М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 164
Текст из файла (страница 164)
Согласно теореме 11.9, энтропия диэгонэлъных элементов И", по меньшей мере, тэк же велика кэк энтропия И', так что (12.151) Равенство имеет место тогда и только тогда, когда операторы У М представляют квноническо6 разложение 1с по отношению к р', тэк что недиэгонэльные элементы в И~ исключаются. Из равенства (12.144) следует ЬБ+ Б(р',Я,) = Б(р) — Б(р') +Б(р',Е) > О. (12.152) Используя этот результат и формулу (12.151), получаем ЬБ + Н(р ) > О, Но ЬБ + Н(р ) представляет собой полное изменение энтропии, вызванное процедурой исправления ошибки.
Мы делаем вывод, что исправление ошибки может привести лишь к уеелпчению общей энтропии, причем любое уменьшение энтропии системы из-зэ исправлении ошибки компенсируется увеличением энтропии, когда синдром ошибки стирается. э'пражнеине 12.16. Покажите, что в случае, когда к. идеально исправляет Е для данного входного р, неравенство Б(р) -Б(р')+Б(р',Я) > О (12.153) должно превратиться в равенство. 12.5 Запутанность как физический ресурс До сих пор мы рассматривали квантовую информацию, уделяя особое внимание ресурсам, которые мало отличаются от ресурсов классической теории информации. Для удобства на рис.
12.10 дана сводная таблица многих квантовых и классических результатов. Одной из замечательных особенностей квантовых вычислений и квантовой информации является то, что квантовая механика содержит принципиально новые типы ресурсов, которые значительно отличаются от понятия информации в классической теории. По-видимому, из этих ресурсов лучше всего исследована квантовая запутанность, к рассмотрению которой мы сейчас и перейдем.
694 Глава 12. Квантовая теория информации Теория информации Различимость и доступная информация Граница Холево Кодирование для канала без шума Теорема Шумахера пктбитм = О Ерхрх Пропускная способность каналов с шумом для классической информации С11)(Е) = п1ах )Е(рг) — Яр Я(р') Ы*) М*Н~ х С(1т') = твх Н(Х:У) Вгх) Рх =Е(рх)1 Р = 1 Рхрх Теоретико-информационные соотношения Квантовое неравенство Фаио Неравенство обработки данных Рис. 12.10. Некоторые важные классические информационные соотношения и ик квантовые аналоги.
Классическая Энтропия Шеннона Н(Х) = — 2 Р(х) 1ОЯР(х) Буквы всегда различимы 1т' = )Х) Теорема Шеннона обиты — Н (Х) Теорема Шеннона о кодировании для канала с шумом Неравенство Фаио Н(р ) + р 1об((Х( — 1) > Н(Х)У) Взаимная информация н(х:1') = н(у) — н(ъ'~х) х у г н(х) > н(хт) > н(х:г) Квантовая Энтропия фои Неймана Я(р) = сг(р)обр) Н(х:"т) ( Е(р) — 2 р Е(р ) х Р = 2.Р*Р* Теорема Холево-Шумахера— Вестморлаида Н(Р(р, Е) ) + (1 — Р(р, Е))!Об(гр — 1) > Е(Р,Е) Когереитиая информация 1(р, Е) = Е(Е(р)) — Е(р, Е) Квантовое неравенство обработки данных р — Ф Е1(р) — Ф (Е2 О Е1НР) $(р) > 1(р, Е1) > 1(р, Е2 О Е1) 12.5.
Запутанность как физический ресурс 695 Мы говорим «лучше всего исследована», но этим не все сказано! Еще очень далеко до создания общей теории квантовой запутанности. Тем не менее, на пути к созданию общей теории уже достигнуты определенные успехи, раскрывающие загадочную структуру запутанных состояний и некоторые важные связи между свойствами квантовых каналов с шумом и различными типами преобразований запутанности. Мы сделаем только краткий обзор того, что уже известно, уделяя особое внимание свойствам преобразования запутанности, разделенной между двумя системами, Алисой и Бобом. Конечно, очень интересно разработать общую теорию запутанности для многокомпонентных систем, но как это сделать †очень понятно.
12.5.1 Преобразование запутанности чистого состояния системы из двух компонент Отправной точкой нашего исследования является следующий простой вопрос. В какие запутанные состояния ) !г) Алиса и Боб могут преобразовать запутанное чистое состояние !ф), которое они разделяют, при условии, что каждый из них может выполнять произвольные операции над своими локальными системами, включая измерение, и использовать только классическую связь? Квантовая коммуникация между Алисой и Бобом не разрешена, что ограничивает класс преобразований, которые они могут выполнить. В качестве примера предположим, что Алиса и Боб разделяют запутанную пару кубитов в состоянии Белла (!00) + )11))/~/2. Алиса выполняет измеренив с двумя возможными результатами, которое описывается операторами М1 и Мьс сов д 0 в!пд 0 (12.154) После измерения состояние представляет собой либо сов О!00) + в!пд/11), либо сов д!11) + в!и д!00) в зависимости от результата измерения 1 нли 2.
В последнем из этих двух случаев Алиса применяет элемент ХОТ после измерения и в результате получает состояние сов О(01) + в!и О)10). Затем она посылает результат измерения (1 или 2) Бобу, который ничего не делает со своим кубитом, если результат измерения равен 1, и применяет элемент нот, если результат равен 2. Конечным состоянием совместной системы будет сов О)11) + вш д!00), независимо от результата измерения, который получила Алиса. Таким образом, Алиса и Боб преобразовали свой начальный запутанный ресурс (!00) + !11))/~/2 в состояние сов О!00) + в!и д)11), выполняя только локальные операции над своими индивидуальными системами и используя классическую связь. Не совсем очевидно значение проблемы преобразования запутанности. Класс преобразований, которые мы разрешили — локальные операции и классическая коммуникация (ЛОКК) — вызывает определенный интерес.
Оказалось, что обобщения проблемы преобразования запутанности обнаруживают глубокие и неожиданные связи с исправлением квантовых ошибок. Более того, методы, применяемые при решении этой проблемы, представляют большой интерес 696 Глава 12. Квантовая теория информации и дают возможность глубже понять свойства запутанности. В частности, мы обнаружим тесную связь между запутанностью и теорией мажоризации. Прежде чем приступить к изучению преобразований запутанности, познакомимся с некоторыми существенными фактами, касающимися мажоризации.
Мажорирование — это отношение порядка для Н-мерных действительнозначных векторов, предназначенное для формального описания того, что один вектор более или менее хаотичен по сравнению с другим. Более точно, предположим, что х = (хг,...,хк) и у = (уг,...,Уз) — два Н-мерных вектора. Мы используем обозначение хг для вектора, который состоит из компонент вектора х, расположенных в порядке невозрастания, так что, например, х, — наиболь! шая компонента х.
Мы говорим, что у мажорирует х, записывая х -с у, если г х < ~;1 г У. ДлЯ Й = 1,..., Ы, пРичем неРавенство пеРехоДит в Равенство прй к = г1 Как это связано с понятием беспорядка, скоро станет ясно! Связь между мажоризацией и преобразованием запутанности формулируется легко, но довольно неожиданно. Предположим, что [гр) и [~о) — состояния совместной системы Алиса-Боб. Определим ре — = 1гв([гр)(гр[) рг — = Фгв([Ф)(Р[) как соответствующие приведенные матрицы плотно<;ти системы Алисы, и пусть Ле и Л, — векторы, компоненты которых являются собственными значениями ре и р„. Мы покажем, что [гр) можно преобразовать в [~р) при помощи ЛОКК тогда и только тогда, когда Лй -с Л ! Чтобы продемонстрировать это, приведем некоторые простые сведения о мажоризации.
'Упражнение 12.1Т. Покажите, что х -с у тогда и только тогда, когда для всех действительных й ~„~ьн шах(ху — $,0) <,>,, гпэх(у — г,0) и 2,' х л Е1=г УР Упражнение 12.18. Используя результат предыдущего упражнения, покажите, что множество х таких, что х С у, выпуклое. Приведенное ниже утверждение позволяет глубже вникнуть в понятие мажорирования, показывая, что х ~ у тогда и только тогда, когда х можно представить в виде выпуклой комбинации перестановок у. На неформальном языке х .с у, если х — более хаотичен, чем у в том смысле, что х можно получить путем перестановки элементов у и смешивания полученяых векторов. Это утверждение — один из наиболее полезных результатов в теории мажоризации.
Утверждение 12.11. х .с у тогда и только тогда, когда х = '~, р Рзу для некоторого распределения вероятностей р и перестановочньгх матриц Р . Доказапгельсгпво. Предположим, что х -с у. Без потери общности можно предположить, что х = х1 и у = у1. докажем, что х = 2 р.Р,У, индукцией по размерности Н. для Н = 1 результат ясен.
Предположим, что х и у представляют собой г(+ 1-мерные векторы, такие, что х -с у. Тогда хг < уг. Выберем у таким, что уу < хг < у г и зададим г в пределах [О, Ц так, что хг = буг + (1 — $)у . Определим выпуклую комбинацию перестановок как Р ш 11 + (1 — 1)Т, где Т вЂ” перестановочная матрица, которая переставляет первый и,1-й элементы вектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
