В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Полагая в (8) (= г, Гь=т, х,=х(т) и вспоминая, что по теореме единственности Х ((, т, х (т)) =— х ((), имеем откуда Х((, г„х,) — х(() равномерно при х,— х(т), «в' «т ° Перейдем теперь к непрерывной зависимости решений от параметра, Предположим, что нам дано семейство дифференциальных уравнений х=р„(г, х), зависящих от параметра аЕЙ, где г( — некоторое топо- логическое пространство. Т е о р е м а 2.
Пусть на открытом множестве б ~ К х К» функции семейства (Р„: б — В" ( а Е 6) удовлетворяют при каждом аЕЙ условиям А) и Б) п.2.6.1; х: 1('„Г11- — К" — решениг уравнения (6) при а=а и график Г = =(((, х(())~ (,»(» г',)(:б, и пусть еще выполняются условия В') Для любого компакта зь'~б существуют такие локально интегрируемые функции к( ) и и(.), чпю для 19$ любых ((, х) Езь', (хай имеют лсесто неравенства 1Ра(11 х)1» к (1)~ (Рах ((~ х)$~~й ((). (1О) Г) 1пп ~ ~Ра(з, х(з)) — Р-„(в, х(з))1((в=О.
(11) а а" 1е Тогда суи(ествуюсп 8 > О, окрестность Й~Г в 6, и окрестность У Э а в Й такие, что для (1ю х(,) Е 6, а Е У решение ха(1, 1„Х,) задачи Коши (9), (2) ',определено на отрезке А=~1,— о, 1,-)-6) и при 1, т Е ~Е„Е,], х, х(т), а- а Ха(1 (м Ха) — » Х(1) равномерно по 1Е '11„1,1. Доказательство этой теоремы проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 1 с небольшими изменениями. В пункте А) мы учитываем, что число Ь в локальной теореме существования определяется перавенствами (7) и (8) п.
2.5.2 и в силу условия В') может быть выбрано одним и тем же для всех (хаий. В пункте'Б) заменяем х,( ) решением х ( ) уравнения (9), а х,( ) — решением х( ). В опенке следует учесть, что теперь правые части уравнений разные, в связи с чем ) ха(1) — х(1)(( (/х„(т) — х(т))-) ~ (Ра(з, х(з)) — Р„- (з, х(з)))с(з + и (4) заменяется неравенством (ха(1) х (1)( ~( ( ха(т) х (т)) )+ 1(с„(» *()) — с.,(» )()))ш ~) ~' ~. (4) В неравенстве (5) надо заменить е на 2е, а 5 и У следует с учетом условий В') и Г) выбрать так, чтобы )99 выполнялис неравенства ! 1(к(*, ч «-;<, 'мвиа!к ч+8 ~Р (в, х(з) — Р„-(в, х(в))1авк;,, ~а-Ь ~2~ ~ + ~ к(в)Ыз + 1,Г,-8 Г, +) ~Р (з, х(з)) — Р=(в, х(з))~аз е.
(12) ~е Тогда рассуждения пункта В) (с заменой (4) на (4') ос- таются в силу одновременно для всех аЕ У. В пункте Г) следует в неравенство (8) внести уточ- нение, вытекающее из замены (4) на (4'), после чего мы получаем !Ха(1> («хе) х(Г)3~ ..—.-()+1~.() + 1с, ТФ У, ) «гое« +~ ~ Ра(яэ х(в)) — Рй (яэ х( я)))йв е о и остальное очевидно. ° Следствие. Если выполнены все условия теоремы 2, причем условие Г) в усиленкой форме: Г') для любой функции х: [с«, Ц- 1с", ерафик кото- рой лежит в б и любого о.ЕЙ У, 11ш ) (Р„(з, х(з)) — Е-„(в, х(з))1сЬ=О, Ф->ч то решение х„(1, Г„х,) задачи Коши (9), (2) является на Лхбх У непрерывной функцией от (Г, г„х„а). Доказательство. При любых (г„х,)~б н с«~ У график решения х( )=Х-„(, ~„, х,): Ь- Гч" лежит в б.
300 Теперь мы можем применить теорему 2, заменив в ее условиях х( ) на х(.). ° Аналогом основного свойства фундаментальной матрнцы линейной системы (формула (11) предыдущего пункта) является следующее тождество: Х(1, т, Х(т, г„х,)) =Х(1, („х.). (1З) Оно автоматически вытекает нз теоремы единственности, поскольку каждая нз частей является решением уравнення (1) н прн 1 = т обе онн совпадают. Читателям рекомендуется продумать связь между этнм тождеством н принципом Гюйгенса и. 1.1.3. 2.5.5. Теорема о днфференцнруемой завнснмостн решеннй от начальных данных.
До снк пор наше нзложенне было основано на сравнительно слабых предположеннях А) — В) и. 2.5.1. Чтобы продвинуться далее н установить днфференцнруемость решения задачи Коши Х (с, 1„ х,) по начальному значению х„ этн предположення придется несколько усилить. Прн этом открывается возможность применения классической теоремы о неявной функции. В доказательстве теоремы этого пункта мы не будем останавливаться на существовании решения Х(1, г„х,) для ((„х,)Еб н его продолжнмостн на все 1~А, поскольку н то н другое следует нз теоремы 1 и.
2.5.5. Тем не менее чнтателю полезно убедиться в том, что оба этн факта также вытекают нз теоремы о неявной функции н прн желаннн можно было бы обойтись без ссылки на предыдущий пункт. (Аналогнчное рассуждение будет полностью проведено в и. 2.5.7, где прн еще более сильных предположениях доказывается днфференцнруемость по 1, н теорема о неявной функции применяется в несколько ином варианте, чем здесь.) Теорема. Пусть на открытом множестве бс" 11х 11» функуияр: б - й" удовлетворяет условиям А) и В) и. 2.5.7 и условию: Б') для любого(функция х»Р(1, х) непрерывно дифференцируема на сечении б, = (х1(1, х) Е б). Пусть х: ~1„Ц- й" — решение уравнения (1) и, 2 5.5, график Г = (((, х (()) ~ Гь ( 1 "' (,) которого содержится в б, и пусть 6, г и б — те же, что в теореме 1 и. 2.5.5; Л =[с,— 6, 1, +61. Тогда для любого фиксированного (, б Л отображение х,»»Х(, („х,) из В(х((,), г) в С(Л, 11") непрерывно Ю1 дифференцируемо по Фреше, причем Вд (( (о* хо) () (( (1) Вхо где Гя — фундаментальная матрица решений уравнения в вариациях 2 =Ех((, Х ((~ (о Хо)) 2.
(2) Доказательство. Пусть компакт Ю и функция А(() — те же, что и в теореме 1 п. 2.5.5. Множество в=(х( ) сС(Л, К")(((, х(()) 66, (чб), очевидно, открыто в С(Л, Ко). Равенством К(х„х(-))(()=х,+~ Р(я, х(я))йя — х(() (3) определим отображение У': Кох3 — С(Л, Ко). Очевидно, что У (х„х(.))=Осах(()=Х((, („х). (4) Пусть х, Е В (х ((о), е) фиксировано и х (() — = Х ((, („хо), Проверим, что в окрестности точки (хо, х( )) применима классическая теорема о неявной функции п.
2.3.4. Действительно, ЯЕ„,(х„х( )) [$о) =$„очевидно, непрерывна. Теперь вычнслйм производную Гато: у' ( ° ( )) [Ь (1 )1 (() = 1(п, У (хо, х ( )+иБ (.)) — Ж (хм х( И (() я(о (' Е (з, х (з) + с4 (я)) — Е (з, х (з)) а ( о ) Я оо = ) Гя(я, х(я)) $(я) х(я — $((). (5) Чтобы убедиться в сугцествоваиии предела, равномерного по (, заметим, что по теореме о среднем (п.
2.2.3) Е (з, х(з))+а$(з)) — Е(з, х(з)) а — ~ р„(я, х (з)) $ (я) аз ( ~ г„(з) аз, и Ь где г„(з)= шах '1Р„(з, с) — Р„(з, х(з))11$(з)~. с«$«нь «ш+аяон Ввиду условия Б') г„(я) — О прн каждом я н и(О, а в силу (1) п. 2.5.1 ) г„(з)) (2А (яи$1. По теореме Лебега об ограниченной сходнмости [КФ, стр. 3021 убеждаемся в существовании предела (5). Оператор 4Г.~ > (х. х ( )) [а ( )1 (Г) = ~ Р. (з х (я)) Ь (я)с(з ~е ограничен: ~~~.о(х х( )) [5( Н~~( ( шах ~ 11 Р„(з, х (я)) Ц15 (я) ! й < ) й (з) с(я(Ц ~а з н непрерывно зависит от х( ), так как !/Т«о,(х„х( )) — У»о(х„х( ))!1= с я зцр зцр~ ~ Р„(я, х(з)) $(я)дз — ~ Р„(я, х(з))$(я)~(з~~~ аяв<1 ( ) [Р„(з, х(я)) — 'Р„(я, х(я)):(оз. з Прн 1х( ) — х(.)11 — О имеем в силу Б') [ Р„ (я, х (з)) — Р„ (з, х (з))[ - О, Уз ~ Л, н снова в силу (1) п.
2.5.1 1Р„(з, х(з)) — Р„(я, х(з))1з (2А(я), так что прнменима теорема Лебега. Сославшись йа следствие 2 п. 2.2.3, устанавливаем, что существует непрерывная производная Фреше У',оь Пусть з)( )~С(о, (с«) произвольна. Согласно (5) У о> (х„х ( )) [$ (. )Д = з) (. ) <=> вз 1 Р„(, ( )) я ( ) я( — $ (1) = Ч (1) (6) и длн применимости теоремы о неявной функции нужно убедиться в однозначной раэрешнмостн этого урав- нения. Подстановкой $(1)+Ч(1)=ь(1) прнведем его к 203 интегральному уравнению ь(1) = ~ Р„(з, х(з)) (Д(з) — т~ (з)~~Ь, ь которое в свою очередь эквивалентно линейному дифференциальному уравнению 1(1) =Р„(1, х(1)) 1(1) — Р„.(1, х(1)) Ч(1); 1(1,) =0 (7) Остается сослаться на лемму и.
2.5.4. По теореме Банаха (и. 2.1.5) У;,',> 'ограничен. По теореме о неявной функции существует непрерывно дифференцируемое в некоторой окрестности (7 3 х, отображение Ф: У вЂ” С(Л, й") такое, что У (х„Ф(х,))=0. Согласно (4) Ф(х,) (1) = Х (1, 1,, х,), так что отображение х,ь-+Х (1, 1„х,) действительно дифференцируемо по Фреше в точке х,.
По той же теореме о неявной функции д $е=Ф (хо) Ве1(1) = (е' х() о'Рх [$а1) (1) = $(1) и, как уже было найдено, $(1) — решение интегрального уравнения (6), принимающего вид УР.(, ())а() — $(1)= — В.. с, Следовательно, В=Р.(з,х(з))В, В(1,)=Е. и по теореме п. 2.5.4 $(1) =О(1, 1,) $,.
Отсюда (1~ 1ю хь)=Й(1г 1р) ° 2.5.7. Классическая теорема о днфференцируемой зависимости решений от начальных данных. В этом пункте мы снова будем рассматривать задачу Коши х=Р(1, х), х(1,) =х„ но уже в классической ситуации, когда Р(1, х) и ее частная производная Р„(1, х) непрерывны в 6. Для удобства читателей, доказательство формулируемой ниже теоремы будет проведено независимо от доказательств теорем 204 пп.
2.5.5 н 2.5.5. Ссылки на локальную теорему существования (п. 2.5.2) и теорему. единственности (п. 2.5.3) можно заменить ссылками на любой учебник по дифференциальным уравнениям. Теорема. Пусть на открытоммножестве 6с йх)с" функция Р: 6 — 11" и ее частная производная Р„непрерывны, и пусть х: [Г„(,1- К" — решение уравнения (1), ерафик которого Г = «(С х(()) «(ь < Г < г,) содержится в 6. Тогда существует такое б ) О и такая окрестность 6 =>Г, что для любых ((ы х,) Е 6 решение Х((, („х,) задачи Коши (1), (2) определено на Ь=[(,— б, (, +Б«, является непрерывно дйфференцируемой функцией по совокупности аргументов в области (Гь — б, 1, +б)х6 и при этом Х((, т, х(т))=х(т), (3) ~~ (1 т х (т)) = " (1 х (()) (4) — (С („х(т)) ~ = — й(С ) Р(т, х(т)), (5) ах — (Ст, х,)~, =Я((, т), (б) еде Я (С т) — фундаменпшльная матрица решений системы уравнений в вариациях г = Р„' (С х (1)) г.
Д о к а з а те л ь с т в о. А) Применив локальную теорему существования в точках (Г„х((ь)) и ((„х((1)), продолжим х( ) на отрезок Ь= [с,— б, (,+б«так, чтобы график «(Сх(г)) «г'ЕЬ) по-прежнему содержался в 6. После итого выберем е)0 так, чтобы бй = «(С х) ! Г Е Ь, ~ х — х (1) «» (з) с 6. На компакте Уь"- функции Р(С х) и Р„(С х) равномерно непрерывны. Б) Теперь в области М = «(х ( ), („х,) ««х (1) — х (() «< (е, У(ЕЬ; (,Е(п(Ь, х,Ей")с С" (Ь, Я")хКхК" определим функцию К: $- С(Ь, К")х Й" равенством у вх (е) К(х( ), („х,)(1)=~ '~~ ' ). (7) х٠— х, / у ос $ (<о) о Уо (х( )> <„хо)(а1=(.
), Ух,(х( ) (о.хо)Ьо1=( ~). (8) (9) (10) В) Пусть х =х(1), так что (Е, х) ~Г. Проверим обратимость оператора Уо < > (х ( ), 1, х). Равенство У.<,( ( ), 7, )[И( Н=(~(1) ~С(Л, 14")х(4" эквивалентно задаче Коши $ — Р„(1, х(<))3=1(г), $(г)=7, которая по теореме п. 2.5.4 имйет решение $(1) =Й(1, 7) у+) Й(<, з) ~(з)<(з. о Таким образом, У'„,, отображает банахово пространство С'(Л, 14о) на все банахово пространство С(Л, (с")хКо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
