В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Ввиду произвольности з это приводит к (3). ° Название, которое мы дали этой теореме„связано с тем, что в классическом анализе ей соответствует тео- рема о независимости смешанной производной от по- рядка дифференцирования: — = — (почему?). Следствие 2. Производная Г""(х) (если суи(ест- вует) является симметрической аолилинейной функиией. Д о к а з а т е л ь с т в о. Г$ри п = 2 это утверждение только что доказанной теоремы. Далее рассуждаем по индукции, используя равенства а"-п)(х)[Ц)[),. "ч.— 1=1'"'(х)К,.
),. ", ),,1= =((~'"-и)" (х) [$, Ч11) [~)„..г, «)„„!. Воспользовавшись индукционной гипотезой, получаем из левого равенства инвариантность )'"'(х)[$, и„ ..., Ч„ 11 относительно перестановки аргументов т)„ а из тео- ремы 1 и правого равенства следует ийвариантность относительно транспозиции $ и и,. Для доказательства симметричности )'"(х) этого достаточно, ° Переходя от симметрической полилинейной функции к соответствующей ей форме (см. пример в 2,2.1), мы получаем из производной дифференциал. Определение 2. й" [(хч! З) =)" (хч) [й, ...1 й~. Пример.
Если Я(х)=П(х, ...,х),где ПЕ.2ч'(Х,У), то, согласно предложению 2, йл(е(0; й)=0 при йэьп 158 с(»Я (О; й) = й)Я (й). Лемма. Если ~'»'(х) существует и 1'(х)=0, ~'(х) = О, ..., ~'»'(х)=.0, то Иш 1~( +„)1 =О. о о РЙ1" Доказательство. При а=1 утверждение ве)оно по определению производной. Далее рассуждаем по индукции. Пусть п > 1. Положрм д(х) =('(х). Тогда у(х) ='О, ..., д'»-о(х) =О, и по индукционной гипотезе для всякого в > 0 найдется такое 6 > О, что ()д(х+Й,)[<е)Й,1»-' при )Й,)(<6.
Теперь по теореме о среднем при 1Й[ < Ь имеем )!~ (х+й) [=)~Ях+й) — ) (х) — ~ (хай) < зпр 11" (х+Й,) — 1'(х)11Й//= о со,ю зпр (д(х+Й Ц(й)( зпр е)й р (Й)=а[у», ° о, о ~о, о~ ' о1 . Ео, Ч Теорема о формуле Тейлора. Если )»(х) существует, то 1 (х+й) =) (х)+с() (х; Й)-,'-... -1- — с(»~(х; Й).~ со (Й)1Й;р где 1ппос(й) =-со» (0) =О. о- о Доказательство. Рассмотрим функцию д($)=~(х+Ц вЂ” ~(х) — 4(х; $) —...— — 1д»~(х; $). Воспользовавшись приведенным выше примером и равенством о(о~(х; $) =)ио(х) [ч, ..., Ц, ~м'(х) Е.У" (Х, У), получаем с(оу(О; й) =М~ (х, Й) — — (ЫМ~ (х; й)) = О. Применяя следствие 1, согласно которому доп(0)— симметрическая функция из .Уо(Х, У), и предложение 3, согласно которому симметрическая функция обращается в нуль, коль скоро обращается в нуль соответствующая ей форма, мы заключаем, что д(0)=О, ..., ф»'(0)=0.
159 По лемме Ц($)((=о(!~$~!х), и утверждение теоремы дока- зано, причем а„(Ь)=я-> — „при Ь~О. ° Уп ражнение. Если 1>">(х) существует в звездной окрестности точки х, то [) ~~1(х+ь)-1(х) — Я(х ь) — ° ..— — >[х-т1(х, ь)((~ (л — 1) > зпр ((ра>(с)1хй3"; хе[х, хтн) и[ 2) ~~1(х+Ь)-1(х)->[1(Х, Ь) — .. — —,>[х1(х, Ь)!~~ япр 11>а> (с)-рл> (х) 1 да >>Р се[х, х+а) Указание.
Один из возможных путей решения. при л> [ производная 1'(х) непрерывна в окрестности точки х, н можно воспользоваться равенством > Пх+д)-1(х)=~ 1'(,+[л)а[1ь1 о (см. упражнение в п. 2.2.3). Неравенства этой задачи являются обобщениями классической формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, в то время как теорема дает нам ту же формулу с остаточным членом в форме Пеаио. Доказательство существования старших производных в смысле Фреше у конкретных отображений зачастую сопряжено с громоздкими выкладками. В то же время вычисление производных, а точнее, дифференциалов, т. е. соответствующих однородных форм, обычно можно произвести сравнительно легко.
Чаще всего это делается с помощью понятия вариации по Лагранжу. Определение 3. Функция 1=с) )'в некоторой точке х~(1 имеет п-ю вариацию по Лагранжу, если для любого Ь Е Х функция Ч> (сс) =1(х+>хИ) днфференцируема в точке с[=О до порядка и включительно. При этом п*й вариацией 1 в точке называется отображение Иь-еб"~ (х; Ь), определяемое равенством 6"1(х; Ь)=>р>х>(0) ° — „„~(х+аЬ)~ . (12) Следствие 3. Еслисуи~ествует~"'(х), тек ~ имеет и-ю вариацию по Лагранжу в точке х, причем бе~ (х; )с) = йк~ (х; й) = реь(х) Ре, ..., )е). (13) Доказательство легко получается по индукции из формулы Тейлора, так как, согласно последней, Г(х+а)е)=)(х)+ ~,йГ(х; й)+...
+ —,йрГ(х; й)+о(а"). Таким образом, если мы заранее уверены в сущест ° ВОВаиин ПРОИЗВОДНОЙ ~'л'(Х), тО ВЫЧИСЯИтЬ й"~ (Х;й) Можно, пользуясь формуламн (12) и (13) на основе дифференциального исчисления для функций' скалярного аргумента, что, конечно, много проще. Согласно предложению 3 дифференциалом для(х; й) производная)лк'(х) (т. е. полилинейная фуикция) однозначно определяется.
Обратное, конечно, неверно: функция может иметь и-ю вариацию, не имея производной Фреше ~"'. Читателю предоставляется самостоятельно вйясннть, какими дополнительными свойствами должна обладать и-я вариация, чтобы был верен аналог достаточного условна дифференцируемости (следствие 2 п. 2.2.3). й 2,3, Теорема о неявной функции Доказываемое в этом параграфе обобщение классиче- ской теоремы о неявной функции может быть с успехом применено в различных разделах анализа.
В дальней- шем мы будем иметь возможность в этом убедиться. 2.3.1. Формулировка теоремы о существовании не- явной функции. Пусть Х вЂ” топологическое пространство, У' и У вЂ” банаховы пространства, Чр' — окрестность пючки (х„у,) в ХхУ, 'Р— отображение из%' в Я, Че(х„уе) =г,. Если: 1) отображение х к Ч'(х, у,) непрерывно в тоюге х,, 2) существует линейньй непрерывный оператор Л:-1'- 2 такой, что для любого е)0 найдутся число б ) О и окрестность Е точки х„обладающие тем свой- ством, что из условия х~ Б и неравенств,'~(у' — у 1'ч б; '1у" — у,( < б следует неравенство ~1Ч'(х, у') — Ч'(х, и") — А(у' — у")'ц ( е~у' — у'ф; 3) Лу =г, Ь а и. Алексеев к др. то найдутся число К> О, окрестность Я точки (х„г,) в ХхЕ и отображение <р.Я- У такие, что: а) Ч'(х, ч (х, г))=г; б) Ц~р(х, г) — у,Ц(КЦЧ'(х, у,) — гЦ.
2.3.2. Модифицированный принцип сжимающих ото- бражений. Л е м м а. Пусть Т вЂ” топологическое пространство, 1' — банахово пространство, У вЂ” окрестность точки (С„у,) в Тх Гг Ф вЂ” отображение из У в )'. Тогда, если существует окрестность У точки С, в Т, число р > 0 и число 8, 0<8<1, такие, что йз С~У, Цу — у,Ц<~ следует: а) (С, Ф(С у))Е~' б) ЦФ(С, Ф(С, у)) — Ф(С, у)Ц(8ЦФ(С, у) — уЦ; в) ЦФ(С, у,) — у,Ц<р(1 — 8), то последовательность (у„(С) Ц и в ОЦ, рекуррентно опре- деляемавС равенствами у.(С)=у, у.(С)=Ф(С. у.— (С)) при любом С Е У содержится в шаре В (у„б) = =(у(Цу — у,Ц<р) и равномерно по С~У сходится к отображению С +~р(С), причем Доказательство.
Доказываем лемму по нндук. ции. Пусть С вЂ” некоторый элемент из У. Обозначим через Г„утверждение: чэлемент у„(С) определен для 0(й(п н принадлежит В(у„р)э. Вследствие того, что у,(С) = = у, ~ В (у„й), утверждение Г, верно. Пусть Г, верно, Тогда для 1(Й(п имеем вм вм Цул+т(С) — уь(С)Ц=ЦФ(С, у„(С)) — Ф(С, уь,(С))Ц= =ЦФ(С Ф(С у — (С)) — Ф(С у -1(С))Ц = Йм (8ЦФ(С, у„,(С)) у„,(С) Ц =8Ц у,(С) у„,(С) Ц.
Отсюда, продолжая проведенное рассуждение, получим Ц(у„„(С) у,(С)Ц(8Цу„(С) у„„(С)Ц( (8 Цу„,(С) у„,(С)Ц(...«8ьЦу,(С) — у,Ц= =8" ЦФ(С уь) — уьЦ. Сб2 Пусть теперь Й>1, А+1(~а+1; тогда вследствие неравенства треугольника ~Уа+~(1) Уа(1)~~= =1да+ю Я Уа«с-1Я+Уа+ю-1(1) ° а+Уа+1(1) уа(() К <(3"' '+ +Ва)(бз(1 у) — у (< < ~Д' В урр(1, д,) — д,(= —,,1а (1, д,) — у,!~ < Е р (1) 5=а В частности, полагая в (1) 1+1=а+1, 1=1, и используя условие в), получаем Ь.+ (1) — У (=Ь.+ (() — У (Г)+У (() — Уа(< <(у.„(() — у,(гн!+(У,(1) — у,(< 33+3(1 — Е)=3.
Значит, Г„+, верно, откуда по индукции утверждение верно для всех и. Но тогда из (1) получаем Ьа«(1) — уа(1)(< ~ а(Ф(1 уа) — уа( ~Г( "~1 (2) Из (2) следует что последовательность (уа(г) ) й) О) фундаментальна и вследствне полноты г сходится к некоторому элементу, которыми мы обозначим ф(1). Пере. ходя в (2) к пределу при 1 — оо, получаем„что аа 1р(1) — у„(1)(< —,,(Р(1, у,) д,(<Е Р. (3) Из (3) следует, что отображение г «уа(1), 1ЕУ, равномерно сходится к отображенню г' +~р(1), Наконец, положив в (3) 1=1, получим И р(1) — да(=(р(() — у,(1)+дг(1) — У,.М< ~оР~Р и) — и 14.1«з, и,) — и 11=с 2.3.3.
Доказательство теоремы. Доказательство сформулированной в п. 2 3 1 теоремы разбиваем на несколько пунктов. А) По условию теоремы А есть эпнморфизм из 1' в Я. Значит, по лемме о правом обратном отображении (п. 2.1.5) существует отображение М: Š— 1' такое, что (Ло М) (г) = г, (1) '1М(г)(<С//г( (2) 6* 163 для некоторого С>О. Положим Т=ХхХ и проверим применимость леммы п.
2.3.2 для отображения . Ф(1, у)=Ф(х, г, у) =у+М(г — Чг(х, у)). Б) Задав О, О <.0< 1 и е=8!С, где С вЂ” константа из (2), найдем окрестность Б, точки х, и число р, >О так, чтобы из неравенств !)уу — у,1 < р„1у" — у, ! < !э, следовало (в соответствии с условием 2) теоремы) неравенство (при »ЕБ,) 1Ч'(х, у') — Ч'(х, у") — Л(у' — у")! < е//у' — у'1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
