В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Это, однако, здесь сделано не будет. Вспомнив, что вдобавок мы снова уклонились от обсуждения вопроса о существовании решения, читатель с еще большим основанием, чем в предыдущем пункте, вправе заявить: «Неладно что-то в оптимальном королевстве!» И действительно: При а > О задача (1) может не иметь обычного решения. Например, если в задаче о минимальной поверхности вращения (а=1) граничные условия симметричны (у( — х,)=у(х,)), то надлежит искать симметричную экстремаль, т. е. у=сЫ)АР.
Все экстремали этого вида рис. зо. получаются из экстремали у=сЬх гомо- тетией, и в совокупности они заполняют только угол, а не всю полуплоскость (рис. 30). Поэтому при достаточно большом х, задача, скажем, с условиями у( — х«) =у(х,) =1, неразрешима. При и < О интегрант в задаче (1) стремится к бесконечности при у- О. Поэтому, например, задача о брахистохроне а= — 1/2 с обычными краевыми условиями у (х,) = О, у (х,) > О (п.
1.1.4) вообще не укладывается в стандартные рамки. Для того чтобы получить полное решение задач серии (1), нужна дополнительная работа. ГЛАВА !! АППАРАТ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ Читатель познакомился с различными постановками экстремальных задач, с основными понятиями и общими идеями, а также получил представление о некоторых приемах решения этих задач. Теперь мы переходим к последовательному и достаточно формальному изложению соответствующей математической теории.
Общность развиваемой теории и ее сравнительная простота оказались возможными за счет свободного нс. пользовация фактов и понятий, относящихся к смежным разделам математики, в первую очередь функционального анализа. Здесь они изложены в нужной нам форме.
Значительную часть главы составляет то, что можно было бы назвать «Элементами дифференциального исчис. ленин». $ 2,1. Предварительные сведения из функционального анализа В этом параграфе рассказывается о тех фактах функционального анализа, на которые мы далее опираемся при построении теории экстремальных задач. Доказательства, которые можно прочесть в учебнике А. Н.
Колмогорова и С. В. Фомина !КФ1, мы, как правило, опускаем. 2.1.1. Линейные нормированные и банаховы пространства. Напомним, что линейное пространство Х называется нор»«ированным, если на Х определен функционал Н: Х вЂ” П, называемый нормой и удовлетворяющий трем 115 условням: а) 1х//)О, ттх~Х н 1х1=0 Фрх=О, б) '1ах'(=~а)1х!~, чЪЕХ, ч'сс~)1, 1х, +ха//~(!~х,))+1ха), тУх„ха Е Х- в) Иногда, чтобы подчеркнуть, что норма задана именно в Х, мы пишем 1 '1л. Всякое нормированное пространство становятся мептрическила, если ввести в нем расстоянне Р(х„х,) =1~х,— хз'1.
Полное (относнтельно введенного расстояния) линейное нормированное пространство называется банахоеым пространством. Упражнения. Пусть Х=де. Какие функцир из перечисленнык ниже и при каких зивченияк параметров задают норму в Хр 1. М(х)=О хйл+~хэ)Р)т(л, О < Р <ю; 2. )У (х)=)ат1хэ+птаха ~+) ажхз+аюха й 3. Ф(х)=так Цаых,+птаха), )аз1хт+аазхз)). 4. Описать все нормы в йа., 5. Доказать, что все нормы в й' эквивалентны.
(Нормы )т', и Фе называются акеаааленжнмми, если существуют такие с) О и С > О, что сл1д(х)~Фа(хрж;СМт(х), тхЕХ.) У пр аж не и не б, Найти нормы в пространствах, сопряженным к описанным в упражнении 1 — 4. Для нас важнейшую роль будут играть следующие банаховы пространства. П р н ме р 1. Пространство С(К. ж") непрерывных вектор-функций х( ): К- 11",, заданных на компакте К 1!6 Совокупность Х' всех линейных непрерывных функцноналов на Х (сопряженное к Х пространство) является банаховым пространством, если задать в Х' норму !(х'))х.= зпр Сх,х>, 1')х< ' где <х', х> означает результат применения к х функцнонала х'. Подробнее об этом см. 1КФ, гл.
1Ч, $21. с нормой '1 х ( ) ,'1, = т ах ! х (7) !. !ек Пространство С(К, К) мы обозначаем просто С(К). Пример 2. Пространство С" ([г„1г1, й") г раз непрерывно дифференцируемых вектор-функций х ( ): (8е„ст) Й', заданныд на конечном отрезке (г„7Д~К, с нормой '1 х ( ) (, = тах Я х ( ) 1„.. „~ хьо ( ° ) 1е). Пространство С'((1„Я П) мы Обозначаем С" ()г„(„1).
У п р а ж н е н и я. 7. Доказать, что всякое конечномерное нормированное пространство является банаковым. 8. Доказать, что единичный шар конечномерного нормирован. ного пространства является выпуклым, замкнутым, ограниченным центрально-симметричным множеством, для которого начало координат является внутренней точкой, и наоборот, для любого выпуклого замкнутого ограниченного центрально-симметричного множества,, для которого начало координат является внутренней точкой, существует такая норма, в которой зто множество является единичным шаром.
9. Привести пример новмярованного, но не банакова пространства. 2.1.2, Произведение пространств. Фактор-пространство. 11усть Х и У вЂ” линейиые пространства. Их произведение ХусУ, т. е. множество всех пар (х, у), хЕХ, уЕУ, преврагцается в линейное пространство, если операции сложения и умножения на число определить по- координатно: (х„у,)+(х„у,)=(х,+х„у,+у„), се(х, у) =(ах, ау).
Если Х и У вЂ” нормированные пространства, то и в произведении ХмУ люжно ввести норму, например, тзк: 1(х у)1ххг=тах(1х1х '1уЩ. (1) у п р аж не н не. проверьте, что )х1х+1УЙ' ий х1х+(р(у также некоторые нормм в Хху, эквивалентные норме (1). Имеют место следукнцие очевидные леммы. Лемма 1. Если Х и 1' — балахоны пространства, то и ХхУ банахово. Доказательство предоставляется читателю. ь17 Лемма 2.
Всякий линейный функционал ЛЕ(ХхУ)' однозначно представим в виде <Л, (х, у)> = <х', х>+(у', у>, (2) где х'Е Х' и у'Е К*. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим (х', х> = (Л, (х, О)>, (у', у>=<Л, (О, у)>. Линейность этих функционалов очевидна, а непрерывность (еэ ограниченность) вытекает из оценок: 1<х', х> ) (() Л11(к, О) 1=1Л11х 1, (<у', у>!~Р(И(0 у)П=Р!~ЬМ Однозначность представления (2) также не вызывает сомнений. ° Поскольку при любых к*ЕХ' и у'Е)" формула (2) определяет некоторый функционал Л Е (Х Х У)*, то мы получилн полное описание пространства (ХхУ)". Кратко оно дается следующей формулой: (Х х1')'= Х'Я) У". Пусть теперь Х вЂ” линейное пространство, 1.— некоторое его подпространство Положим хжх', если х — х' Е В.
Введенное отношение будет отношением эквивалентности (ибо очевидно, что хьь х, к,т~ х, ~ х, л~ х, и х,тч х„ хаоо ха=> х,оо ка), а значит (КФ, гл. 1, 5 21 опРеделецо разбиение Х на классы. Класс эквивалентных элементов по введенному выше отношению называется классом смежности по подпространству В. В совокупности классов смежности естественным образом вводятся операции сложения и умножения на число (КФ, гл. 1П, $ 1, п. 4); при этом выполняются аксиомы линейного пространства.
Таким образом, совокупность классов смежности превращается в линейное пространство, называемое фактор-пространством Х по 1. и обозначаемое Х~С. Классом смежности п(х), которому принадлежит элемент х Е Х, является класс х+В. Отображение и: Х вЂ” Х/1. является линейным (докажите!). Его называют каноническим отображением Х на Х(1.. (Отображение и является, разумеется„эпнморфизмом ').) Очевидно, что В = Кег и. Пусть теперь Х вЂ” нормированное пространство и В— его подпространство.
Положим )В~;хуь = 1п11х)к «а Ь т) То есть отображает Х аа асе Х/Г.. !!з!!х(с= 1п1 !!х!!х= (п1 !!х,+х'). (3') пх=е лк, =е А еЬ Из определений (3), (3') сразу следует, что оператор и непрерывен (!!пх(~(!!х!!) и для любого 5Е Х(Ь найдется хЕХ, для которого их=а, !,'х)|(2,'!4()хт. (4) Теорема о фактор-и рос тра нет не. Пусть Х— нормированное пространство и Ь вЂ” его замкнутое подпространство.
Тогда функция !! )хдь задаваемая соотнотением (3), является нормой на Х/Е. Если пространство Х является банаховым, то фактор-пространство Х/Л с нормой Як~с также является банаховым. Доказательство. Необходимо доказать, во-первых, что функционал !! (!ха. удовлетворяет аксиомам нормы и, во-вторых, что полнота Х влечет за собой полноту Х~Е. Докажем первое утверждение теоремь), т. е. проверим выполнение аксиом (1) п. 2.1.1. Аксиома а): Ц!!хд.)0 (У5) вследствие неотрицательности нормы в Х. Если 3=0, то в качестве хЕ$ можно взять к=О, и потому !!О!!хн.= О. Пусть |)$ !!хо =О. Тогда из (3) следует, что существует последовательность (х„), х„Е5 такая, что )(х„(! — О, т.
е. х„О. Вследствие замкнутости $, ОЕ3,т е. $естьнулевой элемент в Х(Ь. Аксиома б): Пусть аЕ й. Тогда, если ах=а, то ))ссК!!хп = 1п1 (!у(!= 1п1 ((ах!1=!а! 1п( (!х()=)а)(($)!. Аксиом» в): Д,+$,!!= 1п( !!х,+х,+х'!)= 1п( !(х,+х;+х,+х,')! кк,=4 к ес х 6с < 'п1 !!х1+х1()+ 1п1 !)х,+х.'!)=!!51)ха.+))$,)ха,. «~ Е l Докажем второе утверждение теоремы, т. е. полноту Х/Ь. Пусть (9„) — фундаментальная последовательность в Х,Ч., т. е. Уз>ОИРУ(г). и) Ж(е) =>~!$„+„— $„)к~с < в, Ут >1. Выберемз„=2-зиномера п„такие, что !(с„+ — $„„)~~2 л, Й~1. Тогда 1$„— $„~~~1~2, и вследствие (4) сущест- вуют представители х, Е$„такие, что [[хз — х,[[(1. Ана- логичным путем построим элементы (х„)„ж, так, что [[хь — хв „[[~~2 '" ", хх~$„~, Й=З, 4, ... Последователь- ность (хв)е, фундаментальна в Х (проверьте), а Х вЂ” пол- но по условию.
Значит, существует предел х, 1ппха. Рассмотрим класс $з= их,. Тогда Ц$„— Б,[/х1с= 1п[ [[хь — х,— х'~х(
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
