В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Ввиду равенства 4''г =4Г' производная Фреше непрерывна в Ф. Я Уп раж иеи ие 2. Докажите, по в (7) имеет место равенство. Пусть теперь (7 — открытое множество в Гсхй"х К', и пусть функция 7((, х, и): с) — Гс и ее частные пров 76 изводные 7„, 7, непрерывнь7 в У. Отображение 4'. Я- — С((1„11), й"'), определенное на множестве Я ((х( ) и( ))1(г х(() и(())ЕУ.
1.<1<() ~= С'([1„(,1, й ) ~ С (((„(,1, й ) (3) равенством вт'(х( ). и( ))(1)ь— м 1(1, х((), и(()), (9) мы также будем называть операпюром Немыцкого. Предложение 2. Оператор Немыцного, заданный соотношением (В) непрерывно дифференцируем на множестве (9) и при етом М" (х( ), й( ))Р (.), о( )1(О-Ь„(1)Й(1)+6(1)о(1), (1б) - вде ~ (()<о~в),(к (7), (~)), '=1, ..., т, й=1, ..., г). (12) Доказательство. Как и в предыдущем случае, у отображения ьЦ' существуют частные производные й(;( (), ())Гй()1(()=Г.(1)й((), Ву;(х().
й())Ео( Э)(1)=Р.(1) (1» н отображения Л'.: Ц(-.2'(С'(1(„(,1, й ), С(11„, 1„1, й-)), МР„: Я-.2 (С (Р„(,~. й ),' С(1(„1,1, й-)) непрерывны в Я. Остается сослаться на теорему о полном дифференциале нз п. 2.2.4. ф~ Пусть даме У и % — те же, что и в аредьщущем примере, функция ц~((, х, и): У вЂ” й" и ее частные производные ~р„, ф, непрерывны в У. Отображение Ф: %— С(11,„711, й"), определенное равенством Ф(х( ), и( )) (7) =х(1) — <р((, х(7), и(()), (13) 'будем называть оператором дифференциальной связи.
Предло же и не 3. Оператор дифференциальной связи, заданныи соотношением (13), непрерывно дифференцируем )77 (1) (д~р~(Д х((), и(()), . ) у ~р„(1) ( ~' ' „'", 1=1,...,п, Й=1, ..., ), (16) До к а з а те л ь с т в о. Отображение Ф есть разность линейного непрерывного оператора (х( ), и( )) +х( ) и оператора немыцкого вз" (х( ), и( )) (() =ср((, х(1), и(()). Поэтому доказываемое утверждение следует внз общих свойств производных (п. 2.2.1) и предложения 2. ° 2.4.2. Интегральный функционал.
Пусть У вЂ” открытое множество в К х К" х Й", и пусть функция (((, х,х): Ц- К"' и ее частные производные („, 7; непрерывны в У. Отображение У: 2В' — К"' зададим на множестве У'=(х( ) ЕС'ф„Ц, К") (((, х(1), х(()) б У, (,~~1(Я (1) равенством Ю(х( ))=11((, х((), х(()) и. (2) н Предложение 1. Интегральное отображение (2) непрерывно дифференцируемо на множестве (1) и при этом и д' (х ( )) ~Ь (.
Ц = ~ (~„(1) Ь (() + ~„(1) й Я) д(, (3) где рх (1) ев ( — ~ (г, х ((), х (()), 1 = 1, ° ° °, т, ~„(Ю) еа ( —.' ((, х(1), х (()), 1= 1,..., т, ~ дху ,Доказательство. Представим в виде суперпозиция У=1 оь9 оВ 1=1,...,п), (4) 1=1,..., и). (5) отображение (2) где Ю: СР„(,1,И-)-И- 178 на множестве (8) и при этом Ф' (х ( ), и ( )) ~й ( ), и ( )1 (1) = = 6 (() — <р„(1) й (() — р, (1) о (1), (14) где — линейный непрерывный оператор, определяемый равенством Р(х( ))=(х( ), х( )); йр: 24 С([1„1,1, йм) — оператор Немыцкого, определяемый равенством (9) п. 2.4.1 (при г=п), и 1: С([1„1,~, 11-) -11- — оператбр интегрирования ц 1(х( ))= ~ х(1)еЫ также линейный и непрерывный.
Все эти операторы дифференцируемы (см. п. 2.2.1 и предложение 2 п. 2.4,1), причем производная линейного оператора совпадает с ним самим, а производная оператора Немыцкого дается формулой (10) п. 2.4.!. По теореме о суперпозиции 7'(х( )).=1.оД" (Рх( )) оР, (б) т. е. ( ())[ ()2 И( ())[ ()П = Г Ф'(х( ), ха( )) [й( ), й'( Л =1И. (1) й(1)+~. (1) й(1)) = и = ~ А(1) й(1)+~;(1) й(1)М1 Этим доказана формула (3). Непрерывность 7' (х( )) сле- дует из непрерывности производной оператора Немыц- кого и равенства (6). ° У и р аж в е в в е. Найдите нормы операторов Р и Р В задачах классического вариационного исчисления и оптимального управления рассматриваются также интег- ральные функционалы вида (2) с переменными пределами интегрирования 1, и 1,.
Чтобы включить их в общую схему, поступим следующим образом. Пусть предположения относительно 1(1, х, х) те же, что и раньше, Л ~ К вЂ” некоторый отрезок, Ф=.((х( ) (е (т)(х( )ЕС'(Л й"). (1 х(1) х(1))ЕУ, 1 Е й, 1е, 1, Е 1п1 Л). (7) 179 Определим отображение Ю: Я- $Р равенством Ю(х( ), 1„1») 11(1, х((), х(»))с(». (8) с» Предложение 2, Интегральное отображение (8) непрерывно дифференцирнемо на множестве (7) и при этом 2' («(') 1» 1») [й (') т» тД= 1=1 = ~ (Р. (1) й(1)+Р;(~) й(()) д~+Р(г,),, (8) 1=0 где (г„(() и 7„(() даются формулами (4) и (5), а Р(Е) =) (г, х(О, «(г)).
(10) Доказательство. Воспользуемся теоремой о пол- ном дифференциале из и. 2.2.4. Частные производные существуют в соответствии с предложением 1 и класси- ческой теоремой о производной интеграла по верхнему и нижнему пределам интегрирования: д.о(«(.) 1» 1.)И( И=Я Ух(г)й(О+Р;(1)й(())д1» й» ды(х(.) 1 МЫ= — 1(1»)т" У, (х( )„1„1,) 1«,1=7(1,) т,. Приступаем к проверке непрерывности частных про- изводных, А) ~~Зп(х(.), 1„1„) — У,(х( ), )„У,)',) = зпр ~/7(е„х(е,),х(е,))т,— 7(1„х(г,), х(1,))тД< »»»» ~< 1 «~!РИо» «((о)» «(Ио)) 1(1»» «((») х((о))! (1 ) Кроме того, )х(г») — х(г,) ~ ='~х(г») — «((») ~+!х("») — х(г»)( ~:;!~х( ) — х( )/~+$х((») — х(1»)~» (12) 3 х (10)-« ((О) ! ( ! х (ГО)-« (10) 1 + ~ х (10) †((О) ! ( «1х( ) — х( )1с +(х(гэ) — х(Ф,)/.
(13) 180 Поэтому, если 1,— 1, и «( ) — х( ) в С'(Л, К"), то х(1,) — х(1,), «(1,) х(1,) и, значит, правая часгь неравенства (11) стремится к нулю. Следовательно, 5,,(«( ), 1„1,) непрерывно зависит от (х( ), 1„1,) (от 1, эта производная не зависит вовсе). Непрерывность Фь (х( )„1„(,) проверяется аналогично. Б) Выберем число а) 0 так, чтобы компакт зь= ((1, х, и)(!х — 'х(1)(е 'а, (и — х(1)(~а, (~ ц~" О.
На этом компакте производные 1,(С х, х) и ~,(С х, х) равномерно непрерывны и ограничены. Теперь при '1«( ) — х( )1с (а имеем: Иу., ((), „,) — -,( (). г.. 1,>и= с", зцр ~ ~ (Ц,Ь + 1, 6) сИ вЂ” ~ (1„л+ 1, Ц г(1! я' Га ' ' 1с'~ ' ь и ( зпР (~) (1„6+~„В)Л~+~ ~ (~А+)„Ь)Ж~+ 1 6 +~5 И.— Уй+(Ь вЂ” 1.) йИ(~~ ~ ~юах(1~„(1, х, и)1~+(11(1, х, и)Ц(( г,— 1,)+(1,— Е,()+ к + юах(~',~. (С х(1), х(Г)) — 1„(С х(Г), х(1))1 ( [й, с,1 +~А(1 (1) (1)) — Ы (г) МИ.
Первый член стремится к нулю при 1,— 1, и Г, 1,. Второй оценивается с использованием равномерной непрерывности так же, как в доказательстве предложения 1 и. 2.4.1, и тем самым стремится к нулю, когда х ( ) — х ( ° ) в пространстве С'(Л, 11"). Применяя теорему о полном дифференциале, полу. чаем (9). ° 2.4.3. Оператор краевых условий. Пусть функция $((„х„г„х,): (г'- К' непрерывно дифференцируема1В1 на открытом множестве йч~ К х йд х К х Кд, и пусть 2У'=((х( ). („1,)!х( ° ) ЕС'(Л, й"), гд гдЕ1п(Ь, (г„х(г„), г„х(8~)ЕФ). (1)— Отображение Ч'. У'- й', определяемое равенством Р(х(') дд (д) =дй(дд х((д) дд х((д))~ (2) называется оператором краевых условий. П р е д л о ж е н и е.
Оператор краевых 'условий (2) непрерывно дифференцируем на множестве (1) и при етом (х(') ~д (д)Р~(')~ тд М =Ф,тд+др,1Ь((д)+х((д) д(+К,тд+Фд,(Ь((д)+х(1д) 5 (3) где Фд;=дРдд(дд «(гд) дд «(дд))~ д =о~ 1> (4) р„.= р„д(г„х(г",), („х(Е,)), (=О, 1. (б) Доказательство. А) Рассмотрим сначала простейшее отображение еч: С'(Л, Кд)х!п1Ь Кд, определяемое равенством еч(х( ), (,)=х(1,) (отображение значений). По х( ) зто отображение линейно, и потому еч,о(х(.)„Г,)(Ь( Ц=Ь(~,), Частная производная по (д — зто обычная производная ечп (х ( ).
(д) Гтд] = х ((д) т, Проверяем непрерывность: (еч,<о(х( ), Ед) — еч„о1(х( ), (д)//= зпр /!Ь ((,) — Ь (Е,) !! ч ' ьа ь > до' < ' р !!Ь(й)!!! ~,— Ъ,! (! Ю,— 7, ! О д ~ ыс''ч ддне. дл при (д — гд. Далее !!еч„(х( ), Е,) — еч„(х( ), Ед)!!= зпр <<х (гд) тд х (дд) тд!!=(«(гд) х ((д)>! Од $дд!к 1 182 когда 1,— (з и х(.)- х(.) в пространстве С'(Ь, [с"), как этю было показано при доказательстве предложения 2 п.
2.4.2 (неравенства (12) и (13)). В силу теоремы о полном дифференциале (п. 2.2.4) еч(х( ), (з)'[й( ), т»1=)г((з)+хх(()тз. Аналогично убеждаемся в непрерывной дифференцируемости отображения (х( ), (т)- х((,). Б) Воспользовавшись теоремой о суперпознции, убеждаемся в дифференцируемостн отображения (2) и справедливости равенства (3).
° У праж н енн е 1. Пусть отображение еч: Ст([0, Ц)зс(0, 1)- )с опРеДелено фоРмУлой еч(х(.), тз)=х((з) (сР, и, 24.3) Докажнте, что: а) для существования второй варнацнн бзеч(х( ), тз) необходимо н достаточно, чтобы существовала х (гз) а прн этом 6» еч(х( ), (з) [а( ), т)=2Ь((в) с-1 х(тз) г'1 б) отображение еч не имеет второй пронзводной Фреше, котя его первая производная Фреше днфференцнруема по Гаго.
У к а з а н в е. Ь (Гз+ т)-й (гз) Ф о во [[з+« ). й 2.5, Необходимые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений Как уже отмечалось в п. 2.1.8, дифференциальные уравнения х=ср((, х, и(()), рассматриваемые в задачах оптимального управления, имеют свою специфику. Поскольку мы допускаем разрывные управления и( ), их правая часть не обязана удовлетворять условиям стандартных теорем из курса дифференциальных уравнений. К тому же нужные сведения о решениях не всегда излауаются в этих курсах в удобной для нас форме. Поэтому для полноты изложения, а также чтобы проиллюстрировать возможность применения здесь общих теорем Я 2.3 и 2.4, мы приводим в этом параграфе доказательства основных теорем; существования, единственности и диффереицируемости решений, а также некоторые специальные утверждения, относящиеся к линейным системам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
