М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 167
Текст из файла (страница 167)
Пусть мы выбираем любое и такое, что 704 Глава 12. Квантовая теория информации увеличить число состояний Белла, и такой гипотетический протокол разбавления существовать не может. Аналогично можно показать, что описанная процедура очищения запутанности является оптимальной. Таким образом, запутанность приготовления и запутанность очищения для состояния ~ф) одинаковы и равны Я(ре)! Упражнение 12.23.
Докажите, что описанная нами процедура очищеыия запутанности является оптимальной. 'Упражнение 12.24. Напомним, что число Шмидта чистого состояния системы из двух компонент — это число ненулевых коэффициентов Шмидта. Докажите, что число Шмидта чистого квантового состояния нельзя увеличить посредством локальных операций и классической коммуникации. Используйте полученный результат для доказательства того, что число состояний Белла, разделенных между Алисой и Бобом, не может быть увеличено посредством локальных операций и классической коммуникации.
Мы показали, как оптимально можно преобразовать состояния Белла квантовой системы из двух компонент в копии запутанного состояния ~ф) и обратно, что дает основание определить количество запутанности в этом квантовом состоянии как число состояний Белла, в которые можно преобразовать копии ~ф) и наоборот, т. е.
Я(р,~). Что мы можем почерпнуть из даныого определения? Ниже мы увидим, что, обобщая понятие очищаемой запутанности, можно получить интересыые возможности исправления квантовых ошибок. Одыако, следует отметить, что пока изучение запутанности только начинается, и не совсем ясыо, насколько улучшится наше понимание квантовых вычислений и квантовой информации в результате изучения количественных мер запутанности. Мы сносно понимаем свойства чистых состояний квантовых систем из двух компонент, но очень плохо разбираемся в системах, состоящих из трех и более компонент, а также в смешанных состояниях для двухкомпонентых систем.
Улучшение понимания запутанности и распространение полученных результатов на квантовые алгоритмы, исправление квантовых ошибок и квантовую связь являются основными вопросами в области квантовых вычислений и квантовой информации! 12.5.3 Очищение запутанности и исправление квантовых ошибок Мы определили очищение запутанности для чистых состояний, но это определение можно распространить и на смешанные состояния. Пусть р — состояние квантовой системы из двух компонент, принадлежащей Алисе и Бобу. Оыи разделяют большое количество т копий этого состояния; используя локальные операции и классическую коммуникацию, Алиса и Боб пытаются преобразовать эти копии в максимальыо возможное число п состояний Белла с большой степенью совпадения. Очищаемая запутанность Р(р) является предельным значением отношения и/т для наилучшего протокола очищения.
Мы уже показали, что Р(~ф)) = Я(р„) для чистых состояний ~ф), однако пока не знаем, как вычислить Р(р) для смешанного состояния. 12.5. Запутанность как физический ресурс 705 Разработано много методов очищения запутанности, которые дают нижние границы Р(р) для определенных классов состояний р.
В нашей книге эти методы не будут рассматриваться (см. равд. «История и дополнительная литература» в конце главы). Мы лишь опишем замечательную связь между очищаемой запутанностью и исправлением квантовых ошибок. Представим себе, что Алиса пытается послать Бобу квантовую информацию по квантовому каналу с шумом Е. Мы предполагаем, что канал является кубитовым, как, например, деполяризующий канал, хотя те же самые основные идеи легко применить и для некубитовых каналов.
Один из методов передачи квантовой информации по кубитовому каналу состоит в следующем. Алиса приготавливает большое число т состояний Белла и посылает половину каждой пары Белла по каналу. Предположим, что в результате применения Е к половине пары Белла получается состояние р, так что Алиса и Боб разделяют т копий р. Теперь Алиса и Боб осуществляют очищение запутанности и получают тР(р) пар Белла. Алиса может приготовить состояние из тР(р) кубитов и телепортировать его Бобу, используя тР(р) пар Белла, которые они разделяют.
Таким образом, протоколы очищения запутанности могут быть использованы в качестве модели исправлении ошибок для квантовых каналов связи между Алисой и Бобом. Это позволяет Алисе надежно передать тР(р) кубитов информации Бобу, где Р(р) — очищаемая запутанность для состояния р, которое появляется в результате посылки одной половины пары Белла по каналу с шумом Е, соединяющему Алису и Боба. В сэмом деле, замечательно, что,этот способ коммуникации с использованием очищения запутанности может иногда работать, даже когда не работают традиционные методы исправления квантовых ошибок. Например, из подразд.
12.4.3 мы знаем, что квантовая информация не может быть передана по деполяризующему каналу с р = 3/4. Однако, известны протоколы очищения запутанности, которые могут обеспечить ненулевую скорость передачи Р(р) даже для этого канала! Это возможно, поскольку в протоколах очищения запутанности осуществляется классическая связь между Алисой и Бобом, тогда как в традиционных методах исправления ошибок классическая связь не используется. Этот пример позволяет объяснить утверждение, которое мы сделали еще в гл. 1 и проиллюстрировали на рис.
12.11, о том, что существуют каналы с нулевой пропускной способностью для квантовой информации, которые могут быть использованы для передачи квантовой информации, когда один такой канал соединяет Алису с Бобом, а другой — Боба с Алисой! Этот очень простой способ передачи информации основан иа очищении запутанности. Чтобы очищение запутанности было возможно, нужен классический канал связи между Алисой и Бобом.
Половина информации, передаваемой по каналу от Алисы к Бобу, и вся информация, передаваемая по каналу от Боба к Алисе, будет классической. Эти каналы, согласно теореме ХШВ, имеют ненулевую скорость передачи классической информации. Вторая половина информации, передаваемой по каналу от Алисы к Бобу, состоит из половин пар Белла, причем для выделения «хороших» пар Белла из результирующих состояний используется очищение запутанности. Полученные «хорошие» пары Белла позволят надежно передавать квантовую информацию с помощью телепортации. Все зто является наглядной демонстрацией замечательных свойств квантовой информации! Рис. 12.11. Если у нас есть два классических параллельных канала с сильным юумом с нулевой пропускной способностью, то объединенный канал также имеет нулевую пропускную способность. Не удивительно, что если изменить направление одного из каналов на обратное, то пропускная способность также будет нулевой Но е квантовой механике изменение направления одного из каналов с нулевой пропускной способностью на обратное действительно может позволить передавать информацию' Подходящим завершением втой главы является одно из замечательных применений квантовой теории информации.
Как мы видели в гл. 5, квантовые компьютеры могут быть использованы для взламывания некоторых из самых лучших криптосистем с открытым ключом. Однако, квантовая механика, отнимая одной рукой, к счастью, возвращает другой: процедура, известная как квантовая криптография, или квантовое распределение ключей, использует принципы квантовой механики, чтобы сделать безопасной передачу секрепюй информации.
Здесь мы опишем эту процедуру и обсудим ее безопасность. Начнем с объяснения основных идей классического подхода, криптографии с закрытии« ключолс (подразд. 12.6.1). Криптография с закрытым ключом — гораздо более старый вид криптографии по сравнению с криптосистемами с открытым ключом (упомянутыми в гл. 5), но принципы криптографии с закрытым ключом используются в квантовых криптосистемах. Два других важных классических метода, усиление конфиденциальности и согласование информации, которые также используются в квантовых системах, мы опишем в подразд.
12.6.2. Три различных протокола для распределения квантовых ключей представлены в подразд. 12.6.3. Насколько надежны эти протоколы? Оказывается, как мы уви- 706 Глава 12. Квантовая теория информации 3 )) 12.6 Квантовая криптография )) (с 12.6. Квантовая криптография 707 дим в подрэзд. 12.6.4, когерентнал информация, мера, квантовой информации, которая нам встретилась впервые в подразд. 12.4.1, задает нижнюю границу возможности использования в принципе квантового канала связи для передачи секретной информации! Это означает, что понятие квантовой информации может быть использовано для доказательства надежности квантовых протоколов распределения ключей. В подразд.
12.6.5, завершающем эту главу, мы дадим набросок для доказательства безопасности квантовой криптографии на основе теории исправления квантовых ошибок. 12.6.1 Криптография с закрытым ключом До изобретения в 70-х гг. ХХ в. криптографии с открытым ключом работа всех криптосистем основывалась на другом принципе, известном как криптография с закрмтнм ключом. В криптосистеме с закрытым ключом у Алисы должен быть кодирующий ключ, который позволяет ей зашифровать сообщение, которое она хочет послать Бобу, а у Боба должен быть соответствующий декодирующий ключ, с помощью которого Боб расшифровывает зашифрованное сообщение. Простой, но эффективной криптосистемой с закрытым ключом является шифр Вернама, который иногда называют одноразовым блокнотом.
Вначале у Алисы и Боба есть одинаковые п битовые строки секретного ключа. Алиса кодирует свое н-битовое сообщение, прибавляя ключ к сообщению, а Боб декодирует, вычитая ключ, как показано на рис. 12.12. Важнейшей особенностью этой системы является то, что пока строки ключа действительно секретны, система гарантированно безопасна, Иначе говоря, если протокол, который используют Алиса и Боб, успешно работает, то связь абсолютно безопасна (подслушивающая Ева всегда может блокировать канал связи, но Алиса и Боб могут обнаружить это и объявить сбой). Для любой стратегии подслушивания, которую использует Ева, Алиса и Боб могут гарантировать, что взаимная информация Евы с их незакодированным сообщением может быть сделана сколь угодно малой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
