В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 21
Текст из файла (страница 21)
состоит из функций х( )ЕС([О, Ц) таких, что х(тд О, 1 1, ..., ж. Найти фактор-пространство Х1Ь и определить 1[[хд,. 2. Обобщить результат упражнения 1 и доказать, что если [т- замкнутое подмножество отрезка [О, Ц и ЬХ=-(Х( )ЧС([0, Ц) [Х(1)-вО, 1~Р), то пространство С ([О, Ц)/Ьх изометрически изоморфно пространству С(Р).
2.1.З, Теорема Хана Банана и ее следствия, В тео- рии экстремальных задач важную роль играют теоремы отделимости и некоторые другие факты выпуклого ана- лиза. Большинство из них является следствием теоремы Хана — Банаха, которую часто называют первым основ- ным принципом линейного анализа.
Учитывая, что эта теорема входит во все стандартные курсы функциональ- ного анализа, ограничимся здесь лишь ее формулиров- кой и некоторыми важнейшими следствиями. В этом пункте Х вЂ” линейное пространство, К вЂ” рас- ширенная числовая прямая, т. е. К=[[()( — оо, +оо). Определение 1. Фун[сция рс Х вЂ” й называется выпуклой и однородной, если р(х+у)~~р(х)+р(у) для.любых х, у~Х, 1 (1) р(ах) =ар(х) для любых х~Х и а) О.
(2) П р и м е р ы. 1) Х вЂ” нормированное пространство, р(х) =[х[. 2) Х вЂ линейн пространство, 1. †линейн подпро- странство в Х, О, х ЕЕ' тм-~ „1 ' 120 3) Х вЂ” линейное пространство, 1„..., 1 — набор ли- нейнык функционалов на Х; р(х) = гиах ((1„х), ..., г',1„, х)). Важный пример доставляет следующее Определение 2. Пусть А — выпуклое подмноже- ство линейного пространства Х, содержащее О.
Его 41унк- ция Минковского рА ( ) определяется равенством )аА (х) = 1п1 (/ > 0 ~ х/1 Е А) (3) (если таких 1 > О, что х// Е А, нет вовсе, то рА (х) = + ое). Предл ожеи ие 1. Функция Минковского неотри- цательна, выпукла и однородна; (х! рА (х) < 1) ы А с. -(х ( рА (х) ~ 1). (4) Если Х вЂ” линейное толологаческсе пространство '), то рА ( ) непрерывна в пючке 0 тогда и только тогда, когда ОЕ1п1А. Д о к а з а те л ь с т в о.
Если рА (х) или рЯ(у) равно + оо, то (1) верно. Позтому пусть рА (х) < + оо и рА(у) < -1-оо. По определению для любого е >0 най- дутся такие / и з, что 9 < 1 < рА (х)+ е/2 н х/1Е А, 0 < з < рА (у)+е/2 и у/з Е А. Но тогда — = — — +-~ — аА л+у х г у а г+8 г Г+$ 3 7+3 а поскольку А выпукло, и следовательно, рА(х+у)<1+в <рА(х)+рА(у)+г. Ввиду произвольности е верно (1). Далее, для а>0 рА (ах) = (п1 (1 > О, ах/1 Е А) = 1п1 (аз > О, х/з Е А) = = се 1п1 (з > 0; х/з Е А) арА (х), твк что верно (2). Неотрицательность рА (х) и второе включение в (4) следуют непосредственно из определения.
Если рА(х) <1, то существует Г Е (О, 1), для которого х/1Е А, а поскольку г) О линейных топологнеесхнх нространстнех сн, (КФ, гл, 111, $ 61 0 ЕА и А выпукло, х=О (1 — 1)+ — „. (ЕА так что первое включение в (4) верно. Пусть теперь Х вЂ” линейное топологическое пространство. Тогда имеет место следующая цепочка эквивалентностей: рА( ) непрерывна в 0 ее те > О, ЛУ,ЭО, чхЕУ„рА(х) < ееь ЛУ,30, УхЕУ„рА(х) < 1 ее 5У Э 0 У~ ~=' А ю 0 Е ш( А (здесь У, и У,— окрестности точки 0; вторая эквивалентность мерна ввиду однородности (сА (.) и возможности положить У,=еУ,). ~ Предложение . Для того чтобы линейныйфункционал х' на линейном топологическом'пространстве' Х был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы длл некоторой выпуклой однородной непрерывной в точке 0 функции р(.) длл всех х~Х выполнялось неравенство <х', х> ='р(х).
(5) Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость устанавливаем сразу, полагая р(х) — ) <х', х>(. Предположим теперь, что верно (5) и р(х) непрерывна в точке О. Тогда для любого е > 0 найдется окрестность У 30 такая, что р(х) < е для всех хЕУ. Поскольку ОЕ У и 0=( — О) Е( — У), существует окрестность йт такая, что 0 ЕЯ7 <: Уй( — У). Если хЕ В', то х и' — хЕУ и в силу (5) <х', х>(р(х) < е, <х* — х> ( р ( — х) < е.
Следовательно, ~<х', х>~ < г для всех х~)(х, т. е. х' непрерывен в О. Остается заметить, что линейный функционал, непрерывный в одной точке, непрерывен на Х (КФ, стр. 174~. Теорема Хана — Бана ха [КФ, стр. 134 — 1371. Пусть р: Х вЂ” 1< — выпуклая однороднал функция на линейном пространстве Х, и пусть-1: 1.— )х — линейный функционал на подпространстве 7. пространства Х такой, что <1, х>.='р(х) для всех хЕ7.. (6) Тогда существует линейный функционал Л, определенный на всем Х, являющийся продолжением 1, и. е. <Л, х>=<1, х>, хБЕ., (7) и удовлетворяющий неравенству <Л, х>~(р(х) для всех хБХ.
(8) Сл едет в н е 1. Пусть Х вЂ” нормированное пространство и х,ЕХ, х,~О. Тогда найдется элемент Л~Х' такой, что 1'Л1=1 й <Л, х,>=(~х,(. До к а з а те л ь с т в о. Иа подпространстве ь=(х) х=ссхь иЕЩ зададим линейный функционал 1, полагая <1, ах,) =и'1х,'1. (9) Функция р(х) =1х)! — выпуклая однородная и <1, ссх,) = = а)х,~~~~/сс)(х,!)=/)ах,~!=р(ах,), так что имеет место неравенство (6). По теореме Хана — Банаха 1 продолжается до линейного функционала Л на всем Х, причем выполняются соотношения (7) и (8).
Вспоминая определение нормы функционала (п. 2.1.1), имеем из (8) '1Л)= зпр <Л, х>( зпр р(х)=1, П.П=~ 1.В=~ так что, в частности, Л ~ Х'. С другой стороны, из (7) и (9) <Л, х,>=<1, х,)=1х,~, так что верно второе утверждение доказываемого след- ствия и, кроме того, '1Л1= зцр <Л, х>)(Л, — 1„) =1, а потому 1Л1=1. ° Из следствия 1 немедленно вытекает Следствие 2. Если нормированное пространство Х нетривиально (т. е. Хчь(0)), то и сопряженное к нему пространство Х" нетривиально. 2.1.4. Теоремы отделимости.
В этом пункте Х вЂ” линейное топологическое пространство, Х' — сопряженное к нему пространство, состоящее нз всех линейных непрерывнык функционалов на Х. Определение 1. Функционал х'ЕХ» разделяет множества А с Х и В с Х, если зцр<х», х>( 1п1 <х', х>, киА к»В н строго разделяет А и В, если зпр <х», х) ( 1п1 <х», х). (2) к»А к»В Геометрически неравенство (1) означает, что гиперплоскость Н(х', с)=(х1<х', х) =с), где зпр<х', х>~(с( 1п1 <х', х> отделяет множества,А к»А к»В н В друг от друга в том смысле, чта А лежит в одном палупростраистве (Н» (х', с) = (х~ <х', х) (с)), порожденном Н (х', с), а  — в другам (Н (х', с) = (х ~ <х', х> вс)) (рис.
31), неравенство (2) означает, что при этом с можно Рис. 32. Рис. 31. выбрать так, чтобы А и В лежали внутри соответствующих полупространств и не имели общих точей с Н (х', с) (рис. 32). Первая теорема отделимости. Если множества А <: Х и В с Х выпуклы, непуста и не пересекаются между собой, причем А открыто, то существует ненулевой линейный непрерывный функционал, разделяющий А и В. Доказательство.
А) Поскольку А и В не пусты, существуют точки а, ~ А, Ь, Е В, Множество С = (А — а,) — ( — Ь,) = (х ( х= а — ໠— Ь+Ь„а Е А, Ь ~ В), очевидно, выпукло (см. также предложение 1 и упражнение 2 в п. 2.6.1), содержит 0 и открыто (действительно, $24 если х = а — а,— Ь+Ь, и а Е А, то существует окрестность У, аЕУ ~= А, а тогда хй(/ — а,— Ь+Ь, с С. Кроме того, с=Ь,— а,(С, так как в противном случае Ь,— а,=а— — а,— Ь+Ь, для некоторых а~А и 6~В, откуда а=Ь~ ЕА /) В, т. е. эти множества пересекаются, вопреки условию.
Б) Обозначим через р(х) функцию Минковского множества С. Согласно предложению 1 и. 2.1.3 р(х) — неотрицательная выпуклая однородная и непрерывная в точке О. Кроме того, р(х) ~41 для всех хЕС. В) На подпространстве 1.=(х(х=ас=а(Ь,— а,), а~ 1Ц определим линейный функционал 1, полагая <1, ас> = =ар(с). Тогда для а) 0 имеем (1, ас) =ар(с) =р(ас), а для а~(0 <1, ас)=ар(с)«0««р(ас), поскольку р( ) неотрицательна. Следовательно, для всех хЕ/. выполняется неравенство <1, х> ( р (х) и по теореме Хана— Банаха ! можно продолжить до линейного функционала Л такого, что <Л, ас>=<1, ас>=ар(с), аЕК (3) <Л, х>(р(х), х~Х. (4) Поскольку р( ) непрерывна в О, из (4) следует непрерывность функционала Л (предложение 2 п.
2.1.3). Г) Для любых а ~ А и Ь й В имеем <Л, а — Ь>=<Л, а — а,— Ь+Ь,>+<Л, а,— Ь,>« х=. р (а — а, — Ь+ Ьо) + (1, ( — 1) (Ьо — аб) > «1- — р (Ьо — ап), поскольку а — а,— Ь+Ь,ЕС, а на С функция р(х)«=1; кроме того, мы использовали (4).
Но при 0(1 1 точка (Ь,— а,)/(=с/( не может принадлежать множеству С, ибо С выпукло и содержит О, а на 10, с/11 лежит точка с = =Ь,— а,(С. Поэтому р (Ь, — а,) = 1п1 (1 > 0 ~ — '" ~ С~ ) 1. (5) Следовательно, <Л, а — Ь> «! — р(Ь,— а,) «(О для любых аЕА и Ь~ В, Б нераденстве <Л, а> -<Л, Ь> аЕА и ЬЕВ можно выбирать независимо, поэтому зпр<Л, а> 1п1(Л, Ь). ячл Ыв Кроме того, согласно (3) н (5) <Л, Ь, — а„> = р (Б, — а,) ) 1, так что Л~О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
