В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Важный частный случай — и-мерньсй симплекс, т. е. выпуклая оболочка и+1 аффннно независимых точек (никакая из них не является аффинной комбинацией остальных). У п р аж не н не 4. Докажите, что выпуклая оболочка трех точек в йм, не лежащих одной прямой (двумерпый симплекс), является треугольником с вершинами в этих точках. Что будет, если точки лежат на одной прямой? В конечномерном пространстве предложение 2 можно усилить. Соответствующее утверждение мы называем теоремой Каратеодори, хотя, строго говоря, это название относится лишь к той его части, в которой идет речь о выпуклой оболочке.
Т е о р е м а К а р а т е о д о р и. Пусть»В ш (11п А) ~ оо. Каждая точка, принадлежащая выпуклой (конической, аффинной или линейной) оболочке множества А, является выпуклой (конической, аффинной или линейной) комбинацией не более чем з точек х„..., х, из А. 2!! Для выпуклой и аффинной. оболочек з=н+1 и точки х„..., х, можно считать аффинно независимыми. Для конической и линейной оболочек з=н и точки х„..., х, можно считать линейно независимыми.. Доказательство, А) Ограничимся наиболее сложным случаем выпуклой оболочки, указав затем, какие изменения следует внести в доказательство в остальных трех случаях. Согласно предложению 2 а) каждое х~сопу А может быть представлено в виде х=Лх +....+Л»х», Л»>О Х Л;=1, х!ЕА (3) к=! (в определении выпуклой комбинации Л;~0, но ясно, что Л;=0 можно опустить), Покажем, что если-х„..., х» аффннно зависимы, то число точек в этом наборе можно уменьшить, сохранив представление вида (3).
Действительно, если точки х„..., х» аффинно зависимы, то одна из них есть аф- финная комбинация остальных; без ограничения общности »-! х»=р,х,+... +р»,х, „~ р,=1. Положив еще р» Г=! — 1, имеем Хр;х,=О, ~ р,=О. Пусть теперь !и ( — ~'1р!< 01. Тогда » » » » х = ~2~ ~Л!х! +а ~ р,х, = ~ (Л!+ ар!) х! = ~ Л! хр, с=! 1=1 с=! ! ! причем все Л!) О в силу выбора а и по крайней мере одно из них равно нулю. Удалив из набора (х„...„х») те х», для которых Л! =О, мы получаем представленйе » » вида (3) с меньшим числом точек,~~ Л; = ~~.', Л, + ~! ! ! ! !..д„,.=!).
Обозначим через з(х) наименьшую мощность набора х„..., х»», для которого представление (3) возможно в каждом непустом' множестве натуральных чисел есть 212 наименьшее). Только что проведенное рассуждение показывает, что в наборе (х„..., х„„с) точки должны быть аффинно независимы. Остается заметить, что в и-мерном пространстве любые и+2 точки (х„..., х„„,) аффинно зависимы.
Действительно, точки х! — х„„! = 1, ..., н+ 1, должны быть линейно зависимыми, и если, например, а / а «о+! хо+а .ам Л'(х! ха+а) то ха+! =1 1 Х Л! 4аеа+ с=! ! ! И а а + Х Л;х,. Так как 1 — „'Е Лс-»- Х Л; =1, то х„„является с=! с=! аффннной комбинацией остальных. Б) Для случая аффинной оболочки в приведенном рассуждении опускается все, связанное с неравенствами Л; > О, Л; Ъ О, и можно положить а = — Л!»р! для любого ! с»с! Ф О. В остальных двух случаях аффинные комбинации заменяются линейными и число линейно независимых точек не может быть больше п. Для конической оболочки сохраняются рассуждения с неравенствами; для линейной оболочки и их можно опустить.
° Переходим к описанию выпуклых функций. Здесь, как и далее в этом параграфе, будем называть функцией отображение (: Х вЂ” К, где К=и()( — оо, +оо) — расширенная числовая прямая'). С каждой функцией можно связать два множества: с(ош» =(«ЕХ(((х) <+оо), ер !» = ((х, сс) Е Х М К ( а ) / (х), х ~ с)ош 1), называемые соответственно зффекнсивным мнолееетвом и надгрификом функции 1. !) Арифметическце операции и неравенства, а которыя участвуют весобствеииые числа +со и — со, определяются так (далее а ~ й любое, р > О): (+ )+(+о )=+ ю, (+о )(~ )= ~ ю, + > а, 1 со+а=+ со, ( — со)(Ч- со)= ~ ос, — со < а, ( — )+( — ) = —, (+ со) р= ш ее, + о! > — ео, (+~)= —,, (-ъ «) о=о, — ( — )=+, '(~ Н вЂ” р)=ч- » выражения (-1-со] — (+се), (-1-ое)+( — со) и ( — о!» ( — ее) объяв.
лаются лишеииымя смысла; ие определяются и операции деления с несобственными числами, Упражнение 5. Докажите, что ииожество С~Х к И является иадгрвфиком некоторой функции й Х вЂ” й тогда и только тогда, когда (х, а) ~ С, й т- а яф (х, (1) ~ С. Определен не 4. Функция ~, у которой йоту~ О и всюду !". (х) > — со, называется собственной, остальные функции называются несобственными. Функция у: Х вЂ” К на линейном пространстве Х называется вьитуклой, если ерг! — выпуклое множество в Хх К. Совокупность всех выпуклых функций на Х обозначим Рв(Х).
Прямо из этого определения вытекает Предложение 3. а) Для выпуклости собственной функции ~ необходимо и достаточно, чтобы для любых точек хг~йот~ и любых а, О, 1=1, ..., и, таких, что. я аг = 1, выполнялось неравенство Иенссена: 1=ю /' я я !'(ь~ а,х,)н ~р ~а,),(хг). (4) б) Сумма ~~.", у,(х) конечного числа и верхняя грань ~~,~„(х) = зцр (1„(х)) любого семейства выпуклых функций а выпукла. Примеры. 1) Выпуклые функции на пря- м о й. Пусть ~, (х): (а, р) — К, причем на интервале (а, 1з) ~ 1с существует производная (е(х), которая не убывает. Положим 1 1'е(х), хб(а, !3), +оо, х((а, р).
Для этой функции йот ! = (а, р). Проверим, что она выпукла. Произвольная точка отрезка, соединяющего точки (х„г,)Еер1~, (=1,2, имеет вид (ах,+(1 — а)х„ ссг, 1-(1--а) гт), сей!О, Ц. Применим формулу Лагранжа: аг, -1- (1 — а) г, — ! (ах, + (1 — а) х,) ' » ) а! (х,) + (1 — а) ! (х,) — ! (ах, + (1 — сс) х,) = =а!'(с,) (х,— (ссх, + (1 — а) х,))+ + (1 — а) !' (с,) (х, — (ах, + (1 — а) х,)) = = а (1 — сс) (!' (с,) — !' (с,)) (х, — х,) ) О, так как х, с,«ах,+(1 — а)х,(с,» х, и производная по условию не убывает. Следовательно, (ах,+(1 — а) х„ аг,+(1 — а)г,) ~ер1! и ~ выпукла.
° 214 У п р еж не ни е б. Пусть выпуклая функция ): и — %конечна яа интерввле г=(а, ()). Докажите, что ! непрерывна на ! и имеет в каждой точке хЕ! левую и правую производные ! (х), у., (х), которые на ! не убывают и совпадают всюду, кроме ие более чем счетного множества точек.
2) Пусть на выпуклом открытом множестве (! нормированного пространства Х функция (е принадлежит классу Се (п. 2.2.5) и ее второй дифференциал с(ер„= =(,"(х)(й, я1 неотрицателен. Как н в предыдущем примере, положим ( ), (х), х Е У, ~(')='(+, х(и. Ограничение этой функции на любую прямую в Х обладает свойствами функции, рассмотренной в предыдущем примере (докажите().
Поэтому ! выпукла (для проверки выпуклости ер)! достаточно ограничиться всевозможными сечениями этого множества двумерными вертикальными плоскостями в Х)(й) Эти примеры дают нам большой запас конкретных выпуклых функций. Таковыми будут на )т функции и", пхе+Ьх+с при а>0, — 1пх (дополненный значением -(-оо прн х(0) и т. д.
В евклидовом пространстве выпуклой является квадратичная функция ((х)=(Ах(х)+ +(Ь(х)+с, где А — положительно определенный симметричный оператор. 3) Индикаторная функция. Так называется функция ( +-, х(А, бА(х)=( 0 А О, хЕА. ясно, что бА(х)ЕУн(Х) тогда и только тогда, когда А Ей)(Х). 4) Функция Минковского (см. ц. 2.1.3). Неравенство Йенсена (4) является источником многих важных неравенств, используемых И разных разделах математики.
В частности, применив его (с сс,=1!и) к функциям ( — 1пх, х> О, т,» =1' х1пх, х>0, ре(х) = О, х=О, +оо, х(0, мв! получаем в первом случае известное неравенство Коши между средним арифметическим и средним геомет- рическим, а во втором — важное в теории вероятностей неравенство для энтропии распределения (р„..., р„), где р!=хг~~ х,, х!)О, ! л Н (р) = — ~ р! 1п р, ( 1и и. г=! 2.6.2. Выпуклые множества и функции в линейных топологических йространствах. Предположим теперь, что Х -локально выпуклое линейное топологическое пространство [КФ, гл.
1П, 2 51. Как известно, в этом случае сопряженное пространство Х', состоящее из всех линейных непрерывных функционалов, является достаточно богатым (см. там же, гл. 1Ч, Я 1 — 2), и это нам доставляет большой запас выпуклых множеств и функций. Простейшими выпуклыми множествами в Х являются гиперплоскости и полупространства (здесь х'Е Х') Н(х', а)=(х)<хэ, х>=а) — гиперплоскость, Н+ (х', а) =(х(<х', х><а[ 1 — замкнутые полу- Н (х, а) (х(<х, х>)а) ) пространства, пэ (х, а)=(х1<х, х> < а[[ — оп!крыл!э!в Н (х', а) =1х(<х'.
х> > а[ 1 Упражнение !. Проверьте, что эти множества .выпуклы. Далее, назовем выпуклым поливдром пересечение конечного числа замкнутых полупространств (подчеркнем, что это пересечение не обязано быть ограниченным множеством). Упражнение 2. докажите, что вин всякий выпуклый многогранник (п. 2.6,!) является выпуклым полведром н что всякий ограниченный выпуклый полиэдр является выпуклым многогранником. Приведем сводку нужных в дальнейшем типологических свойств выпуклых множеств (по поводу встречающихся типологических терминов см.
[КФ)). Предложение 1. Пусть А — выпуклое множество. Тогда: а) все пинки полуинтервала [х„хэ), где х, ~ 'ш1 А, х,~ А, принадлежит 1п1А; 2!6 б) внутренность 1п1А и замыкание А множества А выпуклы; если 1п1А Фо, то А =1п1А. Доказательство. а) Пусть У ~ А — выпуклая окрестность точки х,. Произвольная точка х Е ~хз, х,) имеет вид х = их, + (1 — а) х„О ( а ~ ~1 и аУ+ (1 — а) х,— ее окрестность, содержащаяся в А, т. е. хЕ(птА. Из утверждения а) следует, что А ~ 1п1 А, если 1п(Ачео, откуда А <: 1п1 А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
