М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 161
Текст из файла (страница 161)
11.2.4) и границу Синглтона (упр. 10.21). Как и в случае сжатия квантовых данных, наша точка зрения на изучение этих проблем состоит в следующем: квантовый источник нужно рассматривать как квантовую систему в смешанном состоянии р, которая запутана с другой квантовой системой; мерой надежности передачи квантовой информации, описываемой квантовым преобразованием Е, является точность воспроизведения запутанности Р(р, Е). Полезно, как в гл. 9, обозначить через Я систему, которая находится в состоянии р, и через Н вЂ” вспомогательную систему, которая «расширяет» систему Я до чистого состояния.
При этом точность воспроизведения 682 Глава 12. Квантовая теория информации запутанности является мерой того, насколько хорошо запутанность системы Я с системой В сохраняется после действия б на систему Я. 12.4.1 Обменная энтропия и квантовое неравенство Фано Какова интенсивность шума, возникающего при действии квантового преобразования на состояние р квантовой системы Я? Одна из мер шума — это степень того, насколько состояние системы ВЯ, изначально чистое, становится смешанным в результате квантового преобразования.
Мы определяем обменную энтропию преобразования б при входных данных р как (12.107) Е(р, Е) =— Е(В', Я'). Предположим, что действие квантового преобразования Е моделируется при помощи среды Е, которая изначально находится в чистом состоянии, и унитарного взаимодействия Я и Е, как описано в гл. 8. Состояние системы ВЧЕ после взаимодействия является чистым, поэтому Я(В', Я') = Я(Е'), так что обменную энтропию можно отождествить с величиной энтропии, внесенной при преобразовании Е в изначально чистую среду Е.
Отметим, что обменная энтропия не зависит от выбора В, при помощи которого начальное состояние р системы Я расширяется до чистого ВЯ. Причина этого заключается в том, что любые два расширения (~ до чистого состояния ВЯ связаны при помощи унитарного преобразования, действующего на систему В, как показано в упр. 2.81. Это унитарное преобразование, очевидно, коммутируег с квантовым преобразованием Е, действующим на систему Я, и, следовательно, конечные состояния В'Я', полученные двумя различными способами очищения, связаны посредством унитарного преобразования над В, и поэтому приводят к одинаковым значениям обменной энтропии.
К тому же отсюда следует, что Б(Е') не зависит от модели среды для Е при условии, что Е изначально находится в чистом состоянии. Простая и полезная формула для обменной энтропии может быть получена на основе представления квантового преобразования операторной суммой. Предположим, что сохраняющее след квантовое преобразование Е имеет элементы (Е ), Тогда, как показано в подрэзд. 8.2.3, унитарная модель для этого преобразования задается унитарным оператором У, действующим на ЯЕ так, что У/ф)/О) = ~~~ Е;/ф)!ъ), (12.108) где /О) — начальное состояние среды, и !1) — ортонормированный базис для дан- ной среды.
Отметим, что состояние Е'после применения Е имеет вид р~ = ~~~ Иг(ЕовЕ1)ЯЯ, (12.109) т. е. 1г(Е рЕ1) являются матричными элементами Е' в базисе )г). Для денного преобразования с элементами (Е 1 естественно определить матрицу И' 12.4. Квантовая информация в квантовых каналах с шумом 683 (ы-матрицу) с матричными элементами И~; ьч ЫЕ, рЕ ), т.
е. И' является мат- С рицей Е' в подходящем базисе. Это представление для рл позволяет получить полезную для простых вычислений формулу для обменной энтропии (12.110) Я(р, Е) = Я(И') ьч — 1г(И" 1о8И'). Задавая преобразование Е и состояние р, всегда можно выбрать элементы (Гу) для Е такие, что матрица Иг будет диагональной; мы говорим, что И' имеет каноническую форму. Чтобы убедиться, что такой набор элементов существует, вспомним из гл. 8, что квантовое преобразование может иметь множество различных наборов элементов. В частности, два набора операторов (Е1) и Я) являются элементами одного и того же квантового преобразования тогда и только тогда, когда Р = ~„иязЕ~, где и — унитарная матрица; кроме того, может понадобиться добавить нулевые операторы к наборам Е или г), чтобы матрица и была квадратной.
Пусть И~ — и-матрица, связанная с определенным набором элементов (Еу) преобразования Е. Матрица И~ является представлением оператора плотности среды,и, следовательно, она неотрицательно определена. Эту матрицу можно привести к диагональному виду при помощи унитарной матрицы и, Р = еИ'о1, где Р†диагональн матрица с неотрицательными элементами.
Зададим операторы Г выражением гу = 2 иуЕ1, так что Я) также является набором элементов преобразования Е, приводящим к и-матрице Й с элементами (12.111) И" = Ягьрг1 ) = ~ иьтпиь|Ита = Ры. Таким образом, ы-матрица диагональна по отношению к элементам преобразования Я). Говорят, что любой такой набор элементов Я) преобразования Е, для которого соответствующая и-матрица диагональна, является каиоиическим представлением Е относительно входного состояния р. Позднее мы убедимся, что канонические представления имеют особое значение для исправления квантовых ошибок. Многие свойства обменной энтропии непосредственно следуют из свойств энтропии, рассмотренных в гл. 11. Например, работая в каноническом представлении для сохраняющего след квантового преобразования Е И-мерного пространства, мы сразу же видим, что Я(1/Н, Е) = 0 тогда и только тогда, когда Š— унитарное квантовое преобразование.
Поэтому $(1(3Е) можно рассматривать как количественную характеристику некогерентного квантового шума, вносимого в систему. Второй пример: матрица И' линейно зависит от р, и поскольку энтропия вогнута, то Я(р, Е) вогнута по р. Поскольку всегда можно выбрать систему ЯЯ размерности не более ~1э, где Н вЂ” размерность Я, обменная энтропия ограничена сверху значением 2 1о8 И. Упражнение 12.13. Покажите, что обменная энтропия вогнута относительно квантового преобразования Е. Интуитивно понятно, что если на квантовый источник Я действует шум, который делает состояние ЕЯ смешанным, то восстановление конечного со- 684 Глава 12.
Квантовая теория информации стояния В'Я' по начальному состоянию ВЯ не может быть точным. Более того, чем больше шум, тем меньше точность воспроизведения. Б подразд. 12.1.1 аналогичная ситуация возникала при изучении классических каналов с использованием неравенства Фано, которое устанавливает связь между неопределенностью Н(Х~У) данных Х на входе в канал при известных данных на выходе У и вероятностью восстановления состояния Х из У.
Существует очень полезный квантовый аналог описанного результата, который связывает обменную энтропию Я(р, Е) с точностью воспроизведения запутанности состояний г'(р, Е). Теорема 12.9 (квантовое неравенство Фано). Пусть р — квантовое состояние и Š— квантовое преобразование, сохраняющее след. Тогда Я(р, Е) < Н(р(р, Е)) + (1 — Р(р, Е)) !Оа(у — 1), (12.112) е(В'д') < н(р„..., р„.), (12.113) где Н(р ) — энтропия Шеннона набора (р.). Элементарные алгебраические вы- кладки дают н(р„..., р, ) = н(р,) + (1 — р)н !' р' (12.114) Используя неравенство Н(-,яю,..., — "~-) <!ой(с(э — 1) и тождество р1 = Г(р, Е), получаем квантовое неравенство Фано Я(р, Е) < Н(Р(р, Е)) + (1 — Р(р, Е)) !ой(Н~ — 1).
(12.115) 12.4.2 Квантовое неравенство обработки данных Б подрезд. 11.2.4 мы рассматривали классическое неравенство обработки дан- ные. Напомним, что неравенство обработки данных устанавливает, что для марковских процессов Х -~ У -+ г Н(Х) > Н(Хог) > Н(Хьг), (12.116) где Н( ) — двоичная энтропия Шеннона. Рассмотрение квантового неравенства Фано позволяет установить интересную закономерность: если обменная энтропия для какого-либо процесса велика, то точность воспроизведения запутанности состояний для этого процесса будет мала, т.
е. запутанность систем В и Я плохо сохраняется. Более того, отметим,что в квантовом неравенстве Фано обменная энтропия Я(р,Е)играет роль, аналогичную той,которую играет условная энтропия Н(Х!У) в классической теории информации. Доказательство. Чтобы доказать квантовое неравенство Фане, предположим, что !!) †ортонормированный базис для системы ВЯ, выбранный таким образом, чтобы первое состояние в базисе !1) совпадало с начальным состоянием !Вф. Для р3 ш (!(р~ и !!) из результатов подрэзд. 11.3.3 следует, что 12.4. Квантовая информация в квантовых каналах с шумом 685 причем равенство в первом неравенстве имеет место тогда и только тогда, когда случайная величина Х может быть точно восстановлена по У. Следовательно, неравенство обработки далиых обеспечивает необходимые и достаточные теоретико-информационные условия возможности исправления ошибок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
