В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Поскольку все рассуждения аналогичны, ограничимся уравнением (1). Для удобства продолжим функции А( ), Ь(.) и с( ) на все К, положив их равнымн нулю вне Л. Тогда функция Р(1, х) =А(1) х+Ь(8) будет удовлетворять условиям А) — В) п. 2.5.1 в области б = К Х К', и потому к дифференциальному уравнению (1) применима теорема единственности п.
2.5.3 н локальная теорема существования п. 2.5;2 в каждой точке (1, х), так что решение уравнения (1), у которого х(г) =х, заведомо единственно и определено на некотором отрезке (г †, 1 +51. Заметим теперь„что если (х((М, то ( Р ( 8, х)) ~ !) А (()1 М + ( Ь (г)(, '1Р„((, х)(/=~А (1)1. Вернувшись к доказательству теоремы -и. 2.5.2, мы можем выбрать достаточно произвольно константы у, р, 0 и е, например, положив 0=1/2, р=4, с=у=1, и тогда неравенства (с) и (8) п. 2.5.2, определяющие б, приобретут вид с+а г+ь М $ !!А(з)!!с(з+ $ !Ь(з)!сй(1, с-а с-а с с4 (0) !! А (з)!! с(з ««1/2. Поскольку !!А( )!! и !Ь( )! интегрируемы, то мы можем выбрать Ь > 0 столь малым (и не превосходящим у=1)*, чтобы неравенства (3) выполнялись при всех / [КФ, стр. '8011.
Следовательно, решение уравнения (1), у ко- торого х(с)=х, определено на отрезке [/ — б, 3~-Ь1 с га- рантированным б, одним и тем же для любого 1 и лю- бого-х, такого, что !х!«М. Пусть теперь заданы /,~б и х, и ищется решение уравнения (1), у которого х(/а) хс (4) Положим ~ 1М(си~ М-(!х,$+1!Ь(з)! Ь)~ / (б) Задача Коши (1), (4) эквивалентна интегральному уравнению с х(/) ° хс+ ~ А (з) х (з) с(з + ~ Ь (з) с(з, откуда с 1 1' ~,ус<~~~~. 1ссс ~ ~с*!~.!1~| >с !< са «(!хс(+5 !Ь(з)Из)+! 5 !!А( )!!!х(з)!А !.
(0) а 1 се Ъ Решение х( ) задачи (1), (4) заведомо определено на отрезке гс,=[1,— Ь, 1,+Ь~. Применяя на этом отрезке ИЙ лемму и. 2.5.3 к функций э(()=1х(1)(, (а(1)=1А(1)(, Ь 1х,(+ ~ (Ь(з)(аз), получаем неравенство ь зл< Нл (х(1)((~(х,(+ $ ~1Ь(з)(йз) е( и 1 (7) ь и, в частности, )х((, ~8)(~ М согласно (5). Поэтому в точках (1, ~ 8, х(1, +. 8)) снова можно воспользоваться локальной теоремой существования и продолжить решение х( ) на отрезок Ь,=(1,— 25, 1,+261.
Дальше процедура повторяется. Неравенство (6) справедливо на Ь„а значит, на Ь, верно (7) и ~ х(1, ~ 28)((М и т. д. За конечное число шагов мы продолжим решение задачи Коши (1), (4) на весь отрезок Ь. ° Явные формулы для решений систем (1) н (2) выражаются через фундаментальную матрицу решений одна- родной системы х= А(()х. (8) Оп ределение, Фундаментальной матрицей Й(1, т) решений системы (8) называется матричная функция Й: Ь х Ь- .У(1(", 11"), являющаяся решением задачи Коши ~(' =А(Г)Й(1, .), (9) Й(т, т) =Е.
(10) Другими словами, Каждый столбец матрицы Й(1, т) является решением системы (8), а при 1=т эти и столбцов обращаются в набор единичных векторов стандартного базиса в й" е,=(1, О, ..., 0), е, (О, 1, ..., 0), ... е„=(0, О, ..., 1). Теорема. Если матричная функция А( ) интегрируема на отрезке Ь, то фундаментальная матрица Й(1, с) системы (8) суи(ествует и непрерывна на квадрате ЬхЬ, причем: 1) Й(1, з)Й(з, т) Й(1, т) для всех 1, з, тЕЬ; (11) 2) Й(1, т) при каждом 1 является решением дифференциального уравнения — Й(1, т) А(т), (12) 7 В.
м. Алексеев п яр. Кроме того: 3) Если функция Ь: б- )т" интегрируема на отрезке б и х( ) — решение системы (1), то для любых (, т ЕЬ х (!) = й ((, т) х (т)+ ~ й (1, я) Ь (я) дя. (13) 4) Если функция с: Л вЂ” 14"' интегрируема на отрезке б и р( ) — решение системы (2), то для любых 1, т Е Ь х р(т)=р(т)й(т, !) — ~с(я)й(я, !)с(я. (14) 1 Д о к а з а т е л ь с т в о.
Непосредственной подстановкой с использованием (9) проверяется, что для любого 9 Е Й" функции х,(()=й(1, я)й(я, т)$ и х,(()=й(1, т)$ являются решениями системы (8), а так как в силу (10) х„(я) =й(я, я)й(я, т)9 =й(я, т) $=х,(я), то по теореме единственности й((, )й(, )~=.,(!)—= ,(!)=й(1, Л Поскольку $ любое, должно выполняться (11). Фиксируя в (11) я, мы представляем функцию пары переменных й(т, т) в виде произведения двух функций одной переменной, а так как обе они непрерывны, то й непрерывна по (г, т) на Ахб. В частности, она ограничена. Полагая в (11) ( = т, получаем й((, я) й(я, !) = Е, откуда й((, Я)=(й(Я, ()]-'. Согласно предложению 3 п. 2.2.1 матричная функция ~(А) =А ' непрерывно дифференцируема на множестве обратимых матриц и !' (А) 1Н')= — А-'НА (15) Множество ос=(А ~ А =й(я, 1), я, ! ЕЛ) является образом компакта ЛхЬ при непрерывном отображении й; Лхб — .У(й", К"), а потому это компакт и на нем функция ~ ограничена; ) ~(А)~ ~ М вЂ” и удовлетворяет условию Липшица, так как Ц(А) — ~(В)((=))В ' — А-')(=',,— В '( — А)А ')(М*)( — А!.
194 Согласно предложению 1 п. 2.1.8 функция <р(в) =Й((, в) =Й(в, () '=)(й(в, 1)) абсолютно непрерывна, и в силу (15) и теоремы о супер- позиции п. 2.2.2 почти всюду ,",''= — [а(, И-"",";" [а(, И-'= = — [й (в, 1)Д-' А (в) й (в, () [й (в, 1)~- ' = — й (1, в) А (в), чем доказано (12). Представив правую часть (13) в виде с (1' .1 мы убеждаемся в ее абсолютной непрерывности. Действительно, Й (т, в) Ь (в) ннтегрнруемо (как функция в) иа Л, а интеграл от интегрируемой функции абсолютно непрерывен (и. 2.1.8).
Следовательно, квадратная скобка в (16) абсолютно непрерывна по (. Остается заметить, что произведение двух абсолютно непрерывных функций также абсолютно непрерывно (предложение 1 п. 2.1.8). Равенство (14) доказывается аналогично. ° 2.5.5. Глобальная теорема о существовании и непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметров.
Вернемся к рассмотрению задачи Коши: х=г((, х), (1) х ((о) = хо (2) для дифференциальных уравнений, правая часть которых удовлетворяет условиям А) — В) п. 2.5.1. Используя локальную теорему существования и теорему единственности, мы можем, как это и делается ц курсах дифференциальных уравнений, продолжить решение Х (, („х,) задачи Коши (1), (2) на максимальный интервал его существования (а, Ь). При этом из теоремы п. 2.5.2 следует, что при 1(а и при (1Ь это решение должно покидать любой компакт УУ~:6, ибо, пока ((, х(()) ЕУУ, решение гарантировано продолжается на интервал (1 — 5, (+8), откуда а+8 < ( < Ь вЂ” 5 ввиду максимальности интервала (а, Ь). Следующая теорема показывает, в каком смысле Х(, („х,) непрерывно зависит от (г„х,).
Теорема 1. Пусть на открытом множестве 6~=Кх Х К" функция Г: б — й" удовлетворяет условиям А) — В) тэ 195 По лемме п. 2.5.3 (п(я)=й(я), я)(я)=!хс(я) — хс(я)!, Ь=!хс(т) — хс(т))) имеем ] ео)ив ( х, (с) — х, (Ф)( ( / х, (т) — х, (т)! е) ', р «= с ( у. (4) В) Выберем теперь е) О так, чтобы ]е(.)сь ея~ «- е, и пусть ((„х,)Е6. Поскольку 6(=2(', решение х( ) = =Х(., я„х,) определено на [(), у]=[с,— Ь, с,+Ь]()Ь. Покажем, что оно останется на этом отрезке в 2(". Действительно, пусть Т=япр(с) г,<г<ш)п(г,+Ь, (с+8); (я, х(я)) Еря', )(сяЕРс я]).
(6) На отрезке [с„Т] к решениям х( ) и х(.) применимы рассуждения п. Б) доказательства и в силу (4) г й (о Йъ ] я (оя5 (х (Т) — х (Т)) е=) х,— х (7,)~ я' < ее Но тогда (Т, х (Т))Е(п(й' и точка (с, х(с)) остается в Ю и при" с > Т, близких к Т, что противоречит определению (6). Аналогично рассуждаем н для Я(Я,. Поскольку (р, х (р)) Е Ю и (у, х (у)) Е М решение х ( ) определено на отрезке [с,— 2Ь, с,-(-26]ПЛ. К этому отрезку снова применяем те же рассуждения и убеждаемся, что (с, х(с)) остается в М.
Продолжая эту процедуру, убеждаемся, что х( ) определено на Л. Г) По доказанному любое решение Х(, с„х,) остается в з);, если (с„х,) б6, Вспоминая о функции х( ), получаем неравенство (Х((„я„х,) — Х(7, Г„х,)(= 197 Возьмем теперь два решения, у которых (г„х,) Еб и ((м х,) Еб. Тогда ввиду (4) и (7) ~ Х((, 1„х,) — Х ((, (ю х,)~ «» » ~ Х ((, Е„х,) — Х (Е, Е„х,)~+ ( Х ((, Е„х,) — Х ((, („х,)~ » Г ( ь(нлв » ~к(в)((в~+/хь — Х(г„(„х,))е~" 1» = $к(з)((з~+ ~!х — х,(+~) ~с(в)((зЦел (3) с (« что,очевидно, стремитсякнулю при г' г, г, г,,х, х„ доказывая непрерынность Х((, („х,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
