В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Обратное включение очевидно. б) Если х, Е 1п1А, 1=1, 2, то, согласно а), !х„х,1Е Е 1п! А, т, е. 1п! А выпукла. Пусть терерь х, Е А, 1=1, 2. Возьмем любую выпуклую окрестность нуля У. По определению замыкания существуют х',Е(х, +У) В А, 1=1, 2. Для произвольной тачки х=ых, +(! — а) х, Е(х„х„) положим х' = ах,'+ (1 — а) х,'. Тогда х' Е А и х) Е сс (х, + У)+ +(1 — и) (х,+У) =х+У, т.
е. каждая окрестность точки х пересекается с А, откуда хЕА н А выпукло. ф~ Определен ие 1. Пересечение всех замкнутых выпуклых множеств, содержащих множество А, называется выпуклым замыканием множества А и обозначается сапч А. Ясна, что сопчА выпукло и замкнуто. Предложение 2. а) сапчА=-Авамножество А выпукло и замкнуто; б) сопч А совпадает с пересечением всех замкнутых полупространств, содержащих А; в) сопч А =сопч,А; Д о к а з а те л ь с т в о. Первое утверждение непосредственно следует нз определения. Включение сопч А ~ ~ сапчА также очевидно (не всякое выпуклое множества, содержащее А, еще и замкнуто), а потому сопч А ~ щ сопч А.
С другой стороны, сапч А, будучи выпуклым (предложение 1б)), замкнутым н содержащим А, должно по определению содержать также и сапч А, откуда сопч А = спич А. Далее, обозначим через В пересечение всех замкнутых полупространств, содержащих А. Тогда сапч А <= В (не всякое замкнутое выпуклое множество, содержащее А, является еще и полупространством).
Пусть точка' х,( (сопч А. По второй теореме отделимости (п. 2.1.4) сущех!т ствует линейный функционал х*~ Х', строго разделяющий х, и сопч А <х*, х,> > зцр <х', х>=се. кзсоат Л Отсюда х,(Н (х', и) ~сопчА = А, и потому 'хе(В. Следовательно, сопч А = В. ° У яр ажнен не 3. В гильбертовом пространстве 1, рассмотрим бесконечномерный эллипсоид В = х=-(х,, х,...,) ~и~~~(ха)а„)з~! х=! с полуосями а„. а) Докажите, что множество В выпукло и замкнуто, б) Найдите условия на а„, при которых !п1 В ~ лг.
в) Пусть !п1 В Ф и и точка у=(ры уз, ...) лежит на границе эллипсоида, т, е. ~нр (ук)аа)з=!. Докажите, что через у можно х=! провести гиперплоскость так, что В будет лежать по одну ее сторону. г] Всегда ли верно предыдущее утверждение, если !п1В=а? Подобно тому как простейшими выпуклыми множествами являются полупространства, простейшими выпуклыми функциями будут аффинные фун~~ии а (х) = <х', х> — Ь, х' ~ Х, Ь С й. У яр аж неви е 4. Докажите, что а( ) выпукла; найдите ер! а.
Предложения 1 и 2 имеют свои аналоги. К их формулировке мы н перейдем. О и р е д е л е н и е 2. Пусть у! Х вЂ” т(. Функция определяемая условием ерг(=ер) )', называется замыканием функции (; если у=~, то функция называется замкнутой. Функция сонму, определяемая условием ер! (сопч)) = сопч (ер! )), называется выпуклым зал!иканием у.
Упражнение 5. Проверьте, что ер!) и сопя(" суть надграфики некоторых функций (см. упражнение б п. х,б.!). Ясно, что сопч)=(ЕЭ( выпукла и замкнута. Напомним также, что функция 1: Х вЂ” зс называется полунепрерывной снизу в точке х„если 1пп 1(х) ) ) (х,), к кк и просто полунепрерьгвной снизу, если то же самое верно для любого х,. Упражнение 6. Докажите, что Д.Х вЂ” й полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда длв любого с С й множество :и" Г"=(х)Г'(л)вас) вамкнуто в Х. Предложение 3. а) Для того чтобы собственная функция была замкнутой, необходимо и достаточно, чтобы она была полунепрерывна снизу.
б) Для того чтобы выпуклая функция 1 была непрерывной на 1п(богп) достаточно, чтобы ) была ограничена в окрестности (г' некоторой точки х и конечна в гпочке х, При зтоль ) собственная, "гп( бощ)Ф гту, 1п( ерг ( = ((х, сс) ~ Х Х тс ~ х б гп( б от ), а > ) (х)) Ф 8 г(х) =(сопи)) (х), тки!п(бощг. В соответствии с упражнением 6 будем проверять замкнутость множеств .й',). Дока за тел ь ство. А) Пусть ) замкнутая функция.
Тогда ерЦ вЂ” замкнутое множество в Хх Р. Гиперплоскость Н=((х, а)а=с) также замкнута. Значит, замкнуто и множество х,)=(х))(х) =с), ибо ер1) й Н=((х, с)( хЕЛ'Д и отображение х ~(х, с) является гомеоморфнзмом. Пусть наоборот, все и',) замкнуты и (х„сс,) (ер1). Тогда )(хв) >а„а следовательно, ) (хе) >се,+и для некоторого в > 0 н х, ( Я„„в)'. Ввиду замкнутости.Уо,те) существует окрестность У 3 хв такая, что У1).ла „+е) = 1с) т.
е. 1 (х) > ив+в, х ~ У. Открытое множество ((х, а) ~ х Е У, а(а,+в) содержит (хю ав) и не пересекается с ер11, Следовательно, дополнение к ер)1 открыто, а сам ер)) замкнут. Б) Лемма. Лусгпь Х вЂ” локально выпуклов прссгпранство, У вЂ” выпуклая окрестность точки х в Х, ~ — выпуклая.функция на Х, принимаюгцая в точке х ЕУ конечное значение (~)(х)) (оо) и ограниченная в У сверху. Тогда ) непрерывна в тачке х. Доказательство леммы. Произведя сдвиг ха-и х+х и вычитая из Г константу )(х), сведем дело к случаю, когда х=О, 0 Е У, Г(0)=0, вцр)(х) С. При аеУ этом У можно считать симметричной окрестностью нуля 21Я (иначе мы рассз(отрели быйГ =!/()( — У)).
Пусть 0 < сс < 1 и хЕау. Тогда х/аЕ)с и из-за выпуклости / мы имеем /(х) =/((! — сс) О+ах/а)» (1 — а)/(О)+а/(х/а)» иС. С другой стороны, — х/аЕУ ввиду симметрии г' и, используя равенство О=х/(1+а)+а/(1+а) ( — х/а) и выпуклость /, получаем О=/(0) =/(х/(1+сс)+и/(1+а) ( — х/а)) «< «(1/(1+а) / (х)+а/(1+а) /( — х,'а), а, значит, /(х) ) — а/( — х/а)) — аС. Итак, если хЕа$', то ) /(х) ~«-иС, т. е. / непрерывна в нуле. ° С л е де т в и е. В услоеиях леммы 1п1 с(ощ /Ф Я.
В) Возвращаемся к доказательству пункта б) предло- жения 3, По лемме н следствию из нее / непрерывна в х и !п1бот)Ф Я. Предположим, что /(у) = — оо для некоторого у, т. е. для любого аЕЯ точка (у, а) Еер! /'. Поскольку ер1/ выпукло, ((1 — Л) х+Ху, (1 — Х)/(х)+Ха) Еер! /, для любого аЕК, откуда /((! — Х) х+).у)= — оо, что при 110 противоречит непрерывности / в х. Таким об- разом, /(у) > — оо всюду, т. е. / является собственной. Пусть теперь уЕ(п!дою/.
Найдем р > 1 такое, что г=х+р (у — х)Е!п1с(ощ/ (это можно сделать, ибо пере- сечение открытого множества !и!с!о(п/ с прямой, прохо- дящей через х и у, есть открытый интервал этой прямой). Гомотетия 6 с центром в г и коэффициентом (р — !)/р переводит х в у и окрестность )/ в окрестность У точки у. При" этом, если ьЕС(У) =У', то (р — 1)/Рх+г/р, хЕУ н /(Ь) «<ив /(х)+ — /(г) «< — "' С+ — /(г), Р Р Р Р следовательно, / непрерывна в точке у по лемме, т. е. / непрерывна на !п! с!оси/. Если (х„а,) Е !п(ер1/, то по определени(о найдутся окрестность %' точки х, и а > 0 такие, что ((х, сс) ! х Е Ч7, ) а — а, ) < а) с: ер! /, откуда х, Е (п! доит 7 и а, > Т (х,). Обратное включение: ((х, се) / х Е !п1 бота 7", се > 1 (х) ) с= !п1 ер! ( очевидно; в частности, 1п1ер1~Ф Я. Поскольку ) выпукла, сопч(ер( 1) =ер!)'.
Вспоминая определение 2 и предложение 2в), имеем ер1 (сои ч 7) = сопч (ер1 7) = сопч (е р ! 1) = ер! (7) ~ ер1 (7). Следовательно, всегда (сопч 7) (х) ~1(х). Если же 7 непре- рывна в точке х (или хотя бы полунепрерывна снизу) и 7(х) >се, то это же неравенство сохранится и в целой окрестности точки х, а потому (х, а)(ер17=ер! (сопч)) и (сопч !) (х) > а. Поэтому (сопч() (х) =1(х). В частности, в условиях пункта б) доказываемого утверждения это равенство верно для х Е !п1 (йотп(). ° Упр акта енне 7. Пусть 7 выпукла па Х и 7(х)= — «е в некоторой точке х Е )пт вот!. Тогда 7(х) еа — еа, чх Е ! п1 оот 1. Определен ие 3. Аффинная функция а(х) <х', х> — д называется опорной для функции 7, если: а) а(х) (~(х) для всех х; б) для всякого е >О найдется такое х, что а(х) > > 1(х) — е.
Другими словами, о = зпр ((хе, х> — 7 (х)). (1) к Теорема М и н ковского. Собсоыенная функция 7' выпукла и замкнута тогда и только тогда, когда она является верхней гранью множества всех своих опорных аффинных функций. Доказательство. 1) «Тогда». Аффинная функция выпукла и замкнута, так как ее надграфик — замкнутое полупространство. Далее, для любого семейства функ- ций (1 ) имеем ер! ! зпр 7„1 = ! (х, г) ) г > зцр 1„(х) ) = в а = П ((х, г))г>1„(х))= П ер11, (2) и если все („ выпуклы и замкнуты, то ер!! — выпуклые замкнутые множества и их пересечение обладает тем же свойством. 2) «Только тогда».
По условию В=ер(7 — замкнутое выпуклое непустое множество в Х >( !к. Согласно предложению 2 В является пересечением всех содержащих его замкнутых полупространств. Так как всякий линейный непрерывный функционал на Х х !е имеет вид <х', х, '+ Лг, х'б Х', Л Е К (см. п.
2.1.2), замкнутое полу- пространство определяется неравенством <х', х>+Лг(Ь. (3) Поскольку В =ер1) непусто и вместе со всякой своей точкой (х„г,) содержит все точки (х„г), г > г„В может содержаться в полупространстве (3), только если Л(О. При Л=О полупространство.(3) будем называть вертикальныи. Очевидно, что ер1)=((х, г) ~1(х)(г) с ((х, г) ~ <х', х> е Ь) Фэ 4Ф бои( с (х) <х", х> (Ь) = Н+ (х', Ь) ~ => ер! 1 с Н~ (х', Ь) Х К.
При Л( 0 все члены неравенства (3) можно разделить на ~Л~, так что можно считать Л= — 1 и полупространство (3) совпадает с надграфиком аффинйой функции а(х)=<х', х> — Ь. Но В = ер1 !" с ер1 а ЕЭ ) (х) ) а (х), Ух. Поэтому ер1)= О ер1а й П (Н,(х', Ь) х й). (4) а~Г оат ! с н~ и',и Теперь заметим, что хотя бы одна аффинная ао(~ существует (в протянем случае ер1~ вместе с точкой (х„г,) содержало бы все точки (х„г), г ~ К, откуда 1(х,) = — оо, вопреки тому, что ! — собственная).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
