В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Тогда 1 !) ] (ь) — Ца) =~ »г (а+» (0 — а)) в» (ь — о'!. (5) о !оо 2) Существует оператор ЛЕЖ(Х, )'), принадлежащий замкнутой выпуклой оболочке (см. п. 2.б,2) множества ()г(х), х~[а, Ь)) и такой, что ) (Ь) — [ (а) = Л (Ь вЂ” а). 3) Обобщите !) и 2) нз случай произвольного бзнзховв прострзнствз )', определив подходящим образом интеграЛ в (б). 2.2.4. Дифференцирование в произведении пространств.
Частные производные. Теорема о полном дифференциале. В этом пункте Х, )', 2 — нормированные пространства. Рассмотрим сначала случай отображения, значения которого лежат в произведении )')с2', Р: У )'хЕ, У<:Х. Поскольку точкой )'хЕ является пара (у, г), отображение Р также состоит из двух компонент: Р(х) =(6 (х), Н (х)), где 6: У вЂ” г', Н: У- Е. Непосредственно изопределений выводится следую[цее Предложение 1. Пусть Х, 1', Š— нормированнсте пространства, У вЂ” окрестность точки х в Х, 6: У )', Н: У-г.
Для того чтобы отображение Р=(6, Н): У )'хЯ было дифференцируемо в точке х в смысле одного из определений 1 — 5 и. 2.2.1, необходимо и достаточно, чтобы этим ясе свойством обладали 6 и Н. При этом Р'(х) =(6'(х), Н'(х)), или Р'(х, )1) =(6'(х, й), Н'(х, й)). Перейдем теперь к случаго, когда область определения отображения Р: У вЂ” Я лежит в произведении пространств У~Хм )'. Определение. Пусть Х, )', Я вЂ” нормированные пространства, У вЂ” окрестность точки (х, у) в Х х )', Р: У- Е. Если отображение хь-мР(х, у) дифференцируемо в точке х (по Гато, по Фреше или строго), то его производная называется частной производной по х отображебр ния Р в точке (х, у) и обозначается Р„(х, у) или — „(х, у). Аналогично определяется частная производная по у Р„(х, у) = — (х, у). Теорема о полном дифференциале.
Пусть Х, т' и Х вЂ” нормированные пространства, У вЂ” окрест- 151 ность в ХхУ, Р: У- Х вЂ” отображение, имеюи(ее в каж- дой точке (х, у) е ))Г частные п роизводныв Р„(х, у) и Р, (х, у) в смысле Гата. Если отображения (х, у) «Р„(х, у) и (х, у) «-«Р„(х, у) непрерывны в точке (х, у)~ У в равномерной оператор- ной топологии, то Р строго дифференцируема в той же точке и при атом Р'(х, у)та, Ч~=Р (х, у)а+Р„(х у)т). Доказательство. Задавшнсь произвольным в ~0, выберем 6 > О столь малым, чтобы «ярямоугольная» окрестность У=В(х, Ь)хВ(у, Ь)= ((х, у)11х — х1< б, 11у — у'1 < б) точки (х, у) содержалась в У, н в ней выполнялнсь не- равенства '1Р„(х, у) — Р„(х, у)') < е, 1Р„(х,„у) — Р„(х, у)1< е.
(1) Теперь имеем Л= Р (х1 у» ) Р (х» ~ у») Р»(хф у) (х«х») Р» (х1 у) (уд у»)«« =1Р(х„у,) — Р(х„у,) — Р,(х, у)(х,— х,)1+ + 1Р (х„ у,) — Р (х„ у,) — Р„(х, у)(у, — у,)1. Легко видеть, что если точки (х„у,), (х„у,) лежат в У, то и (х„ у,) Е У и, более того, оба отрезка 1(х„ у,), (х„ у,)1 н 1(х„у,), (х,', у»)1 содержатся в У~У. Поэтому функ. цин х «Р(х, у,) и 'у««Р(х„у) днфференцнруемы по Гата: первая имеет производную Р, на 1х„х»1, вторая Р„ на 1у„у1. Применяя теорему о среднем к этим функ"- циям (в форме неравенства (3) п. 2.2.3 с соответствую- щими Л), получаем в силу (1) (х„, у,) ч У, (х„у,) ч У =г ~~~й~~< знр ЛР„($, у,) — Р„(х, у))1х,— х,11).( З«1м,«,1 + зцр ЦР„(хм»)) — Р (х, у)Ц)у,— у»1) ч«1«, »1 < е ~,' х,— х,)+а~) у,— у,(.
° С л е д с т в и е. Для того чтобь» Р ~ С' (У ), необходимо и достаточно, чтобы в У частные производные Р, и Р были непрерывны, 1Ы Как предложение 1, так и теорема о полном дифференциале без труда обобщаются на случай произведения любого конечного числа пространств. Остановимся еще на конечномерном случае. Пусть Р () Й"' определена на открытом множестве У~=(1". Поскольку естественным образом й"=Их...хц, й"=йх...х)1, ш раз х раз можно воспользоваться как предложением 1, так и тео- ремой о полном дифференциале. Если Р, (х) х,(х) Р,(хь ..., х„) Р(х) .
х,(хд„., х,) Р~ (хр, ..., х„) Р„(х) л, Ь, и Ь= то ~ — '(х)л, / ( 1 / х1 (х) (х) Р'(х) Рр)= Рщ (х) [Ь) х дг 2. „ д» (х) Ьг хт дР, — ' (х) дх, — (х) дР, дх„ = — (Х) й. ал — — (х) дх, дх, — (х) ах„ Матрица порядка тха — ',„'()=®()) называется хипприцеб Якоби отображения Р в точке х. Легко видеть, что это есть не что иное, как матрица линейного оператора Р'(х): К" Й", от))ечакацая стандартным базисам в )с" и К". 1И В классическом анализе обычно обозначают Нх, Нх„ и формула (2) имеет вид и с(г" (х) =. ~~'„~ '(х) с(ху. Доказанное в этом пункте утверждение является обобщением хорошо известной теоремы о том, что существование непрерывных частных производных является достаточным условием дифференцнруемостн функции нескольких переменных. 2.2.5.
Производные высших порядков. Формула Тейлора. В этом пункте Х и )' — нормированные пространства, (1 — открытое подмножество в Х. Дифференцируемость всюду понимается в смысле Фреше. Если отображение (: (У вЂ” 'г' днфференцируемо в каждой точке хЕ У, то определено отображение )'(х): У— — .У(Х, )'). Поскольку У(Х, 1') также является нормированным пространством, можно ставить вопрос о существования второй производной 1" (х) = у')' (х) Е.У(Х, .У(Х, )')). По индукции определяются производные высших порядков: если в (1 уже определена )'" "(х), то ('"'(х) = (('" ")'(х) Е.У(Х, ..., .У(Х, 1') ...).
л раз Определение 1. Пусть ): У вЂ” 1'. Будем говорить, что 1'"' существует в точке хЕУ, если д некоторой окрестности этой точки существуют 1'(х), )" (х), ... )'" "(х) и существует ~во(х). Если ~'"'(х) существует в каждой точке хЕУ и отображение х р1'"' (х) непрерывно в равномерной (по рожденной нормой) топологии пространства .У(Л, ...,.У(Х, )')...), то 1" называется отображением класса С" (У), В дальнейшем нам понадобятся некоторые свойства полилинейных непрерывных отображений (см. пример 2 в п. 2.2.1). 154 П р е д л о ж е н и е 1. Нормированные пространства .Ул(Х, Ул(Х, 1')) и .Ул' (Х, У) изометрично изоморфны.
Доказательство. Если пЕ.Ул(Х, .У'"(Х, У)), то п(х„..., хл) Е.У'"(Х, У) и равенство П(х„..., хл, хлр„..., хл, ) =- = и (хм .., хл) [ха+„..., хл+ 1 (1) определяет полнлинейное отображение П пространства Хл'"=Хх... хХ в У. Обратно, всякое такое отобрал.нл раз жение П определяет при помощи равенства (1) полилинейное отображение и пространства Х" = Х х... х Х л раз в пространство полилинейных отображений Хл в У Остается заметить, что ((П ~ = енр 1П (х„..., хл, )',/= !!к,!!< ! !! «а+ д 9 ~ ! — зпр зпр п(х„..., хл)[хл+„, х,„. [= !!«з!!< ! !!хл~,!!< ! Зк,!!а ! !!х.+л!!~! знр 1п (х„..., х„)() =(п~~.
° /! х, !! < ! !1«л!! С ! Следствие 1..У(Х, .У(Х, ..., .У(Х, У) ...)) изол раз метрично изоморфно .Ул(Х, У). Таким образом, можно считать, что ('"! (х) Е.9'л(Х, 1'). ' Значение этого полилинейного отображения на векторах ($„.а., $,) будем обозначать [!лз(х)[5„..., $„1. В соответствии с индуктивным определением )зл! (х ) 1$ Ищ ~ "( +~~!)1~ ., ~ 1 Рл ч(~а)1~ ...,~ 1 (2) лгр а Для произвольного П Е.Ул(Х, У) и произвольного набора различных индексов (з„..., зз), каждый из которых принимает одно из значений 1, 2, ..., и, обозначим Пн .
(х;й„..., йз)=П(х„..., хл)~ х, саг з=з, г, .„з, х =х, а за!а. 1бв Предложение 2. Если ПЕЯ" (Х, У) и 9(х) П(х, ..., х), то (( (х)[ЬД= х1( П! (х; й ), в в 0" (х) [Й„Й»1=,'», '~ П(,(х; Ь„й,), (3) (вв» !е!»о(х)Р,, ..., (1,1= Х иа ° ° ° (в) Я(ю(х) =О при й > я (в формуле для !'„(!"» суммирование производится по всем перестановкам индексов). Доказательство этих формул получается непосредст- венной выкладкой (ср. также пример в п. 2.2.1). Заме- тим, что из (3) видно, что каждая производная Я(и является симметрической функцией от (Ь„..., Ь!). Ниже мы увидим, что это не случайно. П р е д л о ж е н и е 3. Если отображен е П Е Яв (Х, У) симметрично и Я(х) =П(х, ..., х) — = О, то П= — О.
Доказательство. Положим ц'(1„, 1„) = 9 (1»х(+... + („х„) —= ! (,... (,„П(х(,... хсв) = („ ..., (, — 1,*... 1"„вХ„'П(х(„..., хсв) = О ка(К в да =в ! »,'... 1"„'(1(а, вП (х„..., х„..., хв, ..., хв), О~а(Кв ха =в а, рва ав рвв ! -где в Х' собраны члены, у которых среди индексов равны единице а, штук, .... равны и — и„ штук, а Л(а,...
„— число членов в этой сумме (в послед- нем переходе мы воспользовались симметрией П). По условию ц((1„..., г„)=О, пбэтому равны нулю все коэффициенты этого многочлена. В частности, равен нулю и коэффициент и!П(х„...', хв) при 1»1,...1„. ° Т е о р е м а о с м е ш а н й ы х п р о и з в о дй ы х. Если для функции !': с(' — У суи(ествует,вторая производная [" (х), то для всех $, т! ~ Х !" (х) [$ 11=('"(хс) [Ч Ч. 156 (4) определена и ~р'(х) = )' (х + Ч) — р' (х) = )'(х+ Ч) — )'(х) — (р' (х) — 7(х)) =(1')'(х) [х+ т1 — х)+а(х+ т))'~х+т) — х[— — (7')' (х) [х — х) — сс(х) ~/ х — х!~'= =()1)' (х) [Ч1+а(х+ т)) [х — х+ т)[ — а(х) // х — х).
В частности, тр'(х)=()')'(х)[Ч)+а(х+Ч)тЧ(!, (5) и потому ~р'(х) — <р'(х) = =а(х+т))[х — х+т1(,'— се(х) [х — х) — а(х+Ч)(Ч). (6) В силу (4) для любого е > О найдется такое Ь > О, что [х — х[< 6~)~а(х)1) < а, (7) откуда ввиду (6) ~(х — х[ < Ь!2, (!Ч!/<6!2~!/тр'(х) — тр'(х)1<2еЯх — х1'+1т11), (6) При достаточно малых $ и Ч вторая разность Л(ч, $)=~(х+$+ч) — 7(х+$) — ~(х+ч)+~(х) (9) имеет смысл и, используя (6), (7) и (8), мы получаем при й~~ <6~2.
!! ч~~ <6!2 ~Л(ч, $) — )" (х)[ч, ц/~= =11 р(х+5) — р(х) — ((Р')'(х) [Ч1) [ВП= = [ ~р (х+ $) — тр (х) — ср' (х) [ц + сс (х + Ч) [ц (/ Ч (ц < ( зцр ,'!тр'(х) — ст'(х)1'1$~/+1а(х+т))И$Ит)//<- кт[д д~-41 < 2а ()~ ц+1 ч ',~) 1 ц+ (цц1 ч1 < Зз щ+1 ч ц ц. 157, Доказательство. по определению второй производной 1'(х) — 1' (х) = (1')' (х) [х — х) +а(х) ',х — х//, где а(х) Е.У(Х, 1') и 11пт а (х) = а (х) = О. Прн достаточно малых ч и х, близких к х, функция ~Р (х) = 7 (х+ Ч) — 7 (х) Заменяя $ н Ч на г$, 1~), где теперь $ и Ч могут быть лэ?быми фиксированными, а ! Е К должно быть мало, мы получаем неравенство !)Л(ГЧ, гЧ) — г'1" (х)[т), Ц/)(Зег'(1$!+1Ч!!)))Ц. (10) Меняя местами в проведенных выше рассуждениях $ н ~), мы получаем наряду с (10) неравенство ))Л(г$, гЧ) — Р[" (х)[$, Ч~!(Зе(2(/)Ц+~,'Ч,'/)!)з)[, (!1) Но Л(гт), г$)=Л(!$, (т)), поскольку вторая разность (9) симметрична относительно $ н Ч и из (10) и (!1) выте- кает по сокращении на гч неравенство !! Р" (х) [Ч, Ц вЂ” Р" (х) [В, т1~ ~! ~ Зе (!! Б !1+ ! т) [)'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
