В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Часть формулировок дана в несколько более общей форме, чем это обычно необходимо. Чаще всего мы имеем дело только с кусочно непрерывными управлениями и( ), но и в этом с))учае удобно говорить об «нзмеримости», «интегрируемости» и т. и. 183 Функция х(-) называется решением дифференциального уравнения х=Р(1, х), если она абсолютно непрерывна (см. и. 2.1.8) и удов.
летворяет уравнению почти всюду. В эквивалентной формй х( ) должно быть решением интегрального уравнения г х(() =х((.)+Ъ Р(е х(з)) Ае. и 2.5.1. Основные предположения. Здесь.и далее будем предполагать, что 6 — открытое множество в )сх)с" и что функция Р: 6 — К' удовлетворяет следующим трем условиям: А) Для любого х функция 1 мР(г, х), определенная на сечении 6„=(1)(1, х)~6), измерима и интегрируема на любом конечном отрезке, содержащемся в 6„. Б) Для любого 1 функция х~-ьР(Г, х), определенная на сечении 6, = (х)(1, х) Е6), дифференцируема (хотя бы в смысле Гаго).
'В) Для любого компакта Мсб существует такая локально интегрируемая функции й( ), что (Р (1. х)!<А(1), ~(1, х)буй (1) (Функция называется локально интегрируемой, если она иитегрируема на любом конечном отрезке.) Типичный пример доставляет функция Р(1,- х) = = р(г, х, иЩ, где ~р(г, х, и) и ~р„((, х, и) непрерывны на 6;сФ, а и: е(- Я кусочно-непрерывна.
Условия А) и Б) здесь очевидны, а й(г) можно положить равной максимуму ~! Р„(г, х)( иа М. Другой пример — Р(г, х) = А(г)х, где А(.) измеримая локально интегрируемая матричная функция, А й Я(яп ~п) 3 а не ч а н и е. Условия А) — В) более ограничительны, чем известные условия Каратеодори Щ но они лучше приспособлены, с одной стороны, к нашим потребностям (рассмотрение уравнений х=~р(г, х, и(1)) с разрывными управлениями и( ), но с существованием производной ~р„), и к нашим возможностям (ацпарат дифференциального исчисления $2.2), с другой. 164 Лемма 1.
Для л»обоза компакта Ь~'~6 су«цесамуеш локально интегрируемая функция х( ) такая, что ! Р (~, х) ( ( х ((), у (т, х) Е М. (2) Доказательство. Поскольку М вЂ” компакт, суще- ствуют такие Ь > О и г > О, что для любой точки ((„х,) б Ю «цилиндр» С,,= Я, х)1('» — Г„(<Ь, (х — х,~ (г)с6. Для этого цилиндра, согласно В), найдем локально ин тегрируемую функцию й,,„,(1). Снова используя компактность, покроем Ю конечным числом цилиндров: зс<" 0 С, „. »=~ Функция М х (») = ~ [( Р (», х;) (+и» (»)'г1 уи -г, О+«1(О !=! — искомая ()ць, з1( ) — характеристическая функция от- резка [а, Я; (Р(Г, х,)! интегрируема на [(; — Ь, (,+Ь1 в силу А)). Действительно, ((, х) Еуб=>Э(, ((, х) ЕС, „=> ~!Е((, х)(((р(Г, х,)(+! р((, х) — р((, х,Н( (~с((, х))+ зпр ',(Р„(Г, с)[гч,х(8) (отрезок [(г, х), ((, х,)[~С,,„, и применима теорема о среднем п.
2.2.3)). Лемма 2. Если функция х: Ь вЂ” К" непрерывна на отрезке А и ее график ((1, х(()) ~ (ЕА) лежит в откры- том множеспме 6<=ах »«'", а функция Р: 6 в К" удов- летворяет условиям А) — В), то функция (~-ь~(Г) = = Р((, х(г)) измерима и интегрируема на А. Доказательство. При достаточно малом е) О УС=[(Г, х)((х — х(Г)(ч"г, (ЕЬ)<=6, и пусть Й ( ) — функция, отвечающая этому компакту в силу условия В).
Непрерывная функция х(-) является равномерным пределом кусочно-постоянных функций х„( ) и без ограничеция общности графики х„( ) лежат в Ю. На каждом интервале постоянства х„( ° ) функция (ь-«Г„(()=Р(«, х„(г)) измерима и ннтегрнруема по ус- ловию А)„а потому (,( ) измерима н интегрируем на А. 136 Используя теорему о среднем (п, 2.2.3) и (1), имеем Ц„(») — 1 (») ~ = ~ Е (», х„(»)) — Е (», х (»)) ( ( <й(»Их„(») — х(»)!, откуда»„(»)- »(») прн всех»~б, а значит, »(.) изме- рима как предел измеримых функций (КФ, стр. 2841.
Наконец, ~»(») ~ » ~»„(»)1+Я (») 1х (») — х (») ~ и, следовательно, »(») интегрируема. 2.5,2. Локальная теорема существования. Пусть на открытом множестве бтра Х й" функция Р: »» — й" удовлетворяет условиям А) — В), и пусть компакт М<=0. Тогда существуют такие Ь > О и е > О, что для лю- бой точки (», х) ~бб и для (»„х,), удовлетворяющих не- равенствам х(»)=х„+ ~ Р(з, х(з))»(з, и мы применим лемму п. 2.3.2 к отображению (о (»„х„, х( ))~-ьФ(»„х„, х( ))=х,+~ Р(з, х(з))дз.
(4) (3) ) »,— »"~ < Ь, (х,— х~ < э, ре»иение Х (», »„, х,) задачи Коши х=р.(», х), (2) х(»в) =хе определено на отрезке 1» — Ь, '»+81 и является непрерыв- ной функцией по совокупности аргументов. Доказательство. Применим к рассматриваемой ситуации принцип сжимакицих отображений в формули- ровке п. 2.3.2. Задача Коши (2) эквивалентна интеграль- ному уравнению Выберем у и р тэк, чтобы бб,=((», х) ~~» — »!~(у, !х — х(з-Д, (», х)Еуб)сб, и пусть й(.) и к( ) — интегрируемые функции, отвечающие в силу В) и леммы 1 п.
2.5.1 этому компакту. Займемся проверкой условий леммы п. 2.3.2. Топологическим 18б )г=((>» х» «('))!!Го Е!<6, 1х> х~ <в> )~'()-.( Ц.<И.,(6) Константы е и О таковы, что О < О < 1 и О < е < 6 (1 — О). Условие в) п. 2,3.2 выполняется, если для ГЕ!1 — 6, 1+ Ь~ ~х,+~ Р(з, х)оз — х~ <6(1 — О).
>> (6) По лемме 1 п. 2.6.1 ~ Р(з, х))(» (з), и, выбрав Ь доста- точно малым, будем иметь ~ ~ Р (з, х) ~ с(з ( ~ и (з) дз < 6 (1 — О) — е, (7) г-Ь 7-а откуда следует (6), поскольку (х,+~ Р(з, х)>(з — х~ ..~х,— х~+~ ~ Р(ь., х)Нз~ !> >> <е+ ~ 1Р(з, х)!з<6(1 О).
7-а Условие а) и. 2.3.2 означает, что отображение (С„х„х( ))>-э(Ю„«„Ф(>„х„х( ))) переводит У в себя. Ойо выполняется, если ~х, + ~ Р(з, х(з)) бз — х~ < ~ о дл" (г> х> х(')) Е!> и (Е(à — 6, >+6] Оценим здесь левую часть, используя (6), теорему о среднем и (1) !В7 пространством Т здесь будет множество (!), !7 = Т, У=СД вЂ” 6, 1+Ц, К'), где 6, 0 < 6 <7, мы подберем позже; у,(з) =х> ! х,+ ) Р(в, х(в))с(в — х сц с <(* 4 )Ос, «)с са (б(1 — 8) + ~ й(в)(х(в) — х)с(в~~ с -ь Ф с+ь ~8(1 В+ ) д() в)~б, если выполняется неравенство Р+ь й (в) с(в 9, (8) 7-ь чего мгя можем добиться, уменьшив, если нужно, б.
Наконец, поскольку уже проверено условие а), условие б) п. 2.3.2 выполняется, если )Ф(1., х„х( )) — Ф((„х„у( НК8(х( ) — у(.Ц для любых (с„х,„х( )) ЕУ и (1„х„у(.)) 6Р. Но ((Ф (К„х„х ( )) — Ф (со х,„у ( )) (= с $*,;-(сс, *(*))с — *,— КР(', м\ пс $ с, - -1(ссс, *< с — с(*. и<с)сс / ~ саь ь ( ~ й(в)с(в'1х( ) — у(.)1 '01х( ° ) — у( Ц у-ь в силу (8). Таким образом, лемма и. 2.3.2 применима, и потому последовательность Х,(., с„х,), определяемая равенствами Х,(, с„х,)=х и сс Х„ь,( , (е, х,) = х, + $ Р'(в, Х„ (в, („ х,)) с(в, (8) 188 равномерно по (1„ х,) из (1) сходится в пространстве Сф — Ь, (+Ь], 1с"), т. е.
равномерно ног ~(7 — Ь, 7+ Ь). Переходя к пределу в (9), получаем, что Х(1, г„х,)= =1ппХ„(1, („х,) удовлетворяет интегральному уравнению (3) и, следовательно, является решением задачи Коши (2). По индукции легко проверяется, что Х((, г„х,) непрерывны, а поскольку сходимость равномерна, то и Х (г, 1„х,) непрерывна по совокупиости аргументов. ° 2.3.3. Теорема единственности. Лемма (неравенство Грон уолл а). Пусть неотрицательные функции а( ° ) и в( ) измеримы на отрезке Ь, причем а( ) а( ) на Ь интегрируема.
Если для некоторых Ь)0 и т~Л и для всех тЕЛ выполняется неравенство с)~!'1.м <и !~-~, яю для всех 1(г Ь ю(г) и; Ье ' (2) Доказательство. Пусть сначала г~т. По условию Ж = ~ а (в) го (з) дв ( оо и, согласно (1), в(1) ( М+Ь. По индукции находим, что из (1) вытекают неравенства в(() (Ь+Ь ~сс(в) с(в+... ю-1 т ... +, ) а(в)с(в + ~, ) а(з)дв . (3) т Действительно, при т=О (3) верно, а если (3) верно при некотором т, то, подставив зту оценку в (1) и вос- 189 пользовавшись равенством [1 ()~~ +1 убеждаемся, что (3) верно для и+1.
Переходя в (3) к пределу при т — оо, получаем (1). . При 1«т рассуждаем аналогично, надо лишь везде поменять местами пределы интегрирования. (Заметим, что функция и( ) не обязательно иитегрнруема, так что правая часть в (2) может оказаться бесконечной.) ф~ Теорема единственности. Пусть функция Р: 6- 11" удовлетворяет условиям А) — В) и. 2.5.1 в открытом множестве 6~%:к й"; Ло 1= 1, 2, — интервалы в (с и х,( ): Ль -11" — два решения задачи Коши (2) п.
2;5.2, графики которых содержатся в 6. Тогда х,(1)= — х,(1) для всех 1 Е Ь, П Л,. Доказательство. Множество Ь=(1~х,(1) =х,(1)), очевидно, замкнуто в Л,0 Ь, и непусто, поскольку 1,бЬ. Остается проверить, что оно открыто, и тогда утверждение теоремы будет следствием связности интервала Л, П Ь . Пусть 1 Е Л, так что х, (1) = х, (1) = х. Выберем такие 7~0 и ~) >О, чтобы уу=((1; х)) (1 — 1(~~у, )х — х((Я<=6 и чтобы (1, х;(1))Еус при (1 — 1)»у; функция й(1) от,вечает зс в' силу условия В) п. 2.5.1. Применяя теорему о среднем (п.
2:2.3) и неравенство (1) п. 2.5.1, находим, что (х,(1) — х,(1)(( ~1г'(з, х,(в)) — Р(з, х,(з))1с(з ( 1 ( ~й(з))х,(з) — х,(з)(сЬ ! Если теперь к функции о(1)='(х,(1) — х,(1)( применить 190 на (à — у, 1+у1 только что доказанную лемму (а(1) = я (1), Ь=О), то, согласно (2), х,(()=х,(8). Следовательно, (1 — у, (+у)шЛ,и Л открыто. ° 2.5.4. Лннейные дифференциальные уравнения. В этом пункте Л вЂ отрез числовой прямой, А: Л- .У(К", К"), Ь: Л- К" и с: Л-- *К"' — интегрируемые матрнчная функция и две веКтор-функ- ции; х=(х„..., х„)5К", р=(р„..., р„)ЕК"'.
Мы будем рассматривать линейные системы дифференциаль- ных уравнений х= А (() х+Ь(1) (1) и р = — рА (1)+с(1) (2) (иногда систему (2) называют сопряженной системе (1)). Хорошо известно, что для линейных систем существование решений удается доказать нелокально, в нашем случае — на всем отрезке Л. Лемма. Если функции А: Л- .У(К", )(л), Ь: Л- и с: Л вЂ” К"' измеримы и интегрируемы на отрезке Л, то. иобая задача Коши для уравнений (1) и (2), поставленная в момент 1,5Л, имеет единственное решение, и это решение продолясается на весь отрезок Л. Д о к а за те льс та о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
