (синдром) и Уу — соответствующая операция восстановления.
Полная процедура восстановления может быть описана слезующим образом 12.4. Квантовая информация в квантовых каналах с шумом 689 условие обратимости можно представить как утверждение, что состояние среды Е' после воздействия шума не должно быть коррелированным с состоянием остальной части квантового компьютера В'. В более понятных терминах это означает, что ошибку можно исправить тогда, когда среда ничего «не узнает» об остальной части квантового компьютера через взаимодействие с Я'! Более конкретно, предположим, что Я вЂ” система из и кубитов и С вЂ” квантовый (и, й)-код, исправляющий ошибки, в этой системе с ортонормированными кодовьпии словами !з) и проектором Р на пространство кода.
Рассмотрим матрицу плотности Р/2", которая может быть «расширена» до чистого состояния ЯЯ: — )х) )з). (12.142) Предположим, что этот код может исправлять произвольные ошибки на некотором подмножестве Я~ кубитов. Этот код, в частности, способен исправить ошибку, которая приводит к замене этих кубитов на кубиты в некотором стандартном состоянии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
