В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 38
Текст из файла (страница 38)
б) 1" (х) =зпр(а(х) ~а(х)-аффиннал и <Г(х)). в) Если существует хотя бы одна аффинная функция а(х) 1(х) (вквивалентные условия: 1' (р) ~+ оо или 1»" (х) > — оо всюду), то 1**(х) — наибольшая иззамкнутых выпуклых функций, не превосходящих Г(х), т. е. 1"' = сопку. г) ()".*»)' =г'. Доказательство, А) «Только тогда»следует из 1) предложения 1.
Предположим теперь, что а(х)(~(х)— аффиииая функция. В цримере 1) мы установили, что а'" (х)=а(х). Воспользовавшись снова предложением 1, имеем а (х) = а» ' (х) < г»" (х) ~ г (х), а потому зцр(а(х)1а(х)-аффинная и <1(х))(~" (х)«" 1(х). (8) Отсюда прежде всего следует «тогда» в а), ибо когда г' выпукла и замкнута, левая и правая части в (8) совпадают (для собственной ~ по теореме Минковского, а если ~он-~-оо, то и левая часть равна +со). Тем самым а) доказано, Б) Для произвольной Г возможны три случая. Если аффииной функции а(х) <Г(х) не существует, то 1'(р) = = зир ((р, х> — Г (х)) = + оо при всех р и, значнт, Г*" (х) = к = — со. Но в этом случае и левая часть в (8) равна — оо (зпр Ю вЂ” оо по определению), т.
е. б) имеет место. Если же существует аффинная а(х) <~(х), то из (8) вытекает, что Г'»(х) ) — оо всюду. Остаются две возможности. Если 1" (х) — = + оо, то' 1(х) =+ оо н обе функции равны левой части в (8), так как аффииная функция здесь может быть любой. Если же ~" — собственная, то по теореме Минковского Г""(х) =зпр(а(х) (а(х) опорная для 1""(х)). Сопоставляя с (8), находим зпр(а(х)1а(х) аффинна и < Р (х)) < 1" ' (х) = зпр (а (х) 1а (х) опорная для ~" (х)) < <зпр(а(х)1а(х) аффиииая и .< 7(х)).
Таким образом, и в этих случаях б) имеет место. В) ГТусть далее существует аффинкая функция а(х) = <~(х) и у(х) (~(х) — произвольная замкнутая выпуклая 2М функция. Положим й(х)=зпр(у(х), ~ее(х)). Эта функция замкнута, выпукла и всюду ) (х))й(х) ) ) †. Следовательно, Ь(х)=лев(х)((ее(х) 'й(х), а потому Ь(х) =("(х) и у(х) =(-(х), чем доказано в). Г) Поскольку 1" (х) () (х), то (~"а)'(р) ) ('(р). С дру- гой стороны, в силу неравенства Юнга 1(х) ) а(х) = <р, х> †(*(р), откуда при конечном ('(р)в силу (8) ("(х))а(х) и ((")'(р)— =зпр(<р, х> — )" (х)) (зир(<р, х> — а(с)) =~'(р). а а Случай 1'(р) =+ оо тривиален, а при )*(р) — оо получаем 1(Х) =)аа(Х) =+ о и ()аа) (р) = = уе(рт.
° У и р ам пенне 3. Пусть ~ выпукла и ограничена сверху в окрестности некоторой точки. Тогда гьь (х) г'(х), Чх~! п( Вогп т. 2.6.4. Субдиффереициал. Теорема Моро — Рокафеллара. Теорема Дубовицкого — Милютина. Пусть Х вЂ локально- выпуклое линейное топологическое пространство, функция на Х, )"' Х- в(. Определение. Субдифференцаалом ( в точке х, называется подмножество Х', состоящее из таких эле- ментов х'ЕХ', для которых выполнено неравенство ) (х) — ) (ха) ' <хв, х — х,>, ела Х. (1) Субдифференциал функции ) в точке х, обозначается дТ (х,).
Таким образом, д((хе) — это множество «угловых ко- эффициентов» аффинных функций а (х) = <х', х> — 6, опорных к 1 в точке х„т. е. таких, что в формуле (1) п. 2.8.2 верхняя грань достигается в х,: Ь=<х', х,> — ((ха). (2) Предложение 1. Субдифференциал дГ (ха) явля- ется выпуклым (возможно аустым) множеством в Х'.
Докрзательство. ПУстьхг'Ед1(х,), г 1,2. Тогда по определению ((х) — ((ха))»<х,, х — х,>, ((х) — ((х,))» ) <х,', х — х,>. Умножив первое неравенство на а, вто- рое — на (1 — сс), где аЕ~О, 11, и складывая, получаем ~(х) — ~(хе))<си~+(1 — гс)х,', х — х,>, гагх. вю Примеры. 1) Субдифференцналы некоторых функций на прямой и плоскости.
Предоставим читателю проверить, что: (1 — 1, 11, х=О, а) ~,(х)=)х), (хЕм)=>д(,(ех) =) з(йпх б) 7 (х) =)~ х~+х3 (хЕ )ч~) =Ф 1у~Уу,'+Д~(11, х=О, ~ р~ = ),с —,„... х Ф О. в) 1,(х)= (~х,), )х,Р, (хЕК)~ (у))у,)+!у,/(1), х=О, (з(яп х„О), ~ х, ) > ( х, (, деа(х) = (О, з(йпх,), )х,() )х,(, сапе((з(йпх„0), (О,з(йпх,)), !хД=~х /=г,г~О. 2) Субдифференци ал нормы в нормированномн ом яр остр а нстве.
П р е д л аж е н и е 2. Пусть Х вЂ” нормированное пространство, Х' — его сопряженное, У(х) =1х1. Тогда В', где  — единичный шар сопряженного про- дУ (х) = отранстви, если х = О, (х'ЕХ'~~~х'~= 1, <х', х>=(х1), если х~О. Доказательство. Как было отмечено выше (соотношение (3) п. 2.6.3), множество опорных функций к 1 находится во взаимно однозначном соответствии с множеством (х" б.Х*, ~'(х')-е ~ оо), причем а, (х) =<х, х> — ~" (хе). Согласно предложению 2 п. 2.0.3 ( О, (х'~((1, Л"( )=бВ*( ) =~+ так что опорными к У являются функции <х, х>, 1х" 1(1.
Равенства (2) превращается в 0=<х*, х,> — 1х,), (3) так что любая функция х- <х*, х>, 1х'((1 является опорной к У в тачке х,=О и дйГ(0) =В', Если же х,~О, 2зо Г дд и д ~ ~~'.,'1,)(х) = ~ д);(х). (4) Если же в некоторой точке х все функции, кроме, быть может, одной, непрерывны, а эта последняя в х конечна, то в любой точке х имеет место равенство д(ХЬ)( д — Д дд,(*). (5) Доказательство. Ограничимся случаем п=2; большее число слагаемых рассматривается по индукции. Включение д1д(х)+д1' (х) ~ д(),+),) (х) сразу следует из определения субдифференциала. Пусть х," ~д(1;+)д) (х,). Вез ограничения общности можно считать, что х, = О, х,' = О, 1, (0) = О, 1= 1, 2. Действительно, если эти соотношения не выполнены, то вместо )д и 1, можно рассмотреть функции у,(х)=1,(х,+х) — )д(х,) — йхд, х), у, (х) = 1, (х, + х) — (д (х,).
Итак, пусть ОСд()д+),)(0). Согласно (1) это означает, 23! то множество х'Е В', для которых имеет место (3), совпадает с указанным в формулировке. ° В приведенных выше примерах субдифференциал су.шествовал в каждой точке. Разумеется, для невыпуклых функций (например, для — 1х1) его может не быть ни в одной точке. Однако и выпуклые функции могут не иметь субдифференциалов даже в точках из эффективной области.
Вот простейший пример: 1 — )д' 1 — х', 1х ~ ~~ 1, ) + сод 1х.~ ) 1. В точках х,=+ 1 н х,= — 1 субдифференциал пуст. Достаточное условие существования субдифференциала будет получено далее (см. следствие из теоремы Маров Рокафеллара). Следующая теорема является аналогом в выпуклом анализе теоремы о линейном свойстве дифференциала. Теорема Моро — Рок афелл ар а. Пусть 1о (= = 1, ..., и, — выпуклые собственные функции на Х.
Тоеда что ппп ()') (х)+ ('е (х)) = ), (0)+ )'е (0) О. Пусть х — та точка, где (е непрерывна, а ~е конечна. Рассмотрим два выпуклых множества С, «(х, а)«а>~,(х), х~1п1((он)Ц 1п1ер1)„ С,= «(х, се) « — (х) )(е(х)). Ясно, что множества С, н С, выпуклы, . непусты ((х, — )е (х)) Е Се), С, открыто н ~ 8 в силу предложения 3 б) п. 2.6.2: непрерывная в точке х функция 1) ограни- чена в ее окрестности) н С)ПСе 8.
Действительно, еслп ((е„х,) ЕС,() С„то 1,(х)) (и~~ — 1,(х",), т. е. 0 н)(пД)(х)+~,(х))~1)(х,)+~,(х,) <О, х — чего не может быть. По первой теореме отделимости (см. н. 2.1.4) С, отделяется от С, ненулевым линейным функ- ционалом (х,', р): )п1 (<х,', х>+6(х) ~ зпр (<х'„х>+6)х). (6) (т а) есе (к, а) е С, Ясно, что ре О, ибо иначе веркняя грань равнялась бы + оа.
Если допустить, чтц «)=О, то знр <х,', х>~ )п1 <х,', х>. хет(еот П хееет )к Но максимум линейной функции не может достигаться во внутренней точке, а потому <хе, х> < зпр <х х>( )п1 <х, х>~~<х, х>, хЕ)е( ЙОт П кейот П Противоречие показывает, что рчь О. Следовательно, можно в (6) поделнть все члены на «6«, н тогда, если обозначить х,' = («) (-)х; н воспользоваться тем, что ер1 ~,)а.
ы)п1ерЦ,=С, (предложенне 1 п. 2.6.2), мы получим апр«<х,', х> — (,(х))= зир «<х;, х> — а) е к ,хезетд «аъ П(*! зпр «<х,", х> — ее) ч, )п1 «<х;, х>-ее) кт (к, а)еС, (к, а)ЕС, 1п(«<х;, х>+~,(х)). При х 0 значения функций и фигурных скобках совпадают н равны нулю (~о(0) ~о(0)=0). Значит, 1! (х) — 1! (0) ~ <х„х>, го(х) — )о (0) =в < — х„х>, т.
е. х,"ядр,(О), -<~д1,(0) ОЕд~о(0)+д~о(0). Я Следствие !. Пусть 1 — еыпуклая функция, непрерыенал е а!очке х,. Тогда д((хо) чь И. Доказательство. Рассмотрим функцию + Г(хо), -х=х„ со, хФх. Функции Г и б(хо) удовлетворяют уеловиям теоремы Моро — Рокафеллара. Равенство Х'=д(~+В(хо)) (хо) =д~(хо)+дб (хо) (хо) =д~(хо)+Х' означает, что д((х,)чь 8. ° На самом деле, субдифференцнал д1 (х,) выпуклой функции, непрерывной в точке х„является выпуклым компактом в ь-слабой топологии. Пусть К вЂ” конус (и. 2.0.1). Конус К', состоящий из тех элементов х', для которых <х', х>)0, УхЕК, называется конусом, сопряженным с К.
Если ОЕ К, то нз определения (1) вытекает сразу равенство дбК (О) = — К'. Следствие 2. Лусо!ь Ко, ..., ʄ— выпуклые открытьи конусы, име!ооцне непусшое пересечение. Тогда (ок,) = к к!. Действительно, добавим к К» начало координат и рассмотрим функции бК,. Применив к ним теорему Моро— Рокафеллара (в точке х б 0 К„отличной от нуля, все о=! бК, непрерывны), получим, что ПК, = — дб ОК, (О)= — д ХбК! (О)= о И = — ,'о„'дбК,(О) = ~;К;. оп! о~! Следствие 3. Теорема Дубовицкого — Мил юти на о пересечении конусов. Для того чтобы выпуклые конусы К„..., К„, К„+„иэ которых 'первые и открыты, не пересекались, необходимо и достаточно, чтобь! нашлись функционалы х! ~К!, ! =1, ..., и.+1, не л~- ! равные одновременно нулю и такие, что ~'„)х! =О.
«= ! Доказательство. «Необходимок Не ограничивая » себя в общности, можно считать, что К= П К!ФЗ с=! Тогда К вЂ” открытый конус, не пересекающийся по условию с К„+,. По первой теореме отделимости можно отделить К от К„„ненулевым линейным функционалом у 6 Х~! !п1 (у', х>~ зцр (у', х>. »«к ««к»~~ Последнее соотноп!енйе означает, что у' Е К», а ( — 1)у'ЕК„'+, '(точка х=Π— предельная как для К, так и для К„,). По следствию.2 разложим у' в сумму у' = » = Хх!, х," бК!, 1» «(и; обозначив ( — 1)у' через х„'„, !=1 получим требуемое. «Достаточною Пусть не равны одновременно нулю »+1 »»! х!ЕК!" и ~.", х,'=О, Пусть хЕ П К„х~О, и х;,~0, 1=1 1=1 1(! <и. Тогда хб(п1К!,=Ф(х«,, х> >0 и, значит, О = (~~>',х!", х> > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
