В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(3) Обозначим Р = Б, хл Х и (уа 1о) В) Пусть И = — ~,((С1Л!!+ 2). Используя непрерывность функции (х, г)~Ч'(х, у,) — г в точке (х„г,) (см. условие 1) теоремы), выбереМ окрестность Е,<=Б, точки х, ну > Отак, чтобы из (х, г) ЕЯ =. Б, х В (г„у) следовало неравенство (~ Ч'(х, у,) — г !! < !) (1 — О) ~С. (4) Г) Если (х, г)ЕЯ и уЕВ(у„, р), то дм ео )~Ф(х, ге у) — у~!)=)у уд+М(г — Ч~(х. у))!):~ ч="(!у-у )!+С( — Ч'(х у)!!"==(у — у,!~+ +С Дг — Ч" (х, у0) — Ч" (х, у)+Ч'(х, у„)+Л(у — я,)— — Л(у — у„)Ц ='(у — у,!!+СДг — Ч'(х, у,)/(+ сзу +((Ч'(х, у) — Ч'(х, у„) — юЛ(у — у,)))+!)Л(у — у,)!!) < < !! у — у, )! + С (!! г — Ч' (х, у,) (! + е !! у — у, !! + (~ Л !! ! у — у, Д ~~ ((4+О+С)(Л)!))(у уа(!+С!/г — Ч" (х, ув)'~~ (5) (ибо еС =-6!). Из (5) в силу (4) получаем, во-первых, что $Ф(», г у) — у !)< <(1+О+С!!Л!)Р+С~<' '~=(2+С)Л)!)Р=,Р,.
(5') Значит, выполнено условие а) леммы п 2.3.2: (х, г, Ф(х, г, у)) ЕУ Во-вторых, при у=-у, получаем )!Ф(х, „у,) — у„!)<С!! — Ч'(х, у,),, '< С ~ =!)(1 — О). В (1 — в) (5") Значит, выполнено условие в) леммы п.2.3.2. 164 Д) Если снова (х, 2)ЕЧ(, уЕВ(у„р), то йе> 16>(х, г, Ф(х, г, у)) — Ф(х, г, у) = =Ф(х, г, у)+М(г=Ч'(х, Ф(х, г, у))) — Ф(х, 2, у) = =М(г — Ч>(х, Ф(х, г, у))). (6) При этом вследствие (1) ЛФ(х, г, у) =Лу+ЛМ(г — Ч'(х, у)) =Лу+г — Ч'(х, у), откуда г=Ч'(х, у)+Л(Ф(х, г, у) — у).
(7) подставляя (7) в (6) и учитывая, что в силу (5') ф(х, г, у) ЕВ(у„6,), получаем (б> ((Ф(х, 2, Ф(х, 2, у)) — Ф(х, 2, у)1= >2) (7> ='1М(2 — Ч'(х, Ф(х, г, у)))((С)2 — Ч'(х, Ф(х, г, у))(= >з> =С)>Ч'(х, Ф(х, г, у)) — Ч'(х, у) — Л(Ф(х, г, у) — у)>/( (Сг(у — Ф(х, г, у)1=6)>у — Ф(х, г, у)(. (8) Таким образом, выполнено условие б) леммы н.
2.3.2. Е) Еще раз сравним лемму п. 2.3.2 и наши построения. Топологическому пространству Т в лемме соответствует у нас произведение ХхЯ, точке 1,— точка (х„г,), окрестности У точки 1,— окрестность Я точки (х„г,), окрестности У в лемме соответствует окрестность У, построенная в Б), отображению (1, у))-ьФ(1, у) соответствует у нас отображение (х, г, у))~Ф(х, г, у), числу р в лемме соответствует число р, построенное в Б). Тогда соотношение (5') означает, что выполнена условие а) леммы, соотношение (5") †ч выполнено условие в), наконец, соотношение (8) означает, что выполнено условие б). Значит, можно применять лемму. Ж) По лемме. последовательность (у„(х, г) ~ и ~ О), (х, г) ЕЧ(, определяемая рекурреитно равенствами у,(х, г) =у„у„+,(х, г) =Ф(х, г„у„(х, г)), содержится при всех о~О в шаре В(у,„6) и равномерно сходится к функции )р(х, г), причем 3 )р (х, г) — у, (! >) Ф (х, г, у,) — у, 1/ (1 — 6) = С =>/М(г — Ч>(х, у))Д1 — 6) ( (— '1 г — Ч'(х, у)~, >аз так что выполняется утверждение б) теоремы с К С1(1 — В).
3) 1Ч~(х, <Р(х, г)) — г1< О) <1Ч'(х, ф(х, г)) — Чг(х, у„(х, г))(1+1Ч~(х,у„(х, г)) — г~( <1Ч»(х, «Р(х, г)) — Чг(х, у,(х, г)) — Л(ср(х, г) — у„(х, г)) /!+ сзь ов +1Л(~Р(х, г) — у„(х, г))1+1ЛМ(г — Чг(х, у,(х, г)))1 < < з/!<Р(х, г) — у„(х, г)1+)ЛЦЗР(х, г) — у„(х, г)1+ +!/Л~Цу„+г(х, г) — у (х, г)1 — О при п — оо. Поэтому Ч»(х, (Р(х, г)) =г.
(йй 2.3.4. Классические теоремы о неявной функции и об обратном отображении. Из доказанной выше общей теоремы легко выводятся две классические теоремы, постоянно используамые в различных прикладных для анализа областях, например в дифференциальной геометрии. По сравнению с п. 2.3.1 мы усилим в двух направлениях требования, предъявляемые к функции Ч'. Во-первых, теперь она будет предполагаться непрерывно дифференцируемой, а во-вторых,— и это наиболее существенно — оператор Л, входящий в формулировку теоремы п. 2.3.1, будет предполагаться обратимым. Все это обеспечивает гладкость и единственность неявной функции.
А) Классическая теорема о неявной функции. Пусть Х, г", Х вЂ” банаховы пространства, Чу — окрестность в ХХУ, Ч«: Яг — Х вЂ” отображение из класса С' ()Р). Если: 1) 1 (х», у») О1 (1) 2) существует обратный оператор [»р„(х„у,Ц-' а ~.У(Я, 'г'), то существуют такие з > О и Ь > О и такое отображение ~Р: В (х„Ь) — У класса С' (В (х„б)), что: а) 'Р(х«) =У«' (2) б) [ х †«Ц < Ь =ч»П Ч (х) — у«Я < е и Ч'(х, <Р(х)) = — О; в) в «прямоугольнике» В (х„Ь) х В (у„з) равенство 'т(х, у) =О возможно только при у=<Р(х); г) <р'(х) = — [Ч",(х, «Р(х))1 "Ч"„(х, ~Р(х)).
(3) Д о к а з а те л ь с т в о. Из непрерывной дифференцируемости Ч«в Яг следует выполнение условий 1) и 2) 166 теоремы существования неявной функции из п. 2 3.1 (для проверки 2) надо положить Л=Ч'„(х„у,) и воспользоваться теоремой о среднем). Условие 3) выполнено, поскольку существует Ч'„-'(х„у,). Значит, по этой теореме найдутся число К > О, окрестность Уйх, и отображение ~р: У- У такие, что Ч' (х, <р (х)) = О, (4) 1 р(х) — «.>(ЛЛ(х, у.)~! (6) Полагая в (6) х=х, и использу» (1), получаем (2), а (4) дает вторую половину утверждения 6). Б) Отображение Ч'6Ст(ЯГ) и потому строго днфференцнруемо в точке (х„у,) (следствие 2 п.
2.2.3). Следовательно, для всякого х ) О найдется такое е(х) > О, что 1х,— х,1< е(х), )у,— у,'1< е(х), 1=1, 2, =О ~ ~~ Чг (х„у,) — Ч' (х„у,) — Чг„(х„у,) (х, — х,)— — Чг„(х„у,) (у, — 9,) ( ( х шах ( ( х, — х, (~, )! у, — у, Ц. (6) Сначала .положим х, = '/,(Ч"„'(х„у,) ( г и найдем соответствующее е = е(х,).
Поскольку Ч'(х, у) непрерывна н Ч'(х„у,)=О, найдется такое Ь, О < 6 < з, 'что В(х„б) (х/~х — х,1<б) с= У рн 1х — х, 1 < Ь ~ ( Чг (х, У,)'~ < — =Ф !(~Р (х) — У, 1 < е, (7) а следовательно, выполняется первая половина утверждения 6). Предположим теперь, что Ч'(х, у) =О в точке (х, у) ~ чВ(х„б)хВ(у„е). Применяя (6) с указаиным выше х, (х,=х,=х, у,=у, у,=<р(х)), имеем 1У ~Р(х)1!=!!Чэ (хо~ Уа) 1у(х0ю Уа) (У вЂ” 'Р(х))(«( ('1Ч'„-'(х„У,)1'1 Ч'(х, У) — Ч"(х, ~Р(хт)) — Ч'„(х,„«,)(У вЂ” ~Р(х))1( (!~Ч" (х„у,) "(х„'<у — ~р(х)(= — (у — <р(х)1, что возможно лишь при у=~р(х), т. е.
верно утвержде- ние в). 167 В) При тех же х„е, Ь положим в (Б) х, =х, х,=х„ У( = Уа = Уа. Тогда (6) 3 а1<Ь~~(Ч)(х У) — )р(х у) Ч) (. )( (5) У )()~((Ч (х„у )((+х )()х— К(((Ча(ха Уа)(+хо)(х — х !/. (Ь) Теперь зададим произвольно х, > О н применим (6) к х,=х х,=хо У(=(р(х) Ув=уа. Для в (хй Ь, = пип ~е (х,),,„), !~~« Ха!! < ба ==З овЧю (хо Уа) Ч х (Ха Уа) (Х Хв)+(Р(х) Уа((=о =((Ч'„-' (х„у,) (Ч"„(х„у,) (х — х,)+Ч'„(х„у,) ((р (х) — уо)) (я» ~~3'Рв'(Ха, Уо))!!'Р(Х~ (Р(х)) — '~'(Хоа Ув)— (6) — Ч'„(х„у,) (х — х,) — Ч'„(х„у,) ((р (х) — у,) /) « (в) ~(((Чг;,' (хо Ув)((хв шах Ях — хо((, (((Р(х) — Уо() ~(Схв((х — хв((, где С =(~Ч(в'(хо, Уо) ~(шах (1, К(((Ч'„(хв, У»И)+хо)).
Поскольку х, можно выбирать произвольно, доказанное неравенство означает, что при х х, Чу (ха Уа) Чав(хо Уо) (х «а)+Ч) (х) Уо = о(х Ха) или р(х) = Уо+1 — Ч','(х., Уа) Ч'. (Ха, У)Я(х — х.)+о(х — .), а следовательно, су(цествует производная Фреше (р'(х,), н равенство (3) имеет место при х=х,. Чтобы доказать диффереицируемость ф при остальных х, напомним, что множество операторов Л, для которых. существует обратный, открыто в Я (Х, У) (предложение 3 в п. 2.2.Г). Поэтому„уменьшив, если нужно, Ь, мы можем считать, что Ч'„'(х, ф(х)) существует при ((х — х,) < Ь.
Теперь можно повторить все доказательства, заменив точку (х„у,) точкой (х, (р(х)), где )(х — х,(< Ь. В силу доказанной выше единственности мы получим ту же 1еа самую функцию ф(х) (по крайней мере, если 1~х — х«до. статочно мало) и для нее формула (3) будет верна при х=х. Так как х было произвольно, то утверждение г) имеет место прн всех хЕВ(х„б). Наконец, производная ф' (х) непрерывна, так как, согласно (3), она представляется в виде суперпозиции непрерывных отображений х«-ь(х, «р(х)), (х,у)«-«Ч"„(х,у), (х, у)«-ь Чг„(х, у) и А + А-' (последнее непрерывно, поскольку ойо дифференцируемо по Фреше согласно предложению 3 п. 2.2.1). ° Замечание. Если в дополнение к условиям теоремы Ч'~ С'(%')«г > 2, то ф ЕС'(В (х„б)).
Действительно, из формулы (3) и теоремы о супериозиции можно вывести, что ф" (х)= — «Ч'„(х, ф(х))-'о Ч',(х, ф(х)))' существует и непрерывна. Далее рассуждаем по индукции. Теорема об обратном отображении. Пусть У и Х вЂ” банаховы пространства, Ж вЂ” окрестность пючки у, в У, Ч'. Ф' — Х вЂ” отображение кв оса С' ($Г), г, = Чг(у ).
Если существует обратный оператор Ч«'(у«) ' Е.гг(2, У)« а) существует такое е > О, что В (у„е) ~ Ж а У=«г~г=Ч«(у), «у — у««<е)=Ч'(В(у„е)) — окрестность г, в Я; б) существует отображение Ф: У вЂ” 1' класса С'(У), обратное к Ч'~В(у„е), т. е. такое, что у=Ф(г)евг=Ч'(у), (у, г) Е В(у„е)хУ; (9) в) Ф' (г) = ГР' (б) (г)Н-'. (10) Д о к а з а те л ь с т в о, А). Отображение Ч' ~ С' (М7) строго дифференцируемо в каждой точке В', в частности и в у,. Поэтому для всякого х>0 найдется е(х) >О такое, что «у,— у,«< е(х), 1=1, 2, ~ еФ«Ч" (у,) — Ч'(у,) — Ч" (у,) (у,— у,) «<х«у,— у, «. (11) Выберем е > 0 так, чтобы для всех уЕВ(у„е) существовал обратный оператор Ч'(у)-' (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
